Презентация к уроку по геометрии "Сложение и вычитание векторов"

Сложение и вычитание векторов.

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять, как по правилу параллелограмма, многоугольника, так и по правилу треугольника. Сумма двух векторов

Правило параллелограмма Правило параллелограмма. Для сложения двух неколлинеарных векторов u и v, нужно отложить от какой- либо точки А векторы равные данным и построить параллелограмм АВСD. Тогда диагональ АС и будет суммой двух векторов.

а + в От начала вектора а отложить вектор в, равный вектору в; На векторах а и в как на сторонах построить параллелограмм; Провести из общего начала векторов а и в вектор –диагональ параллелограмма. ВЫВОД: полученный вектор будет суммой векторов а и в. а в а в

От конца вектора а отложить вектор в, равный вектору в ; Провести вектор из начала вектора а в конец вектора в. ВЫВОД: полученный вектор и будет суммой векторов а и в. а+в в а а в в а Правило треугольника. Для сложения двух векторов по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Правило треугольника

а1 а2 а3 а4 А1 А2 А3 А4 А5 1 ) От конца вектора а1 отложить вектор а2 , равный вектору а2; 2) Повторить откладывание векторов столько раз , сколько векторов нужно отложить; 3) Провести вектор из конца вектора аn в начало а. ВЫВОД: полученный вектор в и будет суммой векторов а 1 , а2 , а3 ,… и аn а1 а2 а3 а4 Правило многоугольника 1

Для любых векторов а , в и с справедливы равенства: а + в = в + а --- переместительный закон 2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) --- сочетательный закон Законы сложения векторов

Доказательство: Рассмотрим случай ,когда векторы а и в не коллинеарны. А В а D в С а в а + в От произвольной точки А отложим векторы АВ = а и АD = в и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. По правилу треугольника АС = АВ + АD = а + в. Аналогично АС= АD + DС = в + а. Отсюда Следует ,что а + в = в + а, Переместительный закон

Доказательство. От произвольной точки А отложим вектор АВ = а , а от точки В вектор ВС = в , от точки С вектор СD=с. Применяя правило треугольника , получаем: (а + в ) + с = ( АВ + ВС )+ СD =АC+СD =АD а + ( в + с) = АВ + (ВС + СD)=АВ + ВС = А D. Отсюда следует , что ( а + в ) + с = а + ( в + с). Теорема доказана. . А В а в с С D Сочетательный закон

Вычитание векторов Чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору b. Полученный в результате этой операции вектор с и будет являться разностью векторов а и b. Таким образом, с = а − b = а + (− b).

Теорема: Для любых векторов а и в справедливо равенство а – в = а +(- в ). Доказательство. По определению разности векторов ( а – в ) + в = а. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (-в), получим (а – в ) + в + (-в)= а+ (-в), или (а – в ) +0=(-в), откуда а – в = а + (-в). а в . В А О - а а -в в

СПАСИБО!!!