Похожие материалы
Уроки математики / Статья / Обучение решению задач на движение

Обучение решению задач на движение

Андреева С.Г.

Учитель математики

МБОУ «Солодчинская СШ»

Преемственность в обучении математике

между начальной и средней школой

Обучение решению задач на движение.

При переходе из начальной школы в среднюю учащиеся преодолевают сложный психологический барьер. Это связано со многими причинами: вместо одного учителя – сразу много, больше предметов, кабинетная система и другие. Многие учителя математики, сравнивая оценки, с которыми дети были переведены из четвёртого класса в пятый, с оценками за первую четверть, отмечают падение качества знаний.

Чтобы ученикам было легче адаптироваться к новым условиям, очень важно учителю начать обучение предмету с использованием тех методических приёмов, которыми пользуются учителя начальной школы. Ведь если посмотреть на материал, который изучается в пятом классе, то видно, что он большей частью является обобщением тех знаний, с которыми учащиеся пришли из начальной школы. Постепенно расширяются знания о числах: дети знакомятся с новыми классами, затем получают понятия об обыкновенных и десятичных дробях, а затем, в шестом классе, знакомятся с отрицательными числами. При этом те знания, умения и навыки, которыми они овладели при работе с числами, являются базовыми и находят своё дальнейшее применение. Об этом хорошо написано в статье Л.А. Александровой «Преемственность в обучении математике между начальной и средней школой», опубликованной в журнале «Математика» (август, 1998)

Я в своём сообщении хочу рассказать о преемственности в обучении решению задач на движение и их использовании при изучении новых тем.

Решение текстовых задач, в частности задач на движение, является для учащихся одним из трудных моментов в усвоении математики. Однако, как показывает практика, если учащиеся в 4 классе усвоили понятия «скорость», «время», «расстояние» и взаимосвязь между ними, то в 5 классе они легко решают задачи на движение, сначала арифметическим способом, а затем и алгебраическим. «Арифметический способ прямо требует от ученика построения наглядной модели, что важно при дальнейшем обучении: опыт показывает, что лучше составляют уравнения те учащиеся, которые хорошо умеют решать задачи арифметически!» (П.В.Чулков. Арифметические задачи.)

Причём задачи на движение используются и при ознакомлении учащихся с новыми темами. В учебнике «Математика – 5» (авторы И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович) задачи на движение применяются при изучении таких тем, как, например, «Числовые и буквенные выражения» (§2), «Формулы» (§12), «Уравнения» (§14), «Математический язык» (§16) и других.

Рассмотрим, как осуществляется преемственность в решении задач на движение с двух точек зрения:

1) Задачи на движение как самостоятельная тема;

2) Задачи на движение как средство для изучения других тем. [Слайд 1]

Все задачи, рассматриваемые в методическом сообщении, взяты из учебников «Математика - 4» (авторы Б.П. Гейдман, И.Э. Мишарина, Е.А. Зверева), «Математика – 4» (авторы М.И. Моро, М.А. Бантова и др.), «Математика – 5» (авторы И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович), «Математика – 5» (Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд). [Слайд 2]

Проанализируем, как знакомятся учащиеся с темой «Скорость. Время. Расстояние» по учебнику «Математика - 4» (авторы Б.П. Гейдман, И.Э. Мишарина, Е.А. Зверева) и учебнику «Математика – 4» (авторы М.И. Моро, М.А. Бантова и др.), рассматривая параллельно, как продолжается её изучение в 5 классе по учебнику «Математика – 5» (автор И.И. Зубарева).

Замечено, что учителя старших классов делают упор на логическое мышление учащихся, на оперирование знаковыми системами без необходимой опоры на образные компоненты. Но уже доказано, что до 80% информации человек получает через зрительный канал. Именно этот факт является важнейшим при обучении математике в начальной школе. Это нужно учитывать и учителю математики 5 класса. Поэтому в своём сообщении я буду учитывать и этот факт.

Ознакомление с понятием скорость. [Слайд 3]

Начинается знакомство с введением понятия скорости как расстояния, пройденного в единицу времени. Рассматриваются такие задания:

1) Черепаха за 6 минут проползает 78 м, а змея проползает 160 м за 10 минут.

Сколько метров проползает черепаха за 1 минуту?

Сколько метров проползает змея за 1 минуту?

Кто ползёт быстрее, змея или черепаха? [Слайд 4]

2) Серый журавль пролетает 150 км за 3 часа, а городская ласточка – 90 км за 2 часа.

Сколько километров пролетает журавль за 1 час?

Сколько километров пролетает ласточка за 1 час?

Кто летит быстрее, серый журавль или городская ласточка? [Слайд 5]

3) Какой смысл мы вкладываем в предложения?

а) Велосипедист едет со скоростью 12 км/ч

б) Всадник скачет со скоростью 17 км/ч

в) Поезд едет со скоростью 70 км/ч [Слайд 6]

4) Многие крупные животные могут развивать большую скорость, но только на короткое время (на 3 – 5 минут). Ниже указаны именно такие скорости. Расположи всех этих животных в порядке уменьшения скорости их бега.

Гепард – 30 м/с, антилопа – 25 м/с, лев – 80 км/ч, страус – 500 м/мин,

зебра – 1 км/мин, жираф – 750 м/мин [Слайд 7]

Взаимосвязь между величинами скорость, время и расстояние.

Здесь же учащиеся знакомятся со взаимосвязью между скоростью, временем и расстоянием, рассматривая соответствующие задачи и формулируя правила. [Слайды 8 11]. Задачи взяты из учебника «Математика-4» (авторы Б.П. Гейдман, И.Э. Мишарина, Е.А. Зверева).

В 5 классе эти знания используются, например, в теме «Числовые и буквенные выражения». [Слайд 12]

Рассматриваются задачи:

1. Саша и Миша – братья. Саша любит ходить за грибами, а Миша – ловить рыбу. Обычно, рано утром из дома они выходят одновременно, но идут в противоположных направлениях. Саша, собирая грибы, идёт медленно, со скоростью 2 км/ч, а Миша торопится поскорее дойти до озера и идёт быстро, со скоростью 6 км/ч. Запишите выражения для следующих величин:

1) расстояние между грибником и рыболовом через час после

начала движения;

2) скорость, с которой грибник и рыболов удаляются друг от друга;

3) расстояние между грибником и рыболовом через 2 ч после выхода;

4) расстояние, пройденное грибником за 2ч;

5) расстояние, пройденное рыболовом за 2ч;

6) на сколько расстояние, пройденное рыболовом за 2 ч, больше

расстояния, пройденного за то же время грибником;

7) во сколько раз расстояние, пройденное рыболовом за 2 ч, больше

расстояния, пройденного за то же время грибником.

Найдите значения полученных выражений. [Слайд 13]

2. Из одного гаража одновременно в противоположных направлениях выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля – х км/ч, а автобуса – у км/ч причём автомобиль едет быстрее, чем автобус.

Запишите в виде выражения:

1) расстояние между автомобилем и автобусом через час после начала

движения;

2) скорость, с которой автомобиль и автобус удаляются друг от друга;

3) расстояние между автомобилем и автобусом через 2 ч после начала

движения;

4) расстояние, которое прошёл автомобиль за 2 ч;

5) расстояние, которое прошёл автобус за 2 ч;

6) на сколько расстояние, пройденное автомобилем за 2 ч, больше

расстояния, пройденного за то же время автобусом;

7) во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем за 2 ч, больше расстояния, пройденного за то же время автобусом». [Слайд 14]

Сравните задания 1 – 7 этих задач. Что в них общего? Чем они отличаются?

А затем при изучении темы «Формулы» словесные формулировки записывают с помощью формул: s=v·t v=s:t t=s:v [Слайды 15, 16]

Средняя скорость

Время

Расстояние

Скажите, как можно найти:

- скорость, зная расстояние и время;

- расстояние, зная скорость и время;

- время, зная расстояние и скорость

5 км/ч

4 ч

?

600 м/мин

40 ч

3000 км

?

3 км

Решая задачи на движение в 5 классе, важно повторить, как решались аналогичные задачи в 4 классе. Можно выделить следующие виды задач, связанных с движением: [Слайды 17 - 25]

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального

4 класс

5 класс

Велосипедист от города до дачи ехал 3 ч со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью он возвращался, если затратил на этот же путь 2 ч?

Скорость

Время

Расстояние

12 км/ч

3 ч

одинаковое

? км/ч

2 ч

1) 12 . 3=36 (км)

2) 36 : 2 = 18 (км/ч)

Ответ: 18 км/ч

Путь от одной станции до другой товарный поезд прошёл за 9 ч, а пассажирский за 6 ч. Найдите скорость пассажирского поезда, если скорость товарного поезда равна 40 км/ч.

Скорость

Время

Расстояние

40 км/ч

9 ч

одинаковое

? км/ч

6 ч

1) 40 ∙ 9 = 360 (км)

2) 360 : 6 = 60 (км/ч)

Ответ: 60 (км/ч)

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

4 класс

5 класс

Караван верблюдов прошёл по пустыне в первый день 42 км, а во второй день 60 км, причём во второй день караван был в пути на 3 ч больше, чем в первый. Сколько времени караван находился в пути каждый день, если оба дня он передвигался с одинаковой скоростью?

Скорость

Время

Расстояние

одинаковая

? ч

42 км

? ч, на 3 ч больше

60 км

1) 60-42=18(км)-на столько километров

2) 18:3=6(км/ч) – скорость каравана.

3) 42: 6=7(ч) – находился в пути

караван в первый день.

4) 60:6=10(км/ч) - находился в пути

караван во второй день.

Два туриста двигались с одинаковой скоростью. Первый прошёл 8 км, а второй – 12 км. Первый турист был в пути на 40 мин меньше второго. Сколько времени находился в пути второй турист?

Скорость

Время

Расстояние

одинаковая

? мин, на 40 мин меньше

8 км

? мин

12 км

1) 12−8=4(км)

2) 4000:40=100(м/мин)

3) 12000:100=120(мин)

Ответ: 120 мин или 2 ч.

Задачи на пропорциональное деление

Автотуристы в первый день были в пути 6 ч, а во второй – 4 ч. Всего они проехали 600 км. Какое расстояние туристы проезжали каждый день, если они ехали с одинаковой средней скоростью?

Скорость

Время

Расстояние

одинаковая

6 ч

600км

4 ч

1) 6 + 4= 10(ч) – на весь путь.

2) 600:10=60(км/ч) – скорость.

  1. 60 · 6=360(км) – проехали в первый день.

  2. 60 · 4=240(км) – проехали во второй день.

Турист в первый день был в пути 3.5 ч, а во второй -4,2 ч. Всего он прошёл 30,8 км. Какое расстояние он проходил каждый день, если шёл с одинаковой скоростью?

Скорость

Время

Расстояние

одинаковая

3,5 ч

30,8км

4,2 ч

1) 3,5+4,2=7,7 (ч) – на весь путь.

2) 30,8:7,7=4 (км/ч) – скорость пешехода.

3) 4∙ 3,5=14(км) – прошёл в первый день.

4) 4∙ 4,2=16,8(км) – прошёл во второй день.

Задачи на движение, при решении которых находится скорость сближения движущихся тел.

(4 класс)

Поезд «Красная стрела» отправился из Москвы в Санкт – Петербург в 23 ч 00 мин. В это же время поезд «Юность» отправился из Санкт– Петербурга в Москву. В 3 часа ночи следующих суток они встретились. Сколько часов ехал каждый из этих поездов до встречи? Чему равно расстояние от Москвы до Санкт – Петербурга, если скорость «Красной стрелы» 90 км/ч, а скорость «Юности» 70 км/ч? [Слайд 27]

I способ решения:

1) 90 . 4 = 360 (км) – расстояние, которое проехала «Красная стрела» до встречи.

2) 70 . 4 = 280 (км) - расстояние, которое проехала «Юность» до встречи.

3) 360 + 280 = 640 (км) – расстояние от Москвы до Санкт – Петербурга.

II способ решения:

  1. 90 + 70 = 160 (км/ч) – скорость сближения.

  2. 160∙4 = 640 (км) расстояние от Москвы до Санкт – Петербурга.

Ответ: 640 км.

(5 класс)

«Математика – 5» (автор И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович) № 60.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 260 км, одновременно друг навстречу другу выехали велосипедист и мотоциклист. [Слайд 28]

Скорость велосипедиста – 13 км/ч, а мотоциклиста – 52 км/ч.

Запишите в виде выражения:

а) на сколько скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста;

б) во сколько раз скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста;

в) время, которое потребуется велосипедисту на весь путь из А в В;

г) время, которое потребуется мотоциклисту на весь путь из В в А;

д) на сколько меньше времени потребуется на весь путь мотоциклисту,

чем велосипедисту;

е) во сколько раз меньше времени потребуется на весь путь мотоциклисту,

чем велосипедисту;

ж) скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста;

з) через какое время после начала движения велосипедист и мотоциклист встретятся.

(4 класс)

«Математика – 4» (авторы М.И. Моро, М.А. Бантова и др.), № 62 (2)

Из двух посёлков, расстояние между которыми 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый лыжник шёл со средней скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. Через сколько часов лыжники встретились?

1) 12+14=26(км/ч) – скорость сближения.

2) 78:26=3(ч)

Ответ: через 3 ч лыжники встретятся.

(5 класс)

В 5 классе при изучении темы «Математическая модель» такие задачи уже решаются с помощью уравнения.

Пусть через х ч лыжники встретятся.

12х км – проедет первый лыжник до встречи.

14х км – проедет второй лыжник до встречи.

12х+14х=78.

Решая это уравнение, получим, что лыжники встретятся через 3 ч.

(4 класс)

Велосипедист стал догонять пешехода, когда расстояние между ними было 8 км. Через какое время велосипедист догонит пешехода, если его скорость 12 км/ч, а скорость пешехода 4 км/ч? [Слайд 29]

I способ решения:

1) 12 – 4= 8 (км/ч) – скорость сближения.

2) 8:8 = 1 (ч)

Ответ: через 1 час велосипедист догонит пешехода.

(5 класс)

Незнайка стал догонять Шпунтика, когда расстояние между ними было 1 км 800м. Незнайка бежал со скоростью 170 м/мин, а Шпунтик шёл со скоростью 80 м/ мин. Через сколько минут Незнайка догонит Шпунтика?

(5 класс)

Незнайка отошёл на расстояние 500 м от Пончика, когда тот побежал за ним вдогонку. Скорость Незнайки - x м/мин, а Пончика - у м/мин (у > x).

Запиши в виде выражения:

а) скорость сближения Пончика и Незнайки;

б) время, которое потребуется Пончику, чтобы догнать Незнайку. [Слайд 30]

(4 класс) [Слайд 31]

б) Пастух с собакой вышли из села и направились к пастбищу, которое находилось в 6 км от села. Пастух шёл со скоростью 4 км/ч, скорость собаки 12 км/ч. Собака, добежав до стада, повернула обратно. Добежав до пастуха, она вновь побежала к стаду. Так она бегала до тех пор, пока пастух не дошёл до стада. Сколько километров пробежала собака?

(5 класс)

б) Пастух с собакой вышли из села и направились к пастбищу, которое находилось в 6 км от села. Пастух шёл со скоростью 4 км/ч, скорость собаки 12 км/ч. Собака, добежав до стада, повернула обратно. Добежав до пастуха, она вновь побежала к стаду. Так она бегала до тех пор, пока пастух не дошёл до стада. Сколько километров пробежала собака?

(4 класс)

а) Два мальчика вышли навстречу друг другу из двух дачных посёлков, расстояние между которыми 10 км. Один шёл со скоростью 4 км/ч, а другой – 6 км/ч. Первый мальчик отпустил почтового голубя, который со скоростью 61 км/ч полетел ко второму. Долетев до него, он развернулся и опять полетел к первому. Так он летал до тех пор, пока друзья не встретились. Сколько километров пролетел голубь?

1) 4 + 6 = 10 (км/ч)

2) 10 : 10 = 1 (ч)

3) 61 · 1 = 61 (км)

(5 класс)

а) Два мальчика вышли навстречу друг другу из двух дачных посёлков, расстояние между которыми 5 км. Один шёл со скоростью 4 км/ч, а другой – 6 км/ч. Первый мальчик отпустил почтового голубя, который со скоростью 61,2 км/ч полетел ко второму. Долетев до него, он развернулся и опять полетел к первому. Так он летал до тех пор, пока друзья не встретились. Сколько километров пролетел голубь?

[Слайд 32]

(5 класс)

Из двух пунктов, расстояние между которыми 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два всадника. Скорость одного 10,6 км/ч, а скорость другого – 14,4 км/ч. Вместе с первым всадником выбежала собака, скорость которой 18, 2 км/ч. Встретив второго всадника, она повернула назад; добежав до первого всадника, она снова повернула назад и бегала так до тех пор, пока всадники не встретились. Сколько километров пробежала собака до встречи всадников?

Задачи на движение, при решении которых находится скорость удаления

(4 класс) [Слайды 33 - 37]

Из посёлка вышли одновременно два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 часа?

I способ:

1) 5 . 3 = 15 (км) – прошёл первый пешеход за 3 часа.

2) 4 . 3 = 12 (км) - прошёл второй пешеход за 3 часа.

3) 15 + 12 = 27 (км) – такое расстояние будет между пешеходами через 3 часа.

II способ:

  1. 5 + 4 = 9 (км/ч) – скорость удаления.

  2. 9 . 3 = 27 (км) - такое расстояние будет между пешеходами через 3 часа.

Ответ: 27 км

(5 класс)

С одной и той же станции в одно и то же время выехали в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда – 50 км/ч, а скорость другого – 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч ?

I способ:

1) 50 ∙ 3 = 150 (км)

2) 85 ∙ 3 = 255 (км)

3) 150 + 255 = 405 (км)

Ответ: 405 км.

II способ:

1) 50 + 85 = 135 (км/ч) – скорость удаления.

2) 135 ∙ 3 = 405 (км)

Ответ: 405 км.

№ 101(З) (5 класс)

Из города одновременно в одном направлении выехали грузовая машина со скоростью 90 км/ч и легковой автомобиль, скорость которого – 115 км/ч. На сколько километров грузовик отстанет от автомобиля через 3 ч после начала движения? [Слайд 37]

I способ:

1) 90 . 3= 270 (км) – прошёл грузовик за 3 ч.

2) 115 . 3= 345 (км) – прошёл автомобиль за 3 ч.

3) 345 − 270=75 (км) - такое расстояние будет между автомобилем и грузовиком через 3 ч.

II способ:

1) 115 − 90 = 25 (км/ч) - скорость удаления.

2) 25 . 3 = 75 (км) – такое расстояние будет между автомобилем и грузовиком через 3 ч.

В 5 классе в процессе обучения знакомят с задачами на движение по течению и против течения. При их решении также используется взаимосвязь между величинами скорость, время и расстояние и вводятся формулы вычисления скорости движущего тела по течению и против течения:

V по теч. = Vсобств. + Vтеч.

Vпр. теч = Vсобств. – Vтеч.

Vсобств. = (Vпо теч. + Vпр. теч.) :2

Vтеч. = (Vпо теч. – Vпр. теч.) :2 [Слайд 39]

№ 81 (З) Скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость катера 15 км/ч. Составьте выражения для следующих величин и найдите их значения:

- скорость катера при движении по течению реки;

- скорость катера при движении против течения реки;

- расстояние, которое пройдет катер за 3 ч, двигаясь по течению реки;

- расстояние, которое пройдет катер за 3 ч, двигаясь против течения реки;

- время, которое потребуется катеру на путь 68 км при движении по течению реки;

- время, которое потребуется катеру на путь 78 км при движении против течения реки;

- на сколько скорость катера при движении по течению больше его скорости при движении против течения реки.

Автор
Дата добавления 30.01.2017
Раздел Математика
Подраздел Статья
Просмотров178
Номер материала 2247

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.