Уроки математики / Презентация / Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Документы в архиве:

Название документа 24.

Если каждый корень уравнения f(x) = g(х) (1) является в то же время корнем ур...
Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х),...
Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после...
Пусть а > 0, a ≠ 1 и f(х) > 0, g(х) > 0, то логарифмическое уравнение loga f(...
Первый этап – технический. Второй этап – анализ решения. Третий этап – проверка.
Пример 1. Какое уравнение является следствием уравнения х – 3 = 2? Решение. х...
Пример 2. Какое еще уравнение является следствием уравнения х – 3 = 2? Решени...
Пример 3. Найти уравнение – следствие для уравнения log3(х + 1)+ log3(х + 3)...
Вывод: уравнение – следствие получается из данного уравнения путем расширения...
1. Избавление от знаменателей, содержащих переменную величину. 2. Возведение...
Запомни: если в процессе решения уравнения произошло расширение области опред...
Решение. Ответ: –2. Первый этап – технический. х2 – 3х – 10 = 0; х1 = 5; х2 =...
Решение. Ответ: уравнение корней не имеет. Первый этап – технический. х – 6 =...
Пример 6. Решить уравнение ln(х2 + 2х – 7) = ln(х – 1). Решение. Ответ: 2. Пе...
1 из 14

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

Если каждый корень уравнения f(x) = g(х) (1) является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х) (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

№ слайда 2

Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое: 1. имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х); 2. нигде в этой области не обращается в 0; то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ. Теорема 4.

№ слайда 3

Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень n получится уравнение (f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ. Теорема 5.

№ слайда 4

Пусть а > 0, a ≠ 1 и f(х) > 0, g(х) > 0, то логарифмическое уравнение loga f(x) = loga g(x) равносильно уравнению f(x) = g(х). Теорема 6.

№ слайда 5

Первый этап – технический. Второй этап – анализ решения. Третий этап – проверка.

№ слайда 6

Пример 1. Какое уравнение является следствием уравнения х – 3 = 2? Решение. х – 3=2; х = 5; Ответ: уравнение х2 – 11х + 30 = 0 является следствием уравнения х – 3 = 2. (х – 3)(х – 6)=2(х – 6); х2 – 11х + 30 = 0; х1= 5, х2 = 6;

№ слайда 7

Пример 2. Какое еще уравнение является следствием уравнения х – 3 = 2? Решение. Ответ: уравнение х2 – 6х + 5 = 0 является следствием уравнения х – 3 = 2. (х – 3)2 = 22; х2 – 6х + 5 = 0; х1 = 5, х2=1;

№ слайда 8

Пример 3. Найти уравнение – следствие для уравнения log3(х + 1)+ log3(х + 3) = 1? Решение. Ответ: уравнение х2 + 4х = 0 является следствием уравнения log3(х + 1) + log3(х + 3) = 1. log3(х + 1) + log3(х + 3) = log33; (х + 1)(х + 3) = 3; х2 + 4х = 0; х1= 0, х2= –4;

№ слайда 9

Вывод: уравнение – следствие получается из данного уравнения путем расширения области определения уравнения.

№ слайда 10

1. Избавление от знаменателей, содержащих переменную величину. 2. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень. 3. Освобождение от знаков логарифмов.

№ слайда 11

Запомни: если в процессе решения уравнения произошло расширение области определения уравнения, то обязательна проверка всех найденных корней.

№ слайда 12

Решение. Ответ: –2. Первый этап – технический. х2 – 3х – 10 = 0; х1 = 5; х2 = –2. Второй этап – анализ решения. Проверка корней обязательна. Третий этап – проверка.

№ слайда 13

Решение. Ответ: уравнение корней не имеет. Первый этап – технический. х – 6 = 4 – х; 2х = 10; х = 5. Второй этап – анализ решения. Проверка корней обязательна. Третий этап – проверка.

№ слайда 14

Пример 6. Решить уравнение ln(х2 + 2х – 7) = ln(х – 1). Решение. Ответ: 2. Первый этап – технический. х2 + 2х – 7= х – 1; х2 + х – 6 = 0; х1 = 2, х2 = –3. Второй этап – анализ решения. Проверка корней обязательна. Третий этап – проверка. х = 2: ln1= ln1; х = –3: ln(х2 + 2х – 7), ln(х – 1) – не определены;

Краткое описание документа:

В презентации продолжим рассмотрение равносильных уравнений, теорем, остановимся более подробно на этапах решения таких уравнений.

Для начала вспомним условие, при котором одно из уравнений является следствием другого (слайд 1). Автор приводит еще раз некоторые теоремы о равносильных уравнениях, которые были рассмотрены ранее: об умножении частей уравнения на одинаковое значение h (x); возведение частей уравнения в одинаковую четную степень; получение равносильного уравнения из уравнения logaf(x) = logag (x).

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

На 5-м слайде презентации выделены основные этапы, с помощью которых удобно решать равносильные уравнения:

– найти решения равносильного уравнения;

– проанализировать решения;

– проверить.

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Рассмотрим пример 1. Необходимо найти следствие уравнения x – 3 = 2. Найдем корень уравнения x = 5. Запишем равносильное уравнение (x – 3)(x – 6) = 2(x – 6), применив способ  умножения  частей уравнения на (x – 6). Упростив выражение до вида x2 – 11x +30 = 0, найдем корни x1 = 5, x2 = 6. Т.к. каждый корень уравнения x – 3 = 2 является также решением уравнения x2 – 11x +30 = 0, то x2 – 11x +30 = 0 – это уравнение-следствие.

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Пример 2. Найти другое следствие уравнения x – 3 = 2. Для получения равносильного уравнения используем метод возведения в четную степень. Упростив полученное выражение, запишем x2 – 6x +5 = 0. Найдем корни уравнения x1 = 5, x2 = 1. Т.к. x = 5 (корень уравнения x – 3 = 2) является также решением уравнения x2 – 6x +5 = 0, то уравнение x2 – 6x +5 = 0 также является уравнением-следствием.

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Пример 3. Необходимо найти следствие уравнения log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1.

Заменим в уравнении 1 = log33. Тогда, применяя утверждение из теоремы 6, запишем равносильное уравнение (x + 1)(x +3) = 3. Упростив выражение, получим x2 + 4x = 0, где корнями будут x1 = 0, x2 = – 4. Значит уравнение x2 + 4x = 0 – следствие для заданного уравнения log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1.

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Итак, можно сделать вывод: если расширяется область определения уравнения, то получается уравнение-следствие. Выделим стандартные действия при нахождении уравнения-следствия:

– избавление от знаменателей, которые содержат переменную;

– возведение частей уравнения в одинаковую четную степень;

– освобождение от логарифмических знаков.

Но важно запомнить: когда в ходе решения расширяется область определения уравнения, то необходимо проверить всех найденные корни – будут ли они попадать в ОДЗ.

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Пример 4. Решить уравнение, представленное на слайде 12. Вначале найдем корни равносильного уравнения x1 = 5, x2 = – 2 (первый этап). Необходимо обязательно проверить корни (второй этап). Проверка корней (третий этап): x1 = 5 не принадлежит области допустимых значений заданного уравнения, поэтому уравнение имеет одно решение только x = – 2.

Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

Далее в презентации рассматриваются еще 2 примера, в которых повторяются и прорабатываются основные этапы решения равносильных уравнений.

В примере 5 найденный корень равносильного уравнения не входит в ОДЗ заданного уравнения. В примере 6 значение одного из двух найденных корней не определено, поэтому этот корень не является решением исходного уравнения.

Автор
Дата добавления 16.11.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Презентация
Просмотров997
Номер материала 1040
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.