Урок «Параллельность прямой и плоскости»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В этом уроке мы рассмотрим возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве, введем понятие параллельности прямой и плоскости, докажем признак параллельности прямой и плоскости.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1.Прямая лежит на плоскости;

2.Прямая пересекает плоскость, т. е. прямая и плоскость имеют одну общую точку;

3.Прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек

Параллельность прямой A и плоскости   обозначается так: 

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Дано:

Плоскость 

Прямая c не лежит в плоскости 

Прямая d лежит в этой плоскости

β параллельна d

Доказать: Прямая a параллельна плоскости  

Доказательство.

Доказательство будем вести от противного.

Предположим: прямая c не параллельна плоскости  . Тогда она пересекает плоскость   в некоторой точке F.

По лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая d также пересекает эту плоскость.

Пришли к противоречию, по условию  d лежит в плоскости  . Предположение не верно, прямая c параллельна плоскости  .

Что и требовалось доказать.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

1.Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то лини пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

 Доказательство.

По определению, прямые называются параллельными, если:

1) прямые лежат в одной плоскости;

2) прямые не пересекаются.

Так как по условию плоскость  проходит через прямую c, а прямая d является общей для плоскостей   то c и d лежат в одной плоскости.

Так как  прямая c параллельна плоскости  , в которой лежит прямая d, то  c и d не пересекаются.

Оба условия параллельности выполняются.

Можно сделать заключение: 

Что и требовалось доказать

2.Если одна из двух параллельных прямых  параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Дано:

 Доказать:  

Доказательство.

Так как  , то прямая a не пересекается с  плоскостью  .

Если a не пересекает плоскость, то и параллельная ей  прямая b ее не пересекает( по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми).

Поэтому прямая b либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Что и требовалось доказать.