Урок «Объем цилиндра»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Вспомним:

Что называется цилиндром, осью цилиндра, высотой цилиндра, радиусом цилиндра?

Что является разверткой боковой поверхности цилиндра?

Что является основанием цилиндра?

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами O(r),  (r), называется цилиндром.

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называется образующими цилиндра,

Прямая   – ось цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны. 

Длина образующей называется высотой цилиндра, радиус основания – радиусом цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Введем определения призмы, вписанной в цилиндр, и призмы, описанной около цилиндра.

Определение: Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

Определение: Призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около основания цилиндра

Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

V=πr2h

Дано: цилиндр P, r — радиус и h – высота.

Доказать: 

Доказательство:

Впишем в данный цилиндр Р радиуса  r и высотой h правильную n-угольную призму  . Пусть  – цилиндр радиуса  , для которого   является описанной призмой. Обозначим через V и объемы цилиндров Р и  .

Так как объем призмы =   * h,

 – площадь основания призмы  ,

а цилиндр Р содержит призму  , которая в свою очередь, содержит цилиндр  , значит

 < * h<V.  (эс энное умноженное на аш больше вэ энного но меньше вэ) (1)

 Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус   цилиндра   стремится к радиусу r цилиндра P. Поэтому  объем цилиндра     стремится к объему цилиндра Р:       (предел вэ энного при стремлении эн к бесконечности равен вэ)

Из неравенства  < * h<V.  следует, что и  Но 

(предел эс энного на аш при стремлении эн к бесконечности равен вэ, но предел эс энного равен пи на эр в квадрате)

Таким образом,

V=πr2h

Теорема доказана.

Решение задач

Задача 1

Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра.  Найдите:

а) V, если r=2 h=3см;

б) h, r=h, V=8π 

Решение:

Согласно изученной теореме, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра ищем по формуле: V=πr2h

Подставим в формулу данные в задаче значения и получим

V=

 Ответ:

б) Согласно изученной теореме, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра ищем по формуле: V=πr2h

Так как r=h, то формула будет иметь вид: 

 следовательно,  извлекая из обеих частей формулы корень кубический и подставив в формулу данные в задаче значения объёма получим

Ответ: высота равна 

Задача 2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Пусть   – это объем первого сосуда.

Пусть   – это объем второго сосуда.

При переливании из одного сосуда в другой объем остается прежним, значит

 Объем цилиндра вычисляем по формуле

V=πr2h.

Следовательно, объем первого цилиндра   = πr1 2∙45

Объем второго цилиндра равен   = πr2 2h2,

Таки образом, получим равенство:

πr1 2∙45 = πr2 2h2

Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то радиус второго сосуда тоже в три раза  больше радиуса первого, значит r2=3r1

Тогда получим равенство

r1 2∙45 = (3r1) 2h2

r1 2∙45 = 9r1 2h2

Откуда h2=5

Ответ: h2= 5см.

Задача 3

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 42.

Решение:

Пусть R - радиус круга, являющегося основанием как для цилиндра, так и для конуса объёмом Vк, h - их общая высота.

 =42

Объём конуса ищется по формуле:

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

Следовательно, находим отношение объема цилиндра к объему конуса  =3

Получили  , выражаем отсюда объем цилиндра, то есть умножаем обе части формулы на объем конуса находим, следовательно объем цилиндра равен 3 объемам конуса и равен 126.

Ответ:Vц =126