Презентация "Прямоугольный параллелепипед"

Презентация «Прямоугольный параллелепипед» является наглядным пособием для проведения урока геометрии по данной теме. С помощью презентации можно углубить понятие о прямоугольном параллелепипеде, сформировать умение решать задачи, в которых применяются знания о свойствах прямоугольного параллелепипеда. В ходе презентации детально рассматривается прямоугольный параллелепипед, его виды, свойства его элементов, приводятся примеры прямоугольных параллелепипедов, встречающихся в жизни.

В презентации можно воспользоваться возможностью вставки иллюстраций, построения чертежей. Анимационные эффекты, используемые в составлении слайдов, дают возможность представить учебный материал в виде, наиболее удобном для понимания учеников. При построениях можно выделить с помощью цвета отдельные детали построения. Также цветом могут быть выделены определения, которые нужно запомнить. Использование всех этих приемов дает возможность акцентировать внимание учеников на изучении предмета, повысить эффективность обучения.

Демонстрация начинается с представления предметов, которые своей формой повторяют прямоугольный параллелепипед. На слайде представлены фото ластика, один из которого – в форме прямоугольного параллелепипеда, а второй является непрямоугольным параллелепипедом. На следующем слайде изображены геометрические тела, повторяющие форму представленных на фото ластиков – прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

К представленным параллелепипедам добавлены названия их видов – прямоугольный параллелепипед, в котором ребра перпендикулярны основаниям, и наклонный параллелепипед, в котором ребра являются наклоненными под углом к основанию. При этом отмечается, что прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник. Примерами прямоугольных параллелепипедов являются встречающиеся в жизни предметы, форма которых повторяет прямоугольный параллелепипед – системный блок компьютера, книги, микроволновая печь.

Представлено доказательство теоремы о том, что всеми шестью гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. Данная теорема представлена как свойство параллелепипеда. Формулировка теоремы выделена в рамку и рекомендована для запоминания. Доказательство теоремы сопровождается рисунком, на котором изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Перпендикулярность бокового ребра AA₁ к основанию ABCD означает перпендикулярность этого ребра ребрам основания AD и AB. Перпендикулярность бокового ребра ВВ₁ к основанию ABCD означает перпендикулярность ребра ребрам основания АВ и ВС. Также перпендикулярность бокового ребра СС₁ к основанию ABCD означает перпендикулярность этого ребра ребрам основания СD и ВС. Аналогично доказывается перпендикулярность DD₁ к ребрам основания AD и DC. Таким образом, боковые грани параллелепипеда – прямоугольники.

Далее представлено второе свойство, утверждающее о том, что двухгранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми. Формулировка свойства заключена в рамку и выделена для запоминания. Рядом с теоремой демонстрируется рисунок, на котором изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Прежде чем доказывать теорему, на примере построения описывается условие теоремы – дан двугранный угол ADD₁C, боковые грани параллелепипеда перпендикулярны основанию ABCD. Угол ∠ADC является прямым по условию. Из этого следует, что угол ∠ ADD₁C также является прямым. Теорема доказана.

Рассматриваются элементы прямоугольного параллелепипеда. В рамке выделено определение измерений прямоугольного параллелепипеда – трех ребер с общей вершиной. Рядом с текстом определения изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. На рисунке выделены красным цветом три ребра с общей вершиной – АВ, ВВ₁, ВС.

На следующем слайде ученикам напоминается, что квадрат диагонали прямоугольника ABCD вычисляется как сумма квадратов двух измерений АС²=АВ²+ВС². Рядом со свойством изображается прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором пунктиром отмечена диагональ АС, а также цветом выделены АВ, ВС и ВВ₁.

Далее представлено третье свойство прямоугольного параллелепипеда, которое свидетельствует о равенстве квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда сумме квадратов его трех измерений. Доказательство сопровождается изображением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁., в котором проведена пунктирной линией диагональ B₁D, а также проведены диагонали основания BD и АС. Необходимо доказать равенство DB₁²=АВ²+ВС²+ВВ₁². Зная свойство прямоугольник, можно утверждать DB²= АС²=АВ²+ВС². Отмечается перпендикулярность ребра ВВ₁ и диагонали DB. Из треугольника ΔDB₁B следует равенство DB₁²=DВ²+ ВВ₁². Из установленных равенств следует и равенство квадрата диагонали параллелепипеда сумме квадратов ребер, выходящих из одной вершины, то есть DB₁²=АВ²+ВС²+ВВ₁². Утверждение доказано.

Также отмечается свойство прямоугольного параллелепипеда о равенстве всех его диагоналей. На рисунке рядом со свойством изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. В параллелепипеде отмечены пунктирной линией отмечены все диагонали параллелепипеда АС₁, А₁С, ВD₁, B₁D и их точка пересечения О. На слайде 12 представлен куб ABCDA₁B₁C₁D₁, и дано его определение. На экране отображается, что куб является прямоугольным параллелепипедом с равными измерениями. На рисунке отмечены равные ребра.

На следующем слайде представлено описание решения задачи, в которой необходимо найти длину диагонали D₁B. В задаче дается прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁., в котором диагональ грани ВС₁=11 см, диагонали основания BD=20 см, а диагональ А₁В=19 см. Чтобы решить задачу, нужно использовать равенство, отображающее свойство прямоугольного параллелепипеда d²=a²+b²+c². Перпендикулярность боковых ребер АВ и А₁А указывает на то, что треугольник ΔА₁АВ является прямоугольным, поэтому А₁В²=а²+с². Аналогично из перпендикулярности ребер С₁С и ВС следует верное для прямоугольного треугольника ΔС₁СВ равенство С₁В²=b²+с². Из прямоугольника ABCD следует DВ²=b²+а². Подставив известные значения длины ребер, получается а²+b²=20², а²+b²=19², а²+b²=11². Из равенств следует 2(а²+b²+с²)= 20²+19²+11². Данное выражение равно 2d², отсюда d²=20²+19²+11²/2=441. Длина диагонали равна 21 см.

На последнем слайде демонстрируется описание решения задачи, в которой необходимо найти измерения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ – длину ребер АВ, AD, D₁D. При том, что дана длина диагонали параллелепипеда АС₁=12 см. Угол между диагональю BD₁ и гранью АА₁D₁D составляет 30°, а угол между диагональю BD₁ и ребром D₁D равен 45°. Из свойства параллелепипеда следует BD₁=АC₁=12 см. Так как треугольник ΔD₁AB прямоугольный, то угол ∠AD₁B=30°, а его стороны BD₁=12 см, то есть BD₁/2=6 см. Так как треугольник ΔВD₁D прямоугольный, его ∠ВD₁D=45°. Учитывая это, можно найти BD=DD₁=12cos45°=12·√/2=6√2. Для прямоугольного треугольника ΔВАD со сторонами АВ=6 см и BD=6√2 см следует AD=√(BD²-AB²)= 6 см. Задача решена.

Презентация «Прямоугольный параллелепипед» предназначена для повышения эффективности традиционного урока геометрии в школе. Также данный материал успешно может использоваться в ходе дистанционного обучения. Пособие может быть рекомендовано ученикам, которые недостаточно хорошо освоили тему или изучают ее самостоятельно.