Урок "Третий признак равенства треугольников"

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» содержит доказательство теоремы, представляющей собой признак равенства двух треугольников по трем сторонам. Данная теорема является важной частью геометрии. Она часто используется для решения практических задач. Ее доказательство базируется на известных уже ученикам признаках равенства треугольников.

Доказательство данной теоремы сложое, поэтому для улучшения качества обучения, формирования умения доказывать геометрические утверждения желательно использовать данное наглядное пособие, которое поможет сконцентрировать внимание учеников на изучаемом материале. Также оно при помощи анимации, наглядной демонстрации построений и доказательства дает возможность улучшить качество обучения.

В начале урока демонстрируется название темы и формулируется теорема о том, что треугольники равны в случае, если все стороны одного треугольника попарно равны всем сторонам второго треугольника. Текст теоремы демонстрируется на экране и может быть записан учениками в тетрадь. Далее рассматривается доказательство данной теоремы.

Для доказательства теоремы строятся треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁. Из условия теоремы следует, что стороны попарно равны, то есть АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁ и АС=А₁С₁. В начале доказательства демонстрируется наложение треугольника ΔАВС на ΔА₁В₁С₁ так, чтобы вершины А и А₁, а также В и В₁ данных треугольников совместились. При этом вершины С и С₁ должны располагаться по разные стороны от наложенных сторон АВ и А₁В₁. При данном построении возможно несколько вариантов расположения элементов треугольников:

1.       Луч С₁С лежит внутри угла ∠А₁С₁В₁.
2.       Луч С₁С совпадает с одной из сторон угла ∠А₁С₁В₁.
3.       Луч С₁С лежит вне угла ∠А₁С₁В_1.

Каждый случай необходимо рассматривать отдельно, так как доказательство не может быть одинаковым для всех данных случаев. В первом случае рассматривается два треугольника, образованных в результате построения. Так как по условию в данных треугольниках стороны АС=А₁С₁, а ВС=В₁С₁, то получившиеся треугольники ΔВ₁С₁С и ΔА₁С₁Сравнобедренные. Используя изученное свойство равнобедренных треугольников, мы можем утверждать, что углы ∠1 и ∠2 равны между собой, а также ∠3 и ∠4 равны. Так как данные углы равны, то и в сумме ∠1 и ∠3, а также ∠2 и ∠4 также будут давать равные углы. Поэтому углы ∠С и ∠С₁ равны. Доказав данный факт, мы можем заново рассмотреть треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁, в которых стороны ВС=В₁С₁ и АС=А₁С₁ по условию теоремы, и доказано, что углы между ними ∠С и ∠С₁ также равны. Соответственно, данные треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников, который уже известен ученикам.

Во втором случае при наложении треугольников точки С и С₁ легли на одну прямую, проходящую через точку В(В₁). В сумме двух треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ получился треугольник ΔСАС₁, в котором две стороны АС=А₁С₁ по условию теоремы являются равными. Соответственно, данный треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике при равных сторонах лежат равные углы, поэтому можно утверждать, что углы ∠С=∠С₁. Также из условия теоремы следует, что стороны ВС и В₁С₁ равны между собой, поэтому ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ с учетом изложенных фактов равны между собой по первому признаку равенства треугольников.

Доказательство в третьем случае, аналогично первым двум, использует первый признак равенства треугольников. Построенная наложением треугольников геометрическая фигура при соединении отрезком вершин С и С₁ преобразуется в треугольник ΔВ₁С₁С. Данный треугольник является равнобедренным, так как его стороны В₁С₁ и В₁С по условию равны. А при равных сторонах в равнобедренном треугольнике углы ∠С и ∠С₁ также равны. Так как по условию теоремы равны стороны АС=А₁С₁, то углы при них в равнобедренном треугольнике ΔАСС₁ также равны. С учетом того, что углы ∠С и ∠С₁ равны, и углы ∠DCAи ∠DC₁A равны между собой, то и углы ∠АСВ и ∠АС₁В также равны. Учитывая данный факт, для доказательства равенства треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ можно использовать первый признак равенства треугольников, так как две стороны у данных треугольников равны по условия, а равенство углов между ними доказано в ходе рассуждений.

В конце видеоурока демонстрируется важное приложение третьего признака равенства треугольников – жесткость данной геометрической фигуры. На примере разъясняется, что значит данное утверждение. В качестве примера гибкой конструкции приводятся две рейки, соединенные гвоздем. Данные рейки могут быть раздвинуты и сдвинуты под любым углом. Если же к рейкам прикрепить еще одну, соединенную концами с имеющимися рейками, то мы получим жесткую конструкцию, в которой невозможно поменять угол между рейками. Получение треугольника с данными сторонами и другими углами невозможно. Это следствие теоремы имеет важное практическое значение. На экране изображаются инженерные конструкции, в которых применяется данное свойство треугольников.

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» облегчает учителю подачу нового материала на уроке геометрии по данной теме. Также видеоурок может с успехом использоваться для дистанционного обучения математике, поможет разобраться в сложностях доказательства ученикам самостоятельно.