Урок «Натуральные логарифмы. Функция у=ln х, ее свойства, график, дифференцирование»

На предыдущем уроке мы открыли

новое иррациональное число. Это число

в ряду иррациональных чисел стоит

перед числом «пи»

Тогда справедливо полагать, что в это

число можно использовать в операциях

над иррациональными числами,

действительными числами. Например,

вычислить значение дроби

<!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14(tg 60В°-tg 45В°)(tg 45В°-e)26в€™cos 270В°">

Посчитать это значение будет довольно сложно, так как <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14tg 60В°"> , число e, <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 1426">  числа иррациональные, но <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14cos 270В°">  равен 0. Значит и значение выражения также будет равно 0.

Но чаще число е встречается не в

примерах и выражениях, а в с

основании логарифма.

Логарифм 2 по основанию 7, логарифм

5 по основанию 3, логарифм 5 по

основанию 10 называется десятичным

логарифмом, а вот логарифм 5 по

основанию е, называется натуральным

логарифмом пяти и записывается   <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14ln5">    .

В общем виде натуральный логарифм

записывается как     <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14lna">

Так как для любого логарифма можно

построить зависимость вида <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=logax">  .

Причём график этой зависимости

симметричен графику показательной

функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=ax">  относительно прямой

у=x. Тогда график логарифмической

функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=lnx">     симметричен графику

  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=ex">   относительно прямой y=x.

Свойства функции  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=lnx">    не

отличаются от свойств функции

1.        D(f)=(0; +∞);
2.        Не является ни четной, ни нечетной;
3.        Возрастает на (0; +∞);
4.        Не ограничена ни сверху, ни снизу;
5.        Не имеет ни большего, ни наименьшего значений;
6.        Непрерывна;
7.        E(f)=(- ∞; +∞);
8.        Выпукла вверх;
9.        Дифференцируема.

Известно, что производная для   <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14lnx">     для

всех положительных значений х равна

1/х.

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 1. Вычислить значение

производной функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=ln(8x+5) "> в точке х=-1

Воспользуемся правилом дифференцирования функций вида <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=f(kx+m)">  , согласно которому <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y'=kв€™f'(kx+m)">  и тем, что <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14(lnx)'=1x">  .  Получим, что производная функции будет равна <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 1488x+5">  . Подставим в производную

вместо х минус один и получим, что

значение прозводной функции в точке

х=-1 равно  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14-223">

Рассмотрим следующий пример.

Составьте уравнение касательной к графику функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=f(x)">  в точке с абсциссой <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14x=a"> :

<!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14fx=x5-lnx">  , a=1 ;

Для составления воспользуемся

алгоритмом составления уравнения

касательной к графику функции.

Число а равно одному. Значение

функции в точке равно 1. Производная

функции равна: производная разности

равна разности производных

уменьшаемого и вычитаемого ,

производная от икс в пятой степени

равна пять умножить на икс в четвертой

степени минус производная <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14lnx">  , это 1/х. Следует учесть, что производная

существует при x ≠0  . Значение

производной функции от числа 1 равно

4. Составим уравнение касательной к

графику функции y=1+4(х-4)=1+4х-16=4x-15, получим y=4x-15

Пример 3. Исследовать функцию <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=lnxx">  на экстремум функции. Для этого найдем производную функции. Она будет равна <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 141-lnxx">  .

При этом область определения функции

все действительные числа кроме 0.

Найдём нули производной, для этого

приравняем производную функции к нулю. Корень данного уравнения равен

числу е

Это единственная стационарная точка. Если x<e , то y’>0; если x>e , то y’<0.  Значит, точка e- точка максимума функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14ymax=lnee=1e">  .

Ответ: х=е – точка максимума <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14ymax=1e">  .

Пример 4. Найти производную функции

<!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14fx=2e-7x+9">

Производную найдём по правилу

дифференцирования сложной функции.

Для логарифмической функции

 найдём производную. Для

этого перейдём от логарифма по

основанию а к логарифму по

основанию е. Запишем логарифм х по

основанию а виде частного

натуральных логарифмов от х и а.

выражение <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14(lnxlna)'">   заменим на

произведение коэффициента 1/lna на

натуральный логарифм х. Производная

от lnx равна 1/х . таким образом

производная функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=logax">    равна частного единицы к произведению .

Пример 5

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке : <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=lnвЃЎ(2x+2)">  , <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14x0=14">  ;

Найдем производную функции по правилу <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y'=kв€™f'(kx+m)">    и <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14(logax)'=1x ln a">  .

Производная логарифма равна

Частному <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 141x ln a">  , тогда производная равна частному <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 142(2x+2)lne"> . Причём натуральный логарифм числа е

это есть 1. Полученную дробь можно

сократить на два, получим что

производная  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14lnвЃЎ(2x+2)">  будет равна

1/(х+1). Подставим значения

переменной в формулу -0,25+1   в

знаменателе дадут 0,75. А дробь <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 1410,75">  равна 4/3