Урок "Преобразования графиков тригонометрических функций из y=f(x) в y=mf(x)"

Данный видеоурок по алгебре для 10-го класса познакомит слушателей с преобразованием графиков тригонометрических функций из у=f(x) в y=mf(x).

В начале урока дается информация о том, что ранее учащиеся научились строить различные графики функций, которые получаются из графика функции у=f(x)  путем параллельного переноса относительно оси х или относительно оси у.

В данной теме описаны этапы процесса построения  графика y=mf(x) из графика у=f(x) при условии, что m – действительное число, не равное нулю.

В первом варианте рассматривается, каким образом строится график функции y=mf(x), когда m - положительное число. В данном случае происходит растяжение графика от оси х с коэффициентом m, а при 0<m<1 – сжатие к оси x с коэффициентом 1/m. Точки пересечения с осью х остаются на месте,

В качестве примеров в видеоуроке показаны:

1) построение графика у = 4cosx. Вначале строится график у = cosx. Т.к. в данном случае m = 4, выполняется растяжение графика от оси х на 4 единицы.

2) построение графика у = 0,5sinx. Также сначала строится график у = sinx, который преобразовывается в у = 0,5sinx путем сжатия к оси х с коэффициентом 0,5. Точки пересечения с осью абсцисс снова остаются на месте.

Во втором варианте автор рассматривает построение графика функции y=mf(x), если m  отрицательное число. Например, при m = –1 функция y=mf(x) = –f(x). В таком случае ординаты точек функции y = –f(x) отличаются от исходной функции y=mf(x) только знаком, что показано на соответствующем рисунке: точки функций симметричны относительно оси абсцисс.

На следующем рисунке даны графики функций у = sinx и у = –sinx. График функции у =–sinx получается из графика функции у = sinx путем преобразования симметрии относительно оси х.

Далее рассматривается последовательность построение графика функции y=mf(x) при m<0 на примере функции у = – 2,5cosх:

1) строится одна волна графика у = cosх;

2) т.к. m=2,5, выполняется растяжение волны графика от оси х на 2,5 единицы;

3) т.к. m<0, производится преобразование симметрии относительно оси х. Достраивая волну, получается весь график функции у = – 2,5cosх.

Видеоматериал будет удобен при самостоятельном изучении темы, так как сочетает доступное изложение теоретической части с приведением и объяснением практических задач.
Использование видео на уроке даст возможность учителю привлечь учеников современной подачей программного материала.

В результате детального и последовательного прослушивания видео, ученики с легкостью запомнят основные моменты преобразований графиков тригонометрических функций, таких как сжатие и растяжение относительно оси х, преобразование симметрии относительно оси х.  

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

На уроках алгебры в 8 и 9 классах мы научились строить графики функций

 у = f (x + а), у = f (x) + b, у = f (x + а) + b  ( игрек равно эф от аргумента икс плюс  а, игрек равно  сумме эф от аргумента икс  и бэ, игрек равно сумме эф от аргумента икс плюс  а и бэ) и  знаем, что все они получаются  из графика функции у = f(x) путем преобразования параллельного переноса на |а|

 ( модуль а)  единиц вправо или влево вдоль оси х и на | b|(модуль бэ) единиц вверх или вниз вдоль оси у. Сегодня мы научимся по графику у = f(x) строить график  у = mf(x), где m – любое действительное число (кроме нуля).  

1) Рассмотрим построение графика функции у = mf(x), когда  m – положительное число.

Чтобы получить ординаты точек графика функции у = mf(x), нужно умножить ординаты соответствующих точек функции на число m. Обычно, такое преобразование называют растяжением от оси х с коэффициентом m. При таком преобразовании на своем месте остаются только точки пересечения с осью х. Если же  m меньше единицы, то говорят о сжатии к оси х с коэффициентом   ( единица деленное на эм). Например, если m =  ( эм равно одной седьмой), то говорят о сжатии с коэффициентом 7.

Построим график функции у = 4cos x. Так как m = 4, график функций у = 4cosx выполняем  растяжением графика функции у = cosx от оси х. На своем месте остаются только точки пересечения графика у =cosx с осью х, по оси у растягиваем график на коэффициентом m, т.к.  m=4, то на растягиваем на 4 единицы.

Чтобы выполнить график функции  у = 0,5sin x, построим график функции    у = sin x,   преобразуем его. На своем месте остаются только точки пересечения с осью х. Так как m меньше единицы, то сожмем его к оси  х с коэффициентом .

2) Рассмотрим построение графика функции у = mf(x), когда  m = – 1

 Если  m = - 1, значит  функция у = mf(x) будет равна функции  у = - f(x).

Очевидно, что ординаты точек графика функции у = - f (x) отличаются  только знаком от соответствующих ординат точек графика функции у = f (x).

Это значит, что точки А( – х: f(–x)) и С( –х: – f(–x)) (  а с координатами минус икс и эф от минус икс и сэ с координатами  минус икс и минус эф от минус икс симметричны относительно оси абсцисс. ( смотри рис 3).

Следовательно, чтобы построить график функции у = - f(x), нужно к графику функции у = f(x) применить преобразование симметрии относительно оси абсцисс. На рисунке 4 изображены графики функций 

у = sin x  и  у = - sin x. 

3)Чтобы построить график функции у = mf(x), если  m – отрицательное число, нужно помнить, что  справедливо равенство mf(x) = – |m|f(x) ( эм, умноженное на эф от икс равно минус модуль эм , умноженное на эф от икс), то фактически нам нужно построить график функции у = – |m|f(x). А это можно сделать последовательно:

 во-первых, построить график функции у = f(x);

 во- вторых, подвергнуть его растяжение от оси х с коэффициентом |m|;

в-третьих, к полученному  графику  применить преобразование симметрии относительно оси абсцисс.

Применим данный алгоритм на практике.

ПРИМЕР. Построить график функции у = - 2,5 cos x ( игрек равно минус две целые пять десятых, умноженное на косинус икс).

Решение. Построим одну волну графика у = cos x ( рис.5).

Далее осуществим растяжение построенного графика от оси х с коэффициентом 2,5 и получим одну волну графика функции  у = 2,5 cos x (рис.6)

Затем к построенной волне  графика функции  у = 2,5 cos x применим преобразование симметрии относительно оси абсцисс, получим волну графика функции  у = – 2,5 cos x( рис.7).  И, наконец, с помощью волны получим весь график функции у = - 2,5 cos x. ( рис.8) двигая его вправо и влево на 2 

Комментарий:

необходимо строить всю волну графика синусоиды или косинусоиды, так как в результате по преобразованиям мы бы получили полу волну, и не ясно было как получен весь график у= –2,5 cosx