Урок «Метод координат в пространстве. Угол между векторами»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Для изучения новой темы понадобится определение сонаправленных векторов.

Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и их направления совпадают.

Возьмем два произвольных вектора  и . Отложим от какой-нибудь точки М векторы  =  и =.

Если векторы  и  не являются сонаправленными, то лучи МВ и МС образуют угол ВМС. Градусную меру этого угла обозначим буквой α (альфа)  и будем говорить, что угол между векторами  и  равен α.

Если же векторы  и  сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между ними равен 0°.

Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными.

Угол между векторами   и  обозначается так: =.

Пример

Дан угол и векторы , ,,,. Углы между ними таковы :  =З0° (угол между векторами а и бэ равен тридцати градусам),  =120°,  = 90°, = 0°,  =180°.

Тогда , ,  (вектор бэ перпендикулярен вектору цэ, вектор бэ перпендикулярен вектору дэ, вектор бэ перпендикулярен вектору эф).

Рассмотрим простейшие задачи

Задача 1

Дан куб KMNPK₁M₁N₁P₁.

Найти угол между векторами

1.  и
2.  и 
3.    и
4.   и

Решение

1.Векторы  и  совпадают с катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника MM₁N, поэтому  = 45°

=   =  = 90°

Предположим, что сторона куба равна а единицам. Из прямоугольного треугольника КММ₁ найдем КМ₁. Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов. Следовательно, КМ₁ =  =  =  =        

Векторы  и  лежат в одной плоскости KM₁N₁P.

Продолжим прямую М₁Р от точки Р на длину вектора . Обозначим конец получившегося вектора точкой С. Тогда  = . Следовательно,  = .

Найдем .  Для этого вычислим величину угла КРС.

КРС = КРО + ОРС, где КРО = 90°, а ОРС = КМ₁Р (КМ₁ || ОN₁, М₁С - секущая).

Треугольник КМ₁Р – прямоугольный. Следовательно, tgКМ₁Р =  =  (по формуле)  →  tgКМ₁Р =  → КМ₁Р = ОРС = 45°.

Значит,  КРС = КРО +ОРС = 90° + 45° = 135° → = 135°

Следовательно,

=  = 135°

=  →  = 0°

Задача 2

Угол между векторами  и  равен α.

Найти

Решение

Отложим векторы и от любой точки О и построим векторы и .

Тогда  =  как вертикальные.

Значит = α

Тогда  и  - смежные.

Значит  = 180° – α