Уроки математики / Презентация / Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Документы в архиве:

Название документа 25.

Первый этап – технический. Второй этап – анализ решения. Третий этап – проверка.
ОДЗ: x = 4, x = 1; Ответ: 4.
Если при решении уравнения использовались равносильные преобразования, то про...
Решение. ⇒ ⇒
Решение. Ответ: корней нет. ⇒
Решение. Ответ: 1.
Решение. Ответ: –6, 1. + + –
Алгоритм решения уравнения, записанного в виде f(х)h(х) = g(х) h(х): разложит...
Пример 1. Решить уравнение x3 = х. Решение. 1 способ. х2 = 1; х1 = 1, х2 = –1...
Сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может...
Пример 2. Решить уравнение lg х2 = 2. Решение. 1 способ. х2 = 100; х1 = 10, х...
1 из 11

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

Первый этап – технический. Второй этап – анализ решения. Третий этап – проверка.

№ слайда 2

ОДЗ: x = 4, x = 1; Ответ: 4.

№ слайда 3

Если при решении уравнения использовались равносильные преобразования, то проверка не требуется. При проверке корней уравнения очень часто используют ОДЗ. Если по ОДЗ проверку сделать трудно, то выполняют ее подстановкой в исходное уравнение.

№ слайда 4

Решение. ⇒ ⇒

№ слайда 5

Решение. Ответ: корней нет. ⇒

№ слайда 6

Решение. Ответ: 1.

№ слайда 7

Решение. Ответ: –6, 1. + + –

№ слайда 8

Алгоритм решения уравнения, записанного в виде f(х)h(х) = g(х) h(х): разложить на множители g(х)[f(х) – g(х)] = 0; получить два уравнения h(х)=0; f(х) – g(х) = 0; вычислить корни.

№ слайда 9

Пример 1. Решить уравнение x3 = х. Решение. 1 способ. х2 = 1; х1 = 1, х2 = –1. 2 способ. х3 – х = 0; х(х2 – 1) = 0; х1=0, х2=1, х3= –1. При решении 1 способом мы потеряли один корень, х = 0.

№ слайда 10

Сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

№ слайда 11

Пример 2. Решить уравнение lg х2 = 2. Решение. 1 способ. х2 = 100; х1 = 10, х2= –10. 2 способ. 2 lg х = 2; lg х = 1; х = 10. lg х2 = 2 lg |х|

Краткое описание документа:

В предыдущих темах учащиеся ознакомились с понятием равносильных уравнений; изучили условия, при которых одно уравнение является следствием другого; рассмотрели теоремы о равносильных уравнениях.

В данной презентации остановимся более подробно на проверке корней при решении равносильных уравнений.

Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Ранее мы уже узнали, что равносильные уравнения удобно решать в несколько этапов:

– найти решения уравнения, которое равносильно исходному  (технический этап);

– проанализировать эти решения, т.е. понять, нужно ли проверять корни уравнения;

– проверить корни при необходимости.

Например. Дано уравнение, содержащее логарифмы. Запишем ОДЗ – область допустимых значений, в данном случае корни должны быть больше, чем корень из двух. Применяя теорему 6, найдем корни уравнения 5x – 6 = x2 – 2, равносильного исходному: x1 = 4, x2 = 1. Т.к. мы расширили область определения, проверим корни. Корень x = 1 не входит в ОДЗ исходного уравнения, поэтому запишем ответ x = 4 – решение заданного уравнения.

Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Внесем некоторые уточнения, которые касаются этапов решения (слайд 3):

– если при решении уравнения использовались равносильные преобразования, то проверка корней не требуется;

– при  проверке корней уравнения очень часто используют ОДЗ;

– если по ОДЗ проверку сделать трудно, то выполняют ее подстановкой в исходное уравнение.

Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Рассмотрим решение уравнения в примере 1. Вначале определим ОДЗ и найдем, что xможет быть больше или равен – 1. Возведем в четную степень обе части уравнения и получим равносильное уравнение. Найдем его корни. Один из корней не принадлежит ОДЗ исходного уравнения. Решением заданного уравнения будет корень, равный корень из двух.

Пример 2. Аналогично примеру 1 найдем ОДЗ: корень должен быть больше или равно 8 и одновременно меньше или равно 5. Таких значений не существует, значит уравнение не имеет корней.

Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Решим уравнение из примера 3. Запишем равносильное уравнение, возведя обе части уравнения в четную степень. Корни этого уравнения x1 = 1, x2 = 0. Т.к. по ОДЗ проверку сделать трудно, выполним подстановку: при x = 1 уравнение приобретает вид 2 = 2; при x = 0 значение корня вычислить невозможно, значит это посторонний корень исходного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение log2 (x2 + 5x + 2) = 3. Найдем ОДЗ: x2 + 5x + 2 > 0, обозначим возможные значения xна отрезке. Для исходного уравнения запишем равносильное, избавившись от логарифмов. Найдем корни этого уравнения x1 = – 6, x2 = 1. Проверим корни: x1 и x2 принадлежат ОДЗ, значит – 6 и 1 являются решениями исходного уравнения.

Далее автор обращает внимание, что для решения уравнения f (x) h (x) = g (x) h (x) можно использовать следующий алгоритм:

– разложить на множители  h (x) [f (x) – g (x)] = 0;

– получить два уравнения h (x) = 0; f (x) – g (x) = 0;

– вычислить корни.

Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Пример 1. Решить уравнение x3 = x. Решим уравнение первым способом, разделим обе части уравнения на xи запишем равносильное уравнение x2 = 1. Корни уравнения x1 = 1, x2 = – 1. При решении вторым способом применим вышеописанный алгоритм. Разложим левую часть на множители, вынеся xза скобки. Получим два уравнения x = 0 и  x2 – 1 = 0. Найдем их корни:  x1 = 0, x2 = 1, x3 = – 1. Мы видим, что при решении первым способом корень x = 0 оказался потерянным. Ответ: x1 = 0, x2 = 1, x3 = – 1.

Важно запомнить: сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

Презентация "Равносильность уравнений Проверка корней. Потеря корней при решении уравнения"

Пример 2. Решить уравнение lgx2 = 2. Решая уравнение первым способом (теорема 6), найдем x1 = 10, x2 = – 10. Решая вторым способом (используя формулу логарифма), вычислим x = 10. Таким образом, при решении вторым способом корень x = – 10 мы потеряли.

Ответ: x1 = 10, x2 = – 10.

Автор
Дата добавления 16.11.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Презентация
Просмотров1049
Номер материала 1041
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.