Урок "Свойства функций"

Свойства функций играют важную роль при их изучении. Они позволяют делать определенные выводы о функциях. Изучение данной темы крайне важно для обучающихся, особенно старших классов. Это связано с тем ,что задания по данной теме довольно часто встречаются в КИМ государственной итоговой аттестации.

Видеоурок по теме «Свойства функции» разработан автором для облегчения работы учителя и его подготовки к урокам. Если использовать данный материал на уроках, то появится больше свободного времени, которое можно посвятить индивидуальному обучению или другим направлениям обучения математики в школе.

Длительность урока составляет 8:23 минут. Примерно столько же времени требуется учителю, чтобы объяснить материал на уроке, который длится 40-45 минут. При этому учитель успеет актуализировать знания обучающихся, повторить необходимый материал, просмотреть видеоурок, а затем еще и закрепить материал.

Рассмотрение материала начинается непосредственно с первого свойства, которое называется монотонность. Это понятие подробно расписывается на математическом языке, что способствует развитию математической грамотности обучающихся, а также словесно поясняется каждая запись на экране. Далее автор демонстрирует на рисунке, как выглядит монотонная функция для случаев возрастания и убывания. После этого дается определение монотонной функции. Здесь же дается правило для запоминания, которое связано с монотонностью функции. Далее предлагается рассмотреть эту теорию на примере. На рисунке изображен график, на экране последовательно выделяются промежутки возрастания и убывания. Показана и математическая запись этих промежутков.

Согласно условию другого примера, необходимо исследовать функцию на монотонность. Чтобы определить монотонность функции, автор воспользовался определением возрастающей и убывающей функции. В результате получается, что функция убывает на всей области определения.

Затем на экране демонстрируются примеры возрастающих функций на всей области определения.

Далее внимание обучающихся обращается ко второму свойству, которое называется ограниченностью. Рассмотрение этого свойства строится по аналогии с первым свойством. Рассматривается понятие ограниченности, все это иллюстрируется на рисунке, как ограниченность снизу, так и ограниченность сверху. Затем на экране появляется пример ограниченной функции.

Важными понятиями в пункте ограниченность являются наибольшее и наименьшее значение функции. В качестве иллюстрации показан рисунок и идет подробное описание этих понятий.

Далее поясняется, в каком случае функция является ограниченной снизу, а в какой – ограниченной сверху. Сразу после этого следует пример, в котором необходимо найти наименьшее значение функции.

После примера рассматривается третье свойство, которое называется выпуклостью. Это понятие иллюстрируется с помощью рисунка. На данном свойстве автор не останавливается так же подробно, как на предыдущих. Он сразу переходит к четвертому свойству – непрерывности. Здесь вводится понятие непрерывной функции. После этого демонстрируется это свойство на рисунке с подробными пояснениями.

Далее рассматривается свойство четности и нечетности. И тут же объясняется, когда функция четная и нечетная. Объяснения сопровождаются иллюстрациями и подробными описаниями. Это показано на примерах двух функций.

И, наконец, рассматривается шестое свойство – периодичность. На нем автор не останавливается, отмечая, что примеры периодичных функций будут изучены в дальнейшем на уроках алгебры.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Первое свойство, которое мы рассмотрим –монотонность.

Внимание: во всех определениях рассматривается числовое множество икс большое – подмножество области определения функции .

Функция игрек равно эф от икс возрастает на множестве икс большое, которое является подмножеством области определения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе больше эф от икс первое. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс убывает на промежутке икс большое которое является подмножеством областиопределения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе меньше эф от икс первое. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция игрек равно эф от икс называется монотонной на множестве икс большое, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.

Запомни: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.

Например, функция, график которой изображен на рисунке, на промежутках

 от минус бесконечности до минус пяти и от трех до плюс бесконечности  возрастает, а на промежутке от минус пяти до трех убывает. Пример. Исследовать функцию на монотонность: игрек равен шесть минус два икс.

Решение.

Введем обозначение: эф от икс равен шесть минус два икс.

Если икс первое меньше икс второе_, то используя свойства числовых неравенств, имеем

Значит, заданная функция убывает на всей числовой прямой.

Существуют функции, являющиеся возрастающими на всей области определения, например, игрек равен ка икс плюс вэ при ка больше нуля,  игрек равен икс в кубе.

Второе свойство – ограниченность.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое  больше некоторого числа эм малое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной снизу на множестве икс большое из области определения.

Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое  меньше некоторого числа эм большое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной сверху на множестве икс большое из области определения.

Запомни: если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то  ее называют ограниченной.

По графику функции легко можно определить ее ограниченность.

Наибольшее значение функции обозначают игрек с индексом наибольшее._.

Игрик является наибольшим если:

Во –первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм большое;

Во – вторых ,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс меньше или равно эф от икс нулевое, то число эм большое называют наибольшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции.

Наименьшее значение функции обозначают игрек с индексом наименьшее

Если:

Во –первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм;

Во – вторых ,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс больше или равно эф от икс нулевое ,то число эм называют наименьшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции

Полезно запомнить:

Если  у функции существует наименьшее значение_., то она ограничена снизу.

Если у функции существует наибольшее значение_, то она ограничена сверху.

Рассмотрим пример. Найти наименьшее значение функции

Функция, график которой изображен на рисунке, ограничена снизу, наименьшее значение функции равно нулю, а наибольшего не существует, функция сверху неограниченна.

Третье свойство: выпуклость вверх, выпуклость вниз.

Если ,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать ниже проведенного отрезка , то такая функция выпукла вниз на промежутке икс большое из области определения.

Если ,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать выше проведенного отрезка , то такая функция выпукла вверх на промежутке икс большое из области определения.

четвертое свойство: непрерывность.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

пятое свойство: четность, нечетность.

Если область определения функции –симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= f(х), то такая функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Если область определения функции –симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= -f(х), то такая функция нечетная.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Так же существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными

шестое свойство: периодичность

примеры периодических функций будем рассматривать в дальнейшем

Если существует такое отличное от нуля число тэ большое, что для любого икс из области определения функции верно равенство эф от икс плюс тэ большое равно эф от икс  и равно эф от икс минус тэ большое, то функция игрек равно эф от икс -периодическая. Число тэ большое – период функции игрек равно эф от икс

пример:

все тригонометрические функции периодические.