Презентация «Размещения»

Презентация «Размещения» содержит учебный материал для ведения урока математики по теме «Размещения». Данное наглядное пособие включает представление понятия размещений, способа решения задач на размещение элементов, а также примеры решения таких задач. Задача презентации – облегчить понимание материала, запоминание основных понятий, способа решения, формировать умения решать задачи по комбинаторике.

В презентации используются анимационные эффекты, улучшающие наглядность материала, а также выделение цветом для лучшего понимания и запоминания понятий и формул. Презентация может послужить наглядным пособием, сопровождающим объяснение учителя. Важные понятия в ней выделены, могут быть предложены ученикам для записи в тетрадь.

Презентация начинается с представления темы урока. За ней следует рассмотрение примера, подводящего к понятию размещений. На слайде представлено условие задания, в котором необходимо найти количество способов размещения 4 книг на 3 полках, где можно поставить только по одной книге. Решение задачи сначала представляется на рисунке, где книги обозначены буквами A,B,C,D. Так как полок всего три, ни рисунке демонстрируются примеры размещений книг по одной на трех полках. Операция приводит к математическому понятию размещения из четырех элементов по три. Данный вывод размещается на слайде, предлагается для запоминания. После того, как понятие размещения введено, на слайде 3 размещается его общее определение. В тексте определения указано, что размещением из некоторого числа  элементов по, которое меньше , называется множество, которое состоит из  элементов, взятых в определенном порядке из  элементов. Определение заключено в рамку как важное для запоминания.

Различия в способах размещения отмечены на слайде 4, где обращается внимание ученика на то, что способы размещения отличаются не только самими элементами, но и порядком их расположения в ряду. Демонстрируется обозначение размещения из  элементов по : A_n^k.

Следующий слайд демонстрирует все варианты размещений книг, которые рассматривались в начале презентации. Для этого созданы 4 ряда, в каждом из которых расписаны все варианты размещения для первого элемента A,B … и т.д. Рассматривая множество всех возможных решений, видно, что их число составляет 24 варианта размещений, то есть A₄³=24. Более подробно решение расписывается на слайде 6, где указано, что количество размещений 24 образуется перемножением чисел ряда 24=4·3·2. Это отображает общее правило нахождения числа размещений, которое верно для размещения любых элементов n по k, где k<n A_n^k=n(n-1)(n-2)•…•(n-(k-1)), иначе A_n^k=n(n-1)(n-2)•…•(n-k+1).

На следующем слайде проводятся преобразования полученной формулы, которые демонстрируют превращение формулы в более удобную для проведения практических расчетов. Для этого формулы умножается на дробь (n-k)!/(n-k)!, что не меняет получаемого значения. При этом в числителе дроби получается n!. Формула числа размещений из n по k принимает вид: A_n^k=n!/(n-k)!.

На слайде 9 рассматриваются особенности проведения вычислений по данной формуле. Отмечается, что условно принимается 0!=1, поэтому формула будет иметь смысл для любых значений n и k. В частном случае, когда n=k формула принимает вид A_nⁿ=n!/(n-n)!, то есть A_nⁿ=n!. Такое представление соответствует формуле перестановок, в которые превращается размещение при комбинировании n по n элементов.

На слайде 10 предлагается рассмотреть решение задачи на нахождение количества размещений. В ней необходимо найти количество способов составления расписания обучения на день, чтобы в нем были уроки по 5 разным предметам, в то время как общее число предметов – 11. Видно, что решение задачи сводится к нахождению размещений из 11 по 5 элементов. Используя изученную на уроке формулу для нахождения количества размещений, вычисляем: A₁₁⁵=11!/(11-5)!=7•8•9•10•11=55440. Поэтому расписание может быть составлено 55440 числом способов.

На последнем слайде предлагается рассмотреть решение еще одной задачи, в которой используются изученные правила. Необходимо найти количество чисел, которые можно составить из цифр от 0 до 5. Очевидно, чтобы найти решение задачи, необходимо найти разность между количеством размещений для всех данных цифр по 3 и количеством размещений, которые образуются с нулем впереди, так как такие числа не являются трехзначными: A₆³-A₅². После подстановки значений в формулу нахождения размещений получаем 6!/3!-5!/3!=4•5•6-4•5=100. Значит, размещения могут быть выполнены 100 способами.

Презентация «Размещения» может помочь учителю объяснить материал урока, наглядно и понятно демонстрируя правила комбинаторики и решения при помощи них практических задач. Также данный материал может быть полезен при дистанционном обучении. Понятное объяснение смысла понятия размещения и способа решения задач может помочь ученикам самостоятельно освоить данную тему.