Уроки математики / Презентация / Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

Название документа 46. Применение производной для исследования функций на монотонность.ppt

y = f(x) x1 x2 x3 f'(xl) > 0; f´(x2) > 0; f'(x3)=0.
y = f(x) x1 x2 x3 f´(х1) < 0; f´(x2) < 0; f(x3) =0.
Решение. Ответ: по теореме 1, функция возрастает на всей числовой прямой.
Решение.
Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на каких промежутк...
Решение. а) f(x) f(x) x –2 –1 0 1 2 3 – – +
б)
Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f...
1 из 10

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

y = f(x) x1 x2 x3 f'(xl) > 0; f´(x2) > 0; f'(x3)=0.

№ слайда 2

y = f(x) x1 x2 x3 f´(х1) < 0; f´(x2) < 0; f(x3) =0.

№ слайда 3

№ слайда 4

Решение. Ответ: по теореме 1, функция возрастает на всей числовой прямой.

№ слайда 5

Решение.

№ слайда 6

Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает.

№ слайда 7

Решение. а) f(x) f(x) x –2 –1 0 1 2 3 – – +

№ слайда 8

№ слайда 9

б)

№ слайда 10

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f´(х) = 0, то функция у = f(x) постоянна на промежутке X. Пример 3. Докажем тождество sin2 x + cos2 x = 1. у = f(x); f(x) = sin2 x + cos2 х f´(x) = (sin2x +cos2 х)' = (sinx sinx)‘ + (cosx cosx)‘ = (cosx sinx + sinx cosx) + (–sinx + + cosx + cosx (–sinx)) = 2sin x cos x – 2 sin x cos x = 0; f'(x) = 0; f(x) = C; х = 0; f(0) = sin2 0+cos2 0=0+1=1; С = 1; sin2 x + cos2 x = 1.

Краткое описание документа:

Презентация «Применение производной для исследования функций на монотонность» является наглядным пособием для ведения урока математики по этой темеПособие помогает представить учебную информацию в виденаиболее удобном для усваиванияЧтобы уметь исследовать функцию на монотонностьнужно уметь строить ее графикнаходить производнуюуметь вычислять производную в заданных точкахТема сложнаяпоэтому учителю необходимо использовать все инструментыповышающие наглядность исследований и демонстрации практического применения изученного материала.

Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

Презентация одна из наиболее эффективных форм представления учебного материалаВ данном материале наглядно представлены графические построенияДля большей понятности объяснения используются анимационные эффектыВ презентации есть возможность важные детали построенийпонятия в определениях выделяются ярким цветомтеоремы подаются в рамке для лучшего их запоминанияИспользуя это наглядное пособиеучителю не нужно применять дополнительные инструменты обучениявспомогательные материалыДемонстрация помогает удержать внимание учеников на изучении предмета.
Демонстрация начинается с построения на координатной плоскости графика некоторой функции y=f(x). Мы видим функциюзначения которой постоянно растут с увеличением аргументаНа графике отмечены точки х1х2х3В этих точках вычисляется производная функцииОтмечаетсячто производные в данных точках положительные или равны нулюто есть f΄(x1)>0f΄(x2)>0 и f΄(x3)=0Для этой функции можно отметитьчто производная f΄(x)>=0.
На втором слайде на координатной плоскости построен график функции y=f(x), значения которой все меньше с каждым следующим значением аргументаНа графике отмечены точки х1х2х3к которым построены касательныеи в которых отмечен знак производнойУказаночто f΄(x1)<0f΄(x2)

<0 и f΄(x3)=0То есть для данной убывающей функции характерно f΄(x)<=0.

Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

Продемонстрированное поведение производной функции подводит к понятиям возрастания и убывания функции на промежуткеНа слайде 3 ученикам представлены теоремы 1 и 2определяющие такое поведениеВ теореме 1 указаночто если для всех точек открытого промежутка Х верно неравенство f΄(x)>=0а число производныхравных нулюконечноето можно утверждатьчто функция на Х возрастаетВторая теорема дает характеристику убывающей функции на промежутке Хотмечаячто функция является убывающей в промежутке Хесли для каждой точки промежутка выполняется неравенство f΄(x)<=0а число точекв которых производная равна нулюконечное.
Для закрепления полученных знаний приводится примерв котором требуется доказать , что функция y=2x5+√5x3-4 на всей числовой прямой возрастаетЧтобы решить задачусначала находим производную от данной функцииСоответствующее выражение f΄(x)= 10x4+35x2Анализируя данное выражениеможно утверждатьчто в любой точке числовой оси его значение будет положительно или равно нулюто есть 10x4+35x2>=0Поэтомуиспользуя теорему 1можно ответить на вопрос задачи – функция возрастает по всей координатной прямой.
На слайде 5 необходимо исследовать функцию y=-x3+(17/5)x2-2 на монотонность и построить график функцииДля решения необходимо умение исследовать функцию на монотонность

Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

Что это означает указано на слайде 6где выделеночто исследовать функцию на монотонность означает определить промежуткина которых эта функция убывает или возрастаетПоэтому решение задания сводится к определению знака производной на числовой осиРисунок на слайде 7 демонстрирует числовую ось с обозначенными на ней интерваламина которых отмечен знак производной и стрелкой показано направление графика – убывающий или возрастающийОснованием для таких выводов служит анализ знака производной функцииНа экране отображается выражениепредставляющее собой производную функции f΄(x)=-3x2+(34/5)xПосле вынесения общего множителя за скобки получаем выражение –х(-34/5), из которого легко найти х1=0х2=34/15Очевиднознак производной сохраняется отрицательным или значение нулевое на промежутках (-∞,0и [34/15,+ ∞). Поэтому на этих промежутках функция является убывающейПоложительным знак производной будет только на промежутке [0,34/15]. Поэтому на этом промежутке функция является возрастающей.
На слайде 9 демонстрируется вторая часть задания – построение графика функции y=-x3+(17/5)x2-2В точках х1=0х2=34/15 график функции поворачивается и меняет направлениеВычислив несколько значений функции в различных токампринадлежащих разным промежуткамзаполняется таблицас помощью которой строится график функции.

Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

На последнем слайде демонстрируется теорема 3 о признаке постоянства функцииУтверждаетсячто функциядля всех точек промежутка Х которой верно равенство f΄(x)=0будет постоянной на этом промежутке.
Пример 3 описывает доказательство тождества sin2x+cos2x=1Необходимо доказатьчто левая часть тождества является постоянно равной 1 при любых значениях хЛевая часть представляется функцией yf(x), в которой f(x)=sin2x+cos2xОпределяем производную данной функцииПредставив каждое слагаемое в виде произведенияприменяем формулы для нахождения производной произведенияПосле приведения подобных слагаемых производная f΄(x)=0То есть эта производная принимает значение С – некоторой константыВ х=0 значение функции при подстановке аргумента будет f(0)=1то есть С=1Поэтому доказываемое тождество sin2x+cos2x=1 действительно справедливо.

Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

Презентация «Применение производной для исследования функций на монотонность» может использоваться на уроках математики в школеТакже данное пособие может быть полезным учителюосуществляющему обучение дистанционноМатериал может быть рекомендован ученикамсамостоятельно осваивающим предмет.

Автор
Дата добавления 27.07.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Презентация
Просмотров1135
Номер материала 821
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.