Урок "Квадратный трехчлен"

  • Видеоуроки по алгебре для 7 класса

Описание документа:

Рассмотрим такую важную математическую конструкцию, как квадратный трехчлен. Из этого определения вырастает целые классы квадратичных уравнений и неравенств, поэтому очень важно уметь оперировать данным видом полинома. В представленом видеоуроке будут обрисованы основные свойства квадратного трехчлена.

Урок "Квадратный трехчлен"
Для того чтобы вывести формальное определение, внимательно изучим примеры выражений типа:

2 +2х – 9

х2 – 4х + 5

х2+7х

Все три выражения являются математически однотипными. Даже третий пример можно легко вписать в общую систему квадратных трехчленов, дописав нулевой элемент:

х2+7х = х2 + 7х + 0

Таким образом, мы получаем устойчивую конструкцию, включающую квадрат переменной, саму переменную, некий свободный член. Все элементы связаны посредством алгебраического суммирования и при переменных обязательно должен быть коэффициент, не равный нулю. Такое выражение именуется квадратным трехчленом; в общем плане оно имеет вид:

ах2 + bх + с

Урок "Квадратный трехчлен"

Тут а, b и с являются коэффициентами квадратного трехчлена, причем а – старший коэффициент (так как стоит возле переменной с большей степенью), а с – свободный член. Выделим числовые коэффициенты наших примеров:

2 +2х – 9

а = 6; b = 2; с = -9

х2 – 4х + 5

а = 1; b = -4; с = 5

х2+7х

а = 1; b = 7; с = 0

Не забываем, что отсутствующий коэффициент обозначает единицу, а также тот факт, что знак перед элементом трехчлена относится к числу, в первую очередь, и его тоже нужно записывать с коэффициентом.

Урок "Квадратный трехчлен"

Квадратные трехчлены можно преобразовывать при помощи формул сокращенного умножения, уже известных нам из предыдущих уроков. Воспользуемся обратной формулой расчета для квадрата разности двух чисел, чтобы преобразовать данный трехчлен:

х2 – 8х +19

В данном случае полезно воспользоваться методом мнимой подстановки. В математике при любых действиях разрешается вписывать посторонние элементы, но только при условии, если они аннулируют друг друга и не исказят результат всего выражения. Это бывает очень полезным для совершения перегруппировки, и для подгона многочлена под необходимую формулу. Пользуясь этими соображениями, преобразим наш трехчлен и воспользуемся ФСУ для квадратной разности:

х2 – 8х +19 = х2 – 2х(4) +42 – 42 +19 = (х – 4)2 – 42 +19 = (х – 4)2 + 3

Иногда приходится воспользоваться всем комплексом ФСУ, прекрасно сочетаемым с квадратичными трехчленами. Например, если необходимо преобразовать полином так, чтобы получилось произведение двух множителей. Рассмотрим на примере:

х2 + 4х + 3

Введем в это выражение самоаннулирующиеся числа 4 и -4, а также преобразуем второй элемент (отделив двойку):

х2 + 4х + 3 = х2 + 2х(2) + 4 – 4 +3 = (х + 2)2 – 1

Единицу всегда можно представить как квадрат, т.е. 1 = 12, и наоборот. Поэтому, используя формулу обратного преобразования для разности квадратов, получим следующее:

(х + 2)2 – 1 = (х + 2)2 – 12 = (х + 2 – 1)(х + 2 + 1) = (х+1)(х+3)

Преобразование многочленов часто используется и в геометрических упражнениях, особенно на доказательном уровне. Например, существует некоторый прямоугольник с периметром в 16 см. Необходимо найти такое значение его сторон, при котором площадь фигуры будет максимальной, и математически доказать выбор. Как известно, площадь любого прямоугольника равна произведению двух его сторон. При этом по свойствам данной фигуры сумма двух перпендикулярных сторон равна половине периметра. Обозначим одну сторону переменной х. Тогда:

Первая сторона = х

Вторая сторона = (16/2) – х

Площадь фигуры = х((16/2) – х)

Урок "Квадратный трехчлен"

Раскрыв скобки в выражении для площади, мы получим квадратный трехчлен с нулевым свободным элементом:

х((16/2) – х) = -х2 + 8х

Для того, чтобы воспользоваться формулами свободного сокращения для выведения квадрата разности, поставим все выражение в скобки с минусом, инверсировав внутренние знаки:

2 + 8х = - (х2 – 8х)

Подставляя свободный член в виде -16 и 16, получим полный квадратичный трехчлен, который можно сократить по ФСУ:

- (х2 – 8х) = - (х2 – 2х(4) + 16 – 16) = - ((х – 4)2 – 16)

Раскрываем скобки последнего выражения:

- ((х – 4)2 – 16) = -(х - 4)2 + 16

Напомним, что итоговое выражение обозначает площадь прямоугольника. Квадрат любого числа всегда положителен, поэтому выражение -(х - 4)2 почти всегда будет отрицательным числом из-за минуса перед скобками. Наибольшее значение -(х - 4)2 может приобрести только тогда, когда содержимое скобок будет равно нулю. Площадь прямоугольника при этом достигнет максимального значения в 16 см2. Такое возможно, если:

х – 4 = 0

х = 4

Мы приходим к выводу, что наибольшая площадь прямоугольника с периметром в 16 см возможна только при стороне в 4 см. Вторая сторона будет равна:

а = 8 – х = 8 – 4 = 4

То есть, наибольшей площадью при заданном периметре обладает квадрат с ребром в 4 см.

Дата добавления 02.08.2014
Предмет алгебра
Класс 7 класс
Слайдов в презентации 10 слайдов
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.