Презентация "Применение производной для исследования функций на монотонность"

Презентация «Применение производной для исследования функций на монотонность» является наглядным пособием для ведения урока математики по этой теме. Пособие помогает представить учебную информацию в виде, наиболее удобном для усваивания. Чтобы уметь исследовать функцию на монотонность, нужно уметь строить ее график, находить производную, уметь вычислять производную в заданных точках. Тема сложная, поэтому учителю необходимо использовать все инструменты, повышающие наглядность исследований и демонстрации практического применения изученного материала.

Презентация одна из наиболее эффективных форм представления учебного материала. В данном материале наглядно представлены графические построения. Для большей понятности объяснения используются анимационные эффекты. В презентации есть возможность важные детали построений, понятия в определениях выделяются ярким цветом, теоремы подаются в рамке для лучшего их запоминания. Используя это наглядное пособие, учителю не нужно применять дополнительные инструменты обучения, вспомогательные материалы. Демонстрация помогает удержать внимание учеников на изучении предмета.
Демонстрация начинается с построения на координатной плоскости графика некоторой функции y=f(x). Мы видим функцию, значения которой постоянно растут с увеличением аргумента. На графике отмечены точки х1, х2, х3. В этих точках вычисляется производная функции. Отмечается, что производные в данных точках положительные или равны нулю, то есть f΄(x1)>0, f΄(x2)>0 и f΄(x3)=0. Для этой функции можно отметить, что производная f΄(x)>=0.
На втором слайде на координатной плоскости построен график функции y=f(x), значения которой все меньше с каждым следующим значением аргумента. На графике отмечены точки х1, х2, х3, к которым построены касательные, и в которых отмечен знак производной. Указано, что f΄(x1)<0, f΄(x2)

<0 и f΄(x3)=0. То есть для данной убывающей функции характерно f΄(x)<=0.

Продемонстрированное поведение производной функции подводит к понятиям возрастания и убывания функции на промежутке. На слайде 3 ученикам представлены теоремы 1 и 2, определяющие такое поведение. В теореме 1 указано, что если для всех точек открытого промежутка Х верно неравенство f΄(x)>=0, а число производных, равных нулю, конечное, то можно утверждать, что функция на Х возрастает. Вторая теорема дает характеристику убывающей функции на промежутке Х, отмечая, что функция является убывающей в промежутке Х, если для каждой точки промежутка выполняется неравенство f΄(x)<=0, а число точек, в которых производная равна нулю, конечное.
Для закрепления полученных знаний приводится пример, в котором требуется доказать , что функция y=2x5+√5x3-4 на всей числовой прямой возрастает. Чтобы решить задачу, сначала находим производную от данной функции. Соответствующее выражение f΄(x)= 10x4+3√5x2. Анализируя данное выражение, можно утверждать, что в любой точке числовой оси его значение будет положительно или равно нулю, то есть 10x4+3√5x2>=0. Поэтому, используя теорему 1, можно ответить на вопрос задачи – функция возрастает по всей координатной прямой.
На слайде 5 необходимо исследовать функцию y=-x3+(17/5)x2-2 на монотонность и построить график функции. Для решения необходимо умение исследовать функцию на монотонность

. 

Что это означает указано на слайде 6, где выделено, что исследовать функцию на монотонность означает определить промежутки, на которых эта функция убывает или возрастает. Поэтому решение задания сводится к определению знака производной на числовой оси. Рисунок на слайде 7 демонстрирует числовую ось с обозначенными на ней интервалами, на которых отмечен знак производной и стрелкой показано направление графика – убывающий или возрастающий. Основанием для таких выводов служит анализ знака производной функции. На экране отображается выражение, представляющее собой производную функции f΄(x)=-3x2+(34/5)x. После вынесения общего множителя за скобки получаем выражение –х(3х-34/5), из которого легко найти х1=0, х2=34/15. Очевидно, знак производной сохраняется отрицательным или значение нулевое на промежутках (-∞,0] и [34/15,+ ∞). Поэтому на этих промежутках функция является убывающей. Положительным знак производной будет только на промежутке [0,34/15]. Поэтому на этом промежутке функция является возрастающей.
На слайде 9 демонстрируется вторая часть задания – построение графика функции y=-x3+(17/5)x2-2. В точках х1=0, х2=34/15 график функции поворачивается и меняет направление. Вычислив несколько значений функции в различных токам, принадлежащих разным промежуткам, заполняется таблица, с помощью которой строится график функции.

На последнем слайде демонстрируется теорема 3 о признаке постоянства функции. Утверждается, что функция, для всех точек промежутка Х которой верно равенство f΄(x)=0, будет постоянной на этом промежутке.
Пример 3 описывает доказательство тождества sin2x+cos2x=1. Необходимо доказать, что левая часть тождества является постоянно равной 1 при любых значениях х. Левая часть представляется функцией y= f(x), в которой f(x)=sin2x+cos2x. Определяем производную данной функции. Представив каждое слагаемое в виде произведения, применяем формулы для нахождения производной произведения. После приведения подобных слагаемых производная f΄(x)=0. То есть эта производная принимает значение С – некоторой константы. В х=0 значение функции при подстановке аргумента будет f(0)=1, то есть С=1. Поэтому доказываемое тождество sin2x+cos2x=1 действительно справедливо.

Презентация «Применение производной для исследования функций на монотонность» может использоваться на уроках математики в школе. Также данное пособие может быть полезным учителю, осуществляющему обучение дистанционно. Материал может быть рекомендован ученикам, самостоятельно осваивающим предмет.