Презентация «Разложение квадратного трехчлена на множители»

Презентация «Разложение квадратного трехчлена на множители» - наглядное пособие в помощь учителю для объяснения данной темы. Презентация содержит материал, необходимый для глубокого понимания предмета, для формирования навыков решения задач по данной теме. Презентация содержит обоснование метода нахождения корней квадратного трехчлена, а также материал для закрепления навыков нахождения корней при решении задач.

Использование формы презентации дает возможность учителю более наглядно и понятно представить изучаемый материал. При помощи анимационных эффектов, выделения важных понятий цветом и других приемов презентации, учитель получает возможность повысить эффективность урока, более рационально использовать время. Четко выраженные акценты при объяснении и хорошая наглядность способствуют лучшему запоминанию материала, повышению концентрации внимания учеников на изучаемом предмете.

Презентация начинается с представления названия темы. На слайде 2 представлен пример, который ученики могут решить на основании уже имеющихся у них знаний и умений. Предлагается произвести разложение квадратного трехчлена 2x²-10x+8 на множители. Ход решения задачи включает три этапа – вынесение общего множителя за скобки, применение способа группировки для разложения на множители выражения в скобках, а затем общее представление данного квадратного трехчлена в виде произведения. После вынесения множителя 2 за скобки, получаем выражение 2(x²-5x+4). Выражение в скобках сгруппируем так, чтобы после преобразований выражения-множители в скобках были одинаковыми. Для этого преобразуем x²-4x-x+4=x(x-1)-4(x-1)  После вынесения общего множителя  за скобки, получаем выражение (x-1)(x-4). Общее представление решения 2(x-1)(x-4). Очевидно, что решением равенства 2(x-1)(x-4)=0 будут x₁=1, x₂=4. Найти корни квадратного трехчлена предлагается также при помощи нахождения дискриминанта квадратного уравнения. После выполнения вычислений получаем такие же два корня трехчлена x₁=1, x₂=4. То есть демонстрируется равенство корней, найденных при разложении квадратного трехчлена на множители и при решении соответствующего квадратного уравнения.

Правило о том, что при нулевом значении дискриминанта два корня квадратного трехчлена по значению совпадают, выделено на экране для запоминания на слайде 3.

Далее описывается доказательство теоремы о разложении квадратного трехчлена на множители, которая утверждает, что для корней квадратного трехчлена х₁ и х₂ будет верно равенство ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂). На первом этапе доказательства за скобки вынесен множитель a. Для этого все слагаемые трехчлена поделены на a. Полученное выражение a(x²+(b/a) x+c/a). Так как известно, что корни квадратного трехчлена являются и корнями соответствующего квадратного уравнения, то применив теорему Виета, получаем выражения x₁+x₂=-b/a, а x₁∙x₂=c/a. Из данных выражений следует, что b/a=-(x₁+x₂), а c/a=(x₁∙x₂). Теперь имеющиеся выражения с корнями подставляем в выражение, полученное после вынесения множителя a за скобки. После раскрытия скобок и перегруппировки слагаемых с вынесением общего множителя за скобки получаем выражение (x-x₁)(x-x₂). Подставив данное выражение вместо x²+(b/a) x+c/a, получаем ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂). Как видно, результат доказательства подтверждает справедливость данного утверждения.

В следующей части презентации предлагается рассмотреть доказательство теоремы о невозможности разложения квадратного трехчлена, который не имеет корней, на множители-многочлены первой степени. Данное утверждение выделено для запоминания. Доказательство начинается с оглашения условия, что квадратный трехчлен  не имеет корней. Доказывая утверждение методом от противного, предполагаем, что все же данный трехчлен имеет решение задачи (kx+m)(px+q), для которого k, m, q, p – некоторые числа, в которых коэффициенты при х первой степени не равны нулю. При этом (kx+m)(px+q) будет равным нулю для значений x=-m/k, x=-q/p. Но данные значения будут не только корнями (kx+m)(px+q), но и корнями квадратного трехчлена ax²+bx+c, однако по условию он не имеет корней. Получив противоречие, мы доказали справедливость изначального утверждения, что разложить на множители первой степени квадратный трехчлен, не имеющий корней, мы не можем.

Для закрепления изученного и формирования навыков решения задач, применяя полученные знания, далее в презентации описывается решение примеров. На слайде 6 предлагается разложить на множители 3x²+5x-2. Для решения данной задачи необходимо найти корни квадратного уравнения 3x²+5x-2=0. Дискриминант его равен 49, значит, имеется два корня со значениями x₁=1/3, x₂=-2. После вынесения общего множителя, равного первому коэффициенту , и подставив значения корней, получаем разложение квадратного трехчлена на множители 3x²+5x-2=3(x-1/3)(x+2). Иначе выражение можно записать (3x-1)(x+2).

На слайде 7 предлагается рассмотреть пример, когда дискриминант квадратного уравнения будет равен нулю. Предлагает разложить на множители -5x²+20x-20. Данный квадратный трехчлен имеет нулевой дискриминант и соответственно два равных корня x₁=x₂=2. Подставив данные корни в выражение a(x-x₁)(x-x₂), получим -5(x-2)(x-2), то есть -5(x-2)². Это и будет результатом решения задачи.

Последний пример является прямым приложением полученных знаний. Использование данного правила помогает более эффективно решать задачи на сокращение дробей, в которых – в числителе или знаменателе – можно получить разложением на множители равные множители для сокращения. Предлагается рассмотреть решение задачи на сокращение дроби (2x+1)/(2x²-7x-4). Видно, что знаменатель дроби представляет собой квадратный трехчлен. Его разложение на множители сводится к нахождению корней квадратного уравнения 2x²-7x-4=0. Корнями данного уравнения будут x₁=1/2, x₂=4. Значит, данный трехчлен при разложении на множители получает вид (2x+1)(x-4). Очевидно, что первый множитель в скобках равен числителю дроби. Поэтому после сокращения одинаковых множителей получаем короткую дробь  

Презентация «Разложение квадратного трехчлена на множители» может быть использована как наглядное сопровождение объяснения учителя по данной теме, а также в качестве пособия при дистанционном обучении. Данный материал поможет ученикам и самостоятельно разобраться в данной теме.