Презентация "Объем цилиндра"

В предыдущих темах учащиеся ознакомились с понятием объема тела и научились вычислять объем прямоугольного параллелепипеда и призмы. С помощью этой презентации разберем тему «Объем цилиндра».

В начале презентации автор предлагает вспомнить основные понятия цилиндра: что такое ось, высота, радиус, основание, развертка боковой поверхности цилиндра. Повторение этих понятий даст возможность изучить новую тему без сложностей. На слайдах автор приводит определения с соответствующими рисунками. Даются также следующие определения:

1) если основания призмы вписаны в основания цилиндра, то такая призма является вписанной в цилиндр;

2) если основания призмы описаны около основания цилиндра, то такая призма описана около цилиндра.

Рассмотрим теорему: объем цилиндра вычисляется как умножение площади основания цилиндра на высоту V = πr²h. Приведем доказательство. Дан цилиндр Р, радиус ивысота. Допустим, что F_n – это призма с количеством n-углов, вписанная в цилиндр Р. F_n будет описанной призмой для цилиндра P_n. Обозначим V и V_n объемы цилиндров. Тогда объем призмы F_n будет равен произведению площади основания призмы на высоту  S_n x h. Следовательно, можем записать, что V_n < S_n x h < V. Когда количество углов n призмы будет неограниченно расти, значение объема призмы будет приближаться к значению объемы цилиндра. Тогда, выразив площадь основания призмы через радиус, получим V = πr²h.

Рассмотрим несколько задач. Задача 1. Дан цилиндр, где V – объем, r – радиус, h – высота.

Вариант а: даются значения радиуса и высоты, нужно найти объем. Подставив значения радиусаи высотыв формулу V = πr²h, найдем объем цилиндра.

Вариант б: дается значение радиуса r = 8π, которое равно значению высоты; необходимо найти высоту. Запишем формулу объема цилиндра V = πr²h = πx h² x h = π x h³. Решая данное выражение, найдем, что высота h равна 2.

Задача 2. Даны два цилиндра, в которых находится жидкость. Высота жидкости в первом цилиндре равна 45см. Известно, что объемы жидкостей в этих цилиндрах равны V₁ = V₂, а радиус второго цилиндра в 3 раза больше первого. Необходимо найти высоту жидкости во втором цилиндре. Запишем, объема цилиндра V = πr²h. Для жидкости в первом цилиндре V₁ = πx r₁^{2 x} h₁.Для жидкости во втором цилиндре V₂ = πx r₂^{2 x} h₂. По условию V₁ = V₂, тогда πx r₁² xh₁ = πx r₂² xh₂ или  r₁² x h₁ = r₂² xh₂. Зная, что радиус второго цилиндра в 3 раза больше первого d₂ = 3d₁, получим r₁² x 45 = (3r₁)² x h₂. Производя вычисления, найдем, что высота второго цилиндра равна 5см.

Задача 3. Даны цилиндр и конус, где R – общий радиус, h – общая высота, известен объем конуса V_К = 42. Требуется найти объем цилиндра. Сделаем схематический рисунок. Запишем формулу объема конуса V_К = 1/3 S_оснx h = 1/3 πR² x h. Объем цилиндраравен V_Ц = S_оснx h = πr²h. V_Ц / V_К = πr²h / (1/3 πr²h) = 1/ (1/3) = 3. Т.е. V_Ц = 3V_К, откуда вычислим V_Ц = 3 x 42 = 126.

Решение задач по новой теме всегда позволяет лучше закрепить материал  и даст возможность перейти к следующей теме.