Урок "Возведение одночлена в степень"

Возведение любого натурального одночлена в степень сопровождается применением правил стандартного умножения. Рассмотрим такой пример:

(ах)⁴

Для того, что бы найти значение этого выражения, произведем почленное умножение:

(ах)⁴ = ах*ах*ах*ах

Как мы помним, любые переменные в одном одночлене являются,  по факту, перемноженными. Иными словами, одночлен ах представляет собой скрытое произведение а на х. Поэтому, можно с уверенностью сказать, что:

ах*ах*ах*ах = ахахахах

С другой стороны, произведение любого количества любых одночленов дает тоже одночлен. Собственно говоря, разницы между произведением одночленов и общим мономом никакой нет. Скрытый или явный знак умножения роли особой не играет и никак не отображается на общем результате. Перегруппировав, получаем:

ахахахах = аааахххх = а⁴х⁴

Сравниваем это выражение с начальным вариантом:

(ах)⁴ = а⁴х⁴

Возведение в степень n одночлена, состоящего из двух переменных х и у приводит к новому одночлену, в котором и х, и у, имеют степень n:

(ху)ⁿ = (х)ⁿ(у)ⁿ

Это правило прекрасно работает для любого количества переменных в одночлене. Например, для монома асху возведение в куб будет выглядеть так:

(асху)³ = (а)³(с)³(х)³(у)³

Таким образом, что бы возвести в степень одночлен, состоящий из многих элементов, необходимо каждый из этих элементов возвести в данную степень, а результаты перемножить, так что бы получился одночлен. Основание результата будет подобным начальному моному. Не стоит забывать, что свободный член тоже является элементом одночлена и подлежит возведению в степень.

Найдем значение выражения вида:

(-3ах)³

Как мы видим, заданный одночлен состоит из трех элементов – множителей: а, х, и (-3). Каждый из них возведем в третью степень, а полученный результат перемножим, скрыв знаки умножения. При этом можно сразу рассчитать значение куба (-3):

(-3ах)³ = -27а³х³

Далее в нашем видео представлена теоретическая основа для правила возведения степеней, при основаниях, уже имеющих степень, отличную от единицы. Рассчитаем почленно значение выражения:

(а4)² = (а4)*(а4) = (аааа)(аааа) = (а)⁸

Мы получили одночлен, который можно сократить до основания и показателя новой степени. При возведении любого основания х, имеющего степень а, в степень у, получаем выражение вида (х)ау. Иначе говоря, в подобных случаях степени перемножаются друг на друга.

Правила деления степенных выражений имеют общие черты с правилами произведения. Действительно, произведем почленные вычисления и преобразование полученного одночлена:

(х/у)³ = (х/у)*(х/у)*(х/у) = х³/у³

При возведении в куб дроби, мы перемножили эту дробь три раза. По закону умножения дробей мы получили куб делимого и куб делителя в новой дроби. Так же, как и в случае с умножением, степень просто переносится на каждый элемент одночлена, раскрывая скобки.

Следует понимать, что операция внесения степени в скобки в случаях умножения и деления внутри одночлена всегда представляет собой процесс умножения внешней степени на каждую степень внутренних элементов. Если таковая визуально не задана – значит, она равна единице, а умножение на единицу дает начальный результат. Кроме того, следует отличать между собой выражения вида аху⁴, а(ху)⁴, (аху)⁴, потому что степень над скобками относится исключительно к внутреннему содержимому, никак не влияя на остальные элементы одночлена:

аху⁴ = аху⁴

а(ху)⁴ = ах⁴у⁴

(аху)⁴ = а⁴х⁴у⁴

Решим такое практическое упражнение. Найдем значение выражения:

(-3х³у²)⁶

Пользуемся вышеописанными свойствами, возводим одночлен в шестую степень:

(-3х³у²)⁶ = (-3)⁶*(х³)⁶*(у²)⁶ = 729х18у12

Все свойства умножения и деления степенных выражений работают и с основаниями, имеющими нулевую степень, при условии, что эти основания не равны нулю.