Презентация «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными»

В бланки государственной итоговой аттестации часто входят задания, где необходимо решить уравнения второй степени с двумя переменными. Также знания по данной теме помогут продолжить обучение алгебре, при решении задач или по другим предметам, например, по физике.

Решать системы уравнений можно разными способами. Но системы уравнений второй степени с двумя переменными имеют свою специфику. Автор данной презентации предлагает познакомиться с некоторыми приемами, которые помогут легко решить такие системы уравнений.

Самое начало урока втор предлагает начать с рассмотрения примера, где нужно решить систему уравнений. Для начала предлагается преобразовать первое уравнение, разложив ее левую часть равенства на множители, правая его часть равна 0. Так получается, что в первом уравнении произведение оказалось равным нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Так получается, что заданная система уравнений разбивается на две систему, то есть она эквивалентна совокупности двух систем. Осталось в 1-ом уравнении каждой такой системы одну переменную выразить через другую, и методом подстановки решить системы уравнений. Так как в каждой из двух систем получилось по две пары решений, то первоначальная система имеет четыре такие пары. Естественно, каждую пару необходимо проверить, подходит ли она в качестве решения или при подстановке она обращает уравнения в неверные равенства.

На следующем слайде показан другой пример, где рациональным методом решения будет  способ сложения. Это возможно из-за того, что одна из переменных находится в 1-ой степени. Но прежде, чем сложить уравнения, предлагается второе уравнение умножить на 4. После этого уравнения складываются, и получается новое уравнение, у которого можно разложить левую часть равенства на множители и заменить первоначальную систему уравнений равносильной совокупностью двух систем уравнений, взяв неизменным второе уравнение. Затем способом подстановки решить эту систему. Полученные решения обязательно нужно проверить на наличие лишних корней.

На следующем слайде показан пример, где можно обе части первого уравнения в системе разделить на y². Но при этом автор акцентирует внимание, что y≠0, ведь, как известно, на нуль делить нельзя. Получается новое равносильное уравнение, где можно ввести замену. С заменой уравнение получилось квадратным. Его легко решить. А затем, возвращаясь к замене, находятся решения первоначальной системы уравнений.

Последний слайд демонстрирует особый пример. В качестве системы двух уравнений с двумя переменными взята интересная система, которая является симметрической. Такая система решается особым способом, когда вводится специальная замена. Эта замена приводит к системе более простой, которая решается удобным способом. Затем автор возвращается к замене и находит искомые решения системы уравнений. В этом случае получилось всего три пары решений.

На основании рассмотренных примеров обучающиеся должны усвоить то, что в каждой системы важно заметить свою «изюминку», которая подскажет, каким способом ее решать и какие приемы здесь будут уместны.