Презентация "Равносильность уравнений. Уравнение %U2013 следствие"

В презентации продолжим рассмотрение равносильных уравнений, теорем, остановимся более подробно на этапах решения таких уравнений.

Для начала вспомним условие, при котором одно из уравнений является следствием другого (слайд 1). Автор приводит еще раз некоторые теоремы о равносильных уравнениях, которые были рассмотрены ранее: об умножении частей уравнения на одинаковое значение h (x); возведение частей уравнения в одинаковую четную степень; получение равносильного уравнения из уравнения log_af(x) = log_ag (x).

На 5-м слайде презентации выделены основные этапы, с помощью которых удобно решать равносильные уравнения:

– найти решения равносильного уравнения;

– проанализировать решения;

– проверить.

Рассмотрим пример 1. Необходимо найти следствие уравнения x – 3 = 2. Найдем корень уравнения x = 5. Запишем равносильное уравнение (x – 3)(x – 6) = 2(x – 6), применив способ  умножения  частей уравнения на (x – 6). Упростив выражение до вида x² – 11x +30 = 0, найдем корни x₁ = 5, x₂ = 6. Т.к. каждый корень уравнения x – 3 = 2 является также решением уравнения x² – 11x +30 = 0, то x² – 11x +30 = 0 – это уравнение-следствие.

Пример 2. Найти другое следствие уравнения x – 3 = 2. Для получения равносильного уравнения используем метод возведения в четную степень. Упростив полученное выражение, запишем x² – 6x +5 = 0. Найдем корни уравнения x₁ = 5, x₂ = 1. Т.к. x = 5 (корень уравнения x – 3 = 2) является также решением уравнения x² – 6x +5 = 0, то уравнение x² – 6x +5 = 0 также является уравнением-следствием.

Пример 3. Необходимо найти следствие уравнения log₃ (x + 1) + log₃ (x + 3) = 1.

Заменим в уравнении 1 = log₃3. Тогда, применяя утверждение из теоремы 6, запишем равносильное уравнение (x + 1)(x +3) = 3. Упростив выражение, получим x² + 4x = 0, где корнями будут x₁ = 0, x₂ = – 4. Значит уравнение x² + 4x = 0 – следствие для заданного уравнения log₃ (x + 1) + log₃ (x + 3) = 1.

Итак, можно сделать вывод: если расширяется область определения уравнения, то получается уравнение-следствие. Выделим стандартные действия при нахождении уравнения-следствия:

– избавление от знаменателей, которые содержат переменную;

– возведение частей уравнения в одинаковую четную степень;

– освобождение от логарифмических знаков.

Но важно запомнить: когда в ходе решения расширяется область определения уравнения, то необходимо проверить всех найденные корни – будут ли они попадать в ОДЗ.

Пример 4. Решить уравнение, представленное на слайде 12. Вначале найдем корни равносильного уравнения x₁ = 5, x₂ = – 2 (первый этап). Необходимо обязательно проверить корни (второй этап). Проверка корней (третий этап): x₁ = 5 не принадлежит области допустимых значений заданного уравнения, поэтому уравнение имеет одно решение только x = – 2.

Далее в презентации рассматриваются еще 2 примера, в которых повторяются и прорабатываются основные этапы решения равносильных уравнений.

В примере 5 найденный корень равносильного уравнения не входит в ОДЗ заданного уравнения. В примере 6 значение одного из двух найденных корней не определено, поэтому этот корень не является решением исходного уравнения.