Презентация "Объем прямоугольного параллелепипеда"

В предыдущей теме учащиеся ознакомились с понятием объема тела и его свойствами. Теперь мы переходим к более детальному изучению объемов конкретных геометрических фигур. В данной презентации рассмотрим, как вычисляется объем прямоугольного параллелепипеда.

Разберем теорему. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется умножением его трех сторон между собой V = a x b x c. Разберем доказательство это утверждения. Нам известно, что есть параллелепипед, даны его стороны a, b и с. Рассмотрим несколько случаев.

1) стороны a, b и с – десятичные дроби, которые являются конечными; n – число знаков в дроби после запятой и n ≥ 1. Тогда значения a x 10ⁿ, b x 10ⁿ, c x 10ⁿ будут целыми числами. Если каждое ребро параллелепипеда разделим на части размером 1/10ⁿ, и эти части будут равны между собой, и проведем через эти точки сечения, то параллелепипед будет разделен на равные между собой параллелепипеды. Объем такого параллелепипеда (куба) равен abc. Ребро этого параллелепипеда (куба) будет равно значению 1/10ⁿ. Тогда объем маленького куба будет равен  V_м= 1/10³ⁿ. Найдем объем исходного параллелепипеда V = a x b x c x 10³ⁿ x 1/10³ⁿ = a x b x c.

2) измерения a, b и с – десятичные дроби, которые являются бесконечными. Допустим, что десятичные дробиa_n, b_n и с_n конечны, которые получились из значений a, b и с, если удалить цифру после запятой в каждом последующем числе. Запишем, что a_n^' = a_n + 1/10ⁿ, a_n ≤ a ≤ a_n^'. Аналогично b_n ≤ b ≤ b_n^', c_n ≤ c ≤ c_n^'. Перемножив эти выражения, получим a_nb_n с_n ≤ abc ≤ a_n^' b_n^' c_n^'.

a_nb_n с_n – это V_n, a_n^' b_n^' c_n^' – V_n'. Когда значение n будет неограниченно расти, значение 1/10ⁿ будет стремится к нулю, следовательно, значения a_nb_n с_n и a_n^' b_n^' c_n^' будут практически не отличаться друг от друга. Значит, V будет практически не отличаться от значения abc, следовательно, V = abc.

На следующем слайде проиллюстрированы 2 следствия из теоремы.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется умножением площади его основания на высоту  V = S_оснx h.

Следствие 2. Если в основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, то объем этой призмы вычисляется умножением площади основания на ее высоту V  = 0,5 (2S_ABC x h) = S_ABC x h.

Рассмотрим примеры. Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед, известные стороны отмечены на рисунке. Нужно найти объем нарисованной фигуры. Отметим, что V₁ это объем полного параллелепипеда без вырезанной части; V₂  – объем вырезанного параллелепипеда; V – объем заданной фигуры. Тогда, зная стороны и вычисляя V₁ и V₂, найдем V = V₂ – V₁.

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, B₁D₁ = 6см, угол B₁DB равен 30 градусов, двугранный угол A₁B₁BD равен 60 градусов.

Необходимо найти объем параллелепипеда. Т.к. AB = A₁B₁, AB перпендикулярна BB₁, а BD перпендикулярна BB₁, угол ABD равен 60 градусов. Угол B₁DB равен 30 градусов, угол B₁BD равен 90 градусов, значит треугольник BB₁D прямоугольный. B₁D₁ = BD = 6см, следовательно, BB₁ = 6/2 = 3см. Используя теорему Пифагора, найдем в треугольнике BB₁D сторону BD. Далее рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, угол ABD равен 60 градусов, угол ADB равен 30 градусов. AB = 0,5BD. AD найдем, зная размеры BD и AB. Когда мы вычислили все необходимые размеры, можем найти объем прямоугольного параллелепипеда V = AD x AB x BB₁.