Презентация "Объем тел. Понятие объема"

В этой презентации для 11-го класса мы рассмотрим понятие объема тела, свойства объемов тел, решим несколько задач.

Ранее учащиеся знакомились с вычислениями площади геометрических фигур. Площадь – это размер фигуры, которая находится на одной плоскости.

Если фигура лежит не в одной плоскости, а в пространстве, то тогда, говоря о ее размере, мы переходим к понятию объема. В презентации на третьем слайде проиллюстрированы объемные тела, имеющие различную форму и объем: амфора, баррель, ведро. Автор вводит понятие кубического сантиметра – посмотрите на следующий рисунок: показаны 1см на прямой, 1 квадратный сантиметр как единица площади и 1 кубический сантиметр как единица объема тела. 1 кубический сантиметр характеризуется тремя размерами тела: длиной, шириной и высотой, что наглядно показано на рисунке.

Далее автор делает акцент на том, что объем  тела – это положительная величина. Объем обозначается символом V. Мы можем выделить следующие свойства объемов тел.

1) Объемы равных тел равны.

2) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. На рисунке изображена фигура, состоящая из двух фигур F и Q. Тогда объем этой фигуры можно записать указать как V = V_F + V_Q.

3) Если одно тело содержит другое, то объем первого тела не меньше объема второго. На рисунке показан куб со стороной а = 1см. Внутри куба находится куб со стороной 1/5см. Объем первого куба равен V = a³ = 1 см³. Объем куба внутри равен V₁ = (1/5)³ = 1/125 см³.

Мы получили, что 1 см³ > 1/125 см³, т.е. V> V₁.

Обратите внимание на следствие, указанное на следующем слайде: объем куба с ребром 1/n равен 1/n³. Приводится доказательство этого утверждения. Допустим, дан куб со стороной а = 1см и куб, находящийся внутри первого куба со стороной а₁ = 1/n см. Объем первого куба равен V = a³ = 1 см³.Объем куба внутри равен V₁ = (1/n)³ = 1/n³ см³. Что и требовалось доказать.

Применим свойства объемов тел на практике при решении задач.

Задача 1. Дано тело, состоящее из двух параллелепипедов, находящихся один над другим (см. рисунок). Известны ширина, длина и высота этих параллелепипедов: а_c, b_c, h_c и a₃, b₃, h₃. Необходимо найти объем всего тела. Найдем объем первого параллелепипеда V_c = а_c x b_c x h_c = 36. По аналогии вычислим объем первого параллелепипеда V₃ = а₃ x b₃ x h₃ = 3. Объем всего тела найдем, используя второе свойство объемов тел:  V = V_с + V₃ = 39.

Задача 2. На рисунке изображен кирпич, у которого известны размеры: длина 250, ширина 120, высота 65. Даны размеры проема 2200 x 120 x 700. Нужно определить, сколько кирпичей поместится в данный проем. Найдем объем одного кирпича  V₁ = а₁ x b₁ x h₁. Найдем объем проема по аналогичной формуле V₂ = а₂x b₂ x h₂. Тогда V₂/ V₁ будет обозначать количество кирпичей, поместившихся в проем. Примечание – можем не находить отдельно объема кирпича и проема, т.к. такой задачи не стоит, а сразу вычислить количество кирпичей V₂/ V₁.

Данная презентация может быть применена учителем на уроке,  а также может быть самостоятельно проработана учащимися.