Уроки математики / Презентация / Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Название документа 49. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин.ppt

y = f(x) непрерывна [а, b]. унаиб. yнаим. a b y = f(x)
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольш...
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то т...
Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у =...
Решение. 1) 2) у'= 0; х1 = 1, х2 = –1.
3) yнаим. = 4, х = 1;
Теорема. Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри нег...
Решение. 1) у‘ = 0; х = –3, х = 2;
2 – + f´(x) f(x) –2 min x х < 2, у' 2, у'>0; х = 2 — min; ymin = f(2) = 2 ∙ 2...
Пафнутий Львович Чебышёв — российский математик XIX в.
«Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, о...
3) ответ на вопрос задачи. Этапы математического моделирования: 1) составлени...
Первый этап. Составление математической модели. 1) Оптимизируемая величина (с...
Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ получают из условия задачи.
Пример 3. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению...
2) Н.П. — ширина балки (х); 0 < х < 2R (х = 0, x = 2R) — это реальные границы...
3) х2 + h2 = 4R2 (по теореме Пифагора), h2 = 4R2 – х2; Второй этап: y = 4kR2x...
4kR2 – 3kх2 = 0; y = kR2x – kx3;
Третий этап: h2 = 4R2 – х2
1 из 19

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

y = f(x) непрерывна [а, b]. унаиб. yнаим. a b y = f(x)

№ слайда 2

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. унаиб. yнаим. a b y = f(x) унаиб. yнаим. a b y = f(x)

№ слайда 3

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке. Стационарные точки — точки максимума или минимума. Критические точки — это точки, в которых производная не существует.

№ слайда 4

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a, b]: 1) найти производную f'(x); 2) найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а, b]; 3) вычислить значения функции y = f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это и будет унаим.) и наибольшее (это и будет унаиб.).

№ слайда 5

Решение. 1) 2) у'= 0; х1 = 1, х2 = –1.

№ слайда 6

3) yнаим. = 4, х = 1;

№ слайда 7

Теорема. Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х = х0. Тогда: а) если х = х0 — точка максимума, то унаиб. = f(x0); б) если х = х0 — точка минимума, то yнаим. = f(x0). унаиб. yнаим. a b a b

№ слайда 8

Решение. 1) у‘ = 0; х = –3, х = 2;

№ слайда 9

2 – + f´(x) f(x) –2 min x х < 2, у'<0; х > 2, у'>0; х = 2 — min; ymin = f(2) = 2 ∙ 23 + 3 ∙ 22 – 36 ∙ 2 = –44; yнаим. = ymin = f(2) = –44. Ответ: yнаим. = –44.

№ слайда 10

Пафнутий Львович Чебышёв — российский математик XIX в.

№ слайда 11

«Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». П.Л. Чебышёв

№ слайда 12

3) ответ на вопрос задачи. Этапы математического моделирования: 1) составление математической модели; 2) работа с моделью;

№ слайда 13

Первый этап. Составление математической модели. 1) Оптимизируемая величина (сокр.: О.В.) — величина с наибольшим или наименьшим значением. 2) Независимая переменная (сокр.: Н.П.) — неизвестная величина, выраженная через О.В. Установите реальные границы изменения Н.П. 3) Выразите у через х. Математическая модель задачи — функция у = f(x) с областью определения X, которой является найденная граница задачи.

№ слайда 14

Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Ответ получают из условия задачи.

№ слайда 15

Пример 3. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность была наибольшей? Решение. 1) О.В. — прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей (у); Первый этап:

№ слайда 16

2) Н.П. — ширина балки (х); 0 < х < 2R (х = 0, x = 2R) — это реальные границы изменения Н.П.; 2R h x

№ слайда 17

3) х2 + h2 = 4R2 (по теореме Пифагора), h2 = 4R2 – х2; Второй этап: y = 4kR2x – kx3; y‘ = 4kR2 – 3kx2; унаиб. — ?;

№ слайда 18

4kR2 – 3kх2 = 0; y = kR2x – kx3;

№ слайда 19

Третий этап: h2 = 4R2 – х2

Краткое описание документа:

Презентация «Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения» предназначена для обеспечения наглядности объяснения данной темы учителем. В ходе презентации раскрывается смысл понятий наибольшего, наименьшего значения, приводятся примеры использования данных знаний в решении практических задач. При помощи наглядного пособия учитель дает представление ученикам об одном из важнейших аспектов исследования функции, формируется умение исследовать функцию, строить ее график, использовать знания о производной функции для решения аналитических заданий.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Подавая информацию в форме презентации, учитель использует инструмент, включающий группу приемов для удержания внимания учеников на изучении предмета, улучшения запоминания подаваемой информации, ее усвоения. Для удобства подачи материала используются анимационные эффекты. Все рисунки выполнены точно, в цвете, хорошо будут видны и понятны всем ученикам в классе. Выделение цветом помогает ученикам запомнить определения, формулы, обратить внимание на существенные детали при построении.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Презентация начинается с демонстрации графика функции и непрерывности ее на некотором промежутке [a,b]. Отмечается, функция определена на данном промежутке, непрерывна, а также имеет самое большее, и самое меньшее значения в определенных точках. Отмечается особенность непрерывной функции на некотором отрезке. В замечании указано, что, у непрерывной функции имеется самое большее и самое меньшее значения на этом отрезке. При этом они могут находиться на концах отрезка, а также внутри области определения. Данные замечания проиллюстрированы построениями. На первом рисунке указан график функции, где наименьшее значение располагается во внутренней части отрезка области определения, а наибольшее значение обнаружено на конце отрезка. Второй рисунок представляет график непрерывной функции, во внутренней области которой лежат точки экстремума, однако наибольшее, а также самое меньшее значение функция принимает на концах этого отрезка. Также замечено, что если экстремальное значение располагается внутри отрезка области определения, то оно совпадает со стационарной или же критической точкой. С помощью рамки выделено для запоминания, что стационарные точки есть точками максимума или минимума. Критическими точками называются такие точки, где производная не существует.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

На слайде 4 ученик знакомится с алгоритмом поиска наименьшего, наибольшего значения. В алгоритм входят 3 этапа – определение производной функции, нахождение особых точек функции на ab и вычисление значений на концах отрезка, и еще в точках, найденных на втором этапе. Далее среди этих значений выбирается наибольшее и наименьшее.
Затем рассматривается пример нахождения на заданном отрезке экстремальных значений функции для у=х3+3/х. Согласно изученному алгоритму, сначала определяется производная функции. В данном случае она равна у′=(х3+3/х)′=(3х4-3)/х2. Затем находятся точки, где производная равна нулю у′=0. Это точки х=1 и х=-1.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

 Далее находятся значения функции в особых точках, найденных как стационарные и критические. После сравнения результатов, можно сделать вывод, что наименьшее значение функции – точка (1,4), а наибольшее значение функция принимает в точке (2;9+½).
На следующем слайде демонстрируется еще одна особенность критических точек. Теорема утверждает, что в случае существования внутри промежутка единственной особой точки (при непрерывности функции), когда точка является максимумом функции на промежутке –она есть на этом промежутке наибольшим значением, а когда она является минимумом, то и наименьшим значением функции.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Затем на слайде 8 приводится пример поиска наименьшего, наибольшего значения у=2х3+3х2-36 на промежутке [-2;+∞). На первом этапе решения находят производную функции у′=(2х3+3х2-36)′=6х2-6х-36. Приравняв производную у нулю, находим решения. На числовой прямой отмечают данные точки и анализируется знак производной. Около точки х=2 функция из убывающей становится возрастающей, поэтому данная точка представляет собой точку минимума.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

После подстановки значения аргумента находим значение. В результате получаем ответ – наименьшее значение у=2х3+3х2-36 на промежутке [-2;+∞) будет у=-44. На слайде 10 представлен российский математик Чебышев П.Л., сделавший большой вклад в теории исследования функции. В своих трудах он отметил, что методы науки, позволяющие решать общую задачу для практического применения с целью получить наибольшую выгоду при имеющихся средствах, являются очень важными. Данное высказывание отмечено на отдельном слайде.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

В следующей части презентации раскрывается практическая ценность изученного материала. При решении задач применяются методы математического моделирования, позволяющие с помощью математического аппарата найти решение задач. На слайде 12 представлены этапы математического моделирования, среди которых составление модели, операции с ней и ответ на требование задания. Первый этап включает выделение оптимизируемой величины, переменной и выражение у через х. В результате таких действий будет построена математическая модель задачи, выраженная функцией и областью определения на некотором промежутке Х. На II этапе предлагается отыскать наибольшее, наименьшее значение математической модели. На третьем этапе получается ответ, полученный из условия.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Для представления математического моделирования берется задача о нахождении радиуса сечения балки самой большей прочности. Согласно алгоритму математического моделирования, первым делом отмечается оптимизируемая величина – прочность. Введенной переменной является ширина балки, изменяющаяся в границах х=0, х=2R. Объяснение сопровождается рисунком, в котором видно изменение радиуса. На первом этапе также описывается математическая модель х2-h2=4R2. На втором этапе определяется функция y=kx(4R2-x2), x[0, 2R]. Для поиска наибольшего значения ищем, в каких точках производная нулевая. Это точки х1=2R/√3 и х2=-2R/√3. После подстановки значений аргумента в функцию, находят ее значение у наиб.=f(2R/√3) . На третьем этапе после подстановки полученного значения х в уравнение, получаем искомую величину р=сечения балки самой большей прочности h/x=√2≈1,4.

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Презентация «Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения» может применяться на уроках математики для повышения эффективности обучения. 

Презентация "Применение производной для поиска наибольшего, наименьшего значения"

Также данный материал может стать удобным инструментом дистанционного обучения. При необходимости углубить понимание предмета материал может быть рекомендован ученику для самостоятельного рассмотрения.

Автор
Дата добавления 27.07.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Презентация
Просмотров1273
Номер материала 823
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.