Уроки математики / Презентация / Презентация "Неравенства с модулем"

Презентация "Неравенства с модулем"

Документы в архиве:

Название документа 30.

|x2 – 3x + 2| + |2x + 1| < 5  |х + 5| > 4 |x2 – 5x + 9| < |x – 6| |x2 – 9| <...
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же...
0 x –a a |a| |a|
Способ 1. Геометрический смысл модуля.
Пример 1. Решить неравенство |х – 3| < 4. Решение. 0 x 3 7 –1 4 ед. 4 ед. –1...
Способ 2. Графическое решение.
Решение. 1 2 4 1 0
Способ 3. Возведение в квадрат.
Пример 3. Решить неравенство |x2 – 1| < | x2 – x + 1|. Решение. (|x2 – 1|)2 <...
Способ 4. Определение модуля.
Пример 4. Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3. Решение. Ответ: [0; 3]. Если х...
Пример 5. Решить неравенство |х2 – 3| – 2х ≤ 0. Решение. Ответ: [1; 3]. │х2 –...
Пример 6. Решить неравенство │х – 4│>│х + 6│. Решение. Ответ: (–∞; –1). (х –...
Решение. Ответ: (–3; 2).
Пример 8. Решить неравенство (2x + 3)2 – |2x + 3| ≤ 30. Решение. Ответ: [–4,5...
1 из 15

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

|x2 – 3x + 2| + |2x + 1| < 5  |х + 5| > 4 |x2 – 5x + 9| < |x – 6| |x2 – 9| < |x – 6|

№ слайда 2

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

№ слайда 3

0 x –a a |a| |a|

№ слайда 4

Способ 1. Геометрический смысл модуля.

№ слайда 5

Пример 1. Решить неравенство |х – 3| < 4. Решение. 0 x 3 7 –1 4 ед. 4 ед. –1 < х < 7; Ответ: (–1; 7).

№ слайда 6

Способ 2. Графическое решение.

№ слайда 7

Решение. 1 2 4 1 0

№ слайда 8

Способ 3. Возведение в квадрат.

№ слайда 9

Пример 3. Решить неравенство |x2 – 1| < | x2 – x + 1|. Решение. (|x2 – 1|)2 < (|x2 – x + 1|)2; (x2 – 1)2 < (x2 – x + 1)2; (x2 – 1)2 – (x2 – x + 1)2 < 0; (x2 – 1 – x2 + x – 1)( x2 – 1 + x2 – x + 1) < 0; (x – 2)(2x2 – x) < 0; x(x – 2)(2x – 1) < 0; 0 x 2 – – + +

№ слайда 10

Способ 4. Определение модуля.

№ слайда 11

Пример 4. Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3. Решение. Ответ: [0; 3]. Если х – 1 ≥ 0, то |x – 1| = х – 1: 2х ≤ 6; Если х – 1 < 0, то |x – 1| = 1 – х: –4х ≤ 0; х – 1 ≥ 0; 2х ≤ 6; х – 1 < 0; –4х ≤ 0; х ≥ 1; х ≤ 3; х ∈ [1; 3]; х < 1; –4х ≤ 0; х ∈ [0; 1];

№ слайда 12

Пример 5. Решить неравенство |х2 – 3| – 2х ≤ 0. Решение. Ответ: [1; 3]. │х2 – 3│≤ 2х; (х2 – 3)2 – (2х)2 ≤ 0; (х2 – 3 – 2х)(х2 – 3 – 2х) ≤ 0; (х +1)(х – 1)(х – 3)(х + 3) ≤ 0; –3 –1 1 3 + + + – –

№ слайда 13

Пример 6. Решить неравенство │х – 4│>│х + 6│. Решение. Ответ: (–∞; –1). (х – 4)2 > (х + 6)2; (х – 4)2 – (х + 6)2 > 0; (х – 4 – х – 6)(х – 4 + х + 6) > 0; –10(2х + 2) > 0; 2х + 2 < 0; х < –1;

№ слайда 14

Решение. Ответ: (–3; 2).

№ слайда 15

Пример 8. Решить неравенство (2x + 3)2 – |2x + 3| ≤ 30. Решение. Ответ: [–4,5; 1,5]. (2x + 3)2 = (|2x + 3|)2; (|2x + 3|)2 – |2x + 3| ≤ 30; y = |2x + 3|; y2 – y ≤ 30; y2 – y – 30 ≤ 0; D = 121; y1 = 6, y2 = –5; (y – 6)(y + 5) ≤ 0; –5 ≤ y ≤ 6; –5 ≤ |2x + 3| ≤ 6; |2x + 3| ≤ 6; |2x + 3| ≥ –5; 2x + 3 ≤ 6; 2x + 3 ≥ –6; x ≤ 1,5; x ≥ –4,5; х ∈ [–4,5; 1,5];

Краткое описание документа:

Презентация «Неравенства с модулем» представляет наглядный материал для изучения данной темы на школьном уроке. В ходе презентации представлены способы решения неравенств, содержащих модули выражений. При создании слайдов используется ряд инструментов, помогающих активизировать процессы запоминания материала, удерживать внимание учеников на обучении, легче сформировать умения в решении неравенств с модулем.

Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"

Презентация начинается с представления примеров неравенств с модулем. На данном уроке рассматриваются виды неравенств, которые

  •          содержат в одной части неравенства выражение под знаком модуля;
  •          содержат выражения под знаком модуля в обеих частях неравенства;
  •          части неравенства содержат выражения, в которых есть выражения под модулем.

Далее ученикам напоминается понятие модуля. На втором слайде представлено определение модуля, выделенное в рамке. Отмечается, что модулем числа является само число в случае, когда оно неотрицательное, или этому числу с противоположным знаком, если число отрицательное. Смысл операции модуля рассматривается на рисунке – на слайде 3 изображена числовая ось, на которой отмечена точка с координатой а и противоположная ей точка с координатой –а. От начала координат до каждой из точек измеряется расстояние |а|.

Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"

Далее описан геометрический смысл модуля, способ 1 решения неравенств с модулем. Описывается решение неравенства |х-3|<4. Под условием изображается числовая прямая. Отмечается точка х=3, от которой отсчитывается расстояние 4. От данной точки вправо и влево откладывается 4 единицы, и отмечаются точки, соответствующие условию неравенства. Решение неравенства соответствует множеству решений, лежащих на промежутке -1<x<7. Таким образом определяется геометрический смысл модуля как расстояния от выбранной точки до выбранного нуля.

Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"

На слайде 6 представляется графический способ решения  неравенств, содержащих модуль. В качестве примера выбрано описание решения неравенства х-1<|(x-2)2-1|. На рисунке изображается координатная плоскость, на которой чертятся графики функций, соответствующих левой и правой частям неравенства у=х-1 и у=|(x-2)2-1|. Находим пересечение графиков данных функций – это три точки х=1, х=2, х=4. Определяются промежутки, на которых условие неравенства исполнено. Решением данного неравенства является объединение промежутков (-∞;1)U(1;2)U(4;+∞).

Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"

Следующий способ решения неравенств с модулем представлен на слайде 8 – возведение в квадрат. Применение данного способа демонстрируется на примере решения неравенства |x2-1|<|x2-x+1|. Чтобы решить неравенство, обе его части возводятся в квадрат. Затем члены неравенства переносятся в левую часть его так, что в правой части остается нуль. После раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и вывода общего множителя за скобки, получаем неравенство х(х-2)(2х-1)<0. Решение такого неравенства не представляет сложности. На рисунке изображается числовая прямая, на которой отмечены точки х=0, х=1/2, х=2. На каждом промежутке отмечается знак выражения, расположенного в левой части неравенства. Так находим решение – объединение промежутков (-∞;0) и (1/2;2).

Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"

Решить неравенство можно также, используя определение модуля. Это четвертый способ, представленный в презентации. В примере 4 описывается решение неравенства 3|x-1|<=x+3. Анализируется значение выражения под знаком модуля. Если x-1 принимает положительное значение, то его модуль равен самому выражению, и после преобразования неравенство принимает вид 2х<=6. В случае, когда x-1 принимает отрицательные значения, модуль выражения равен 1-х, и неравенство после преобразования принимает вид -4х<=0. Решение неравенства получает форму решения двух систем неравенств x-1>=0, 2x<=6 и x-1<0, -4х<=0. Решением первой системы является промежуток [1;3], а решением второй системы является промежуток [0;1]. Так мы нашли решение исходного неравенства – объединение отрезков [0;1]U[1;3].

Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"

В примерах 5-8 рассматривается решение неравенств различными способами, представленными выше. В примере 5 для решения неравенства |x2-3|-2х<=0 применяется способ возведения в квадрат. После преобразования возведенного в квадрат неравенства, оно принимает вид (х+1)(х-1)(х-3)(х+3)<=0. Имея точки, в которых вероятно изменение знака функции, на числовой прямой отмечаем данные точки и определяем знаки, которые принимает выражение (х+1)(х-1)(х-3)(х+3). В результате анализа получаем решение неравенства [1;3]. В примере 5 также применяется способ возведения обеих частей неравенства в квадрат. После преобразования выражения, возведенного в квадрат, получаем решение неравенства х<-1.

Для решения иррационального неравенства х-1>3√(х3-2х2+4х-7), представленного на слайде 14, также применяется способ возведения в степень.

Так как в правой части выражение под корнем 3-й степени, то обе части неравенства возводятся в степень 3. В результате преобразований возведенных в степень частей неравенства, получаем простое квадратное неравенство х2+х-6<0. Его решением является промежуток (-3;2).

Последний пример описывает решение неравенства (2х+3)2-|2x+3|<=30. Неравенство решается способом введения новой переменной. Для этого выражение |2x+3| принимается за переменную у. Исходное неравенство преобразуется с подстановкой данной переменной в неравенство у2-у-30<=0. Решив данное квадратное неравенство, получаем решение -5<=|2x+3|<=6. Данное неравенство решается системой неравенств |2x+3|<=6 и |2x+3|>=5. В результате вычислений получаем хϵ[-4,5;1,5].

Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"Презентация "Неравенства с модулем"

Презентация «Неравенства с модулем» применяется для наглядности учебной информации, представляемой на традиционном уроке. Материал может быть полезен на уроке по данной теме в ходе дистанционного обучения. При необходимости освоить способы решения неравенств с модулем учениками самостоятельно, презентация может быть рекомендована для самостоятельной работы дома.

Автор
Дата добавления 16.11.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Презентация
Просмотров1675
Номер материала 1046
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.