Уроки математики / Тест / Тестовая работа по теме " Логарифмические и показательные уравнения и неравенства" на три уровня

Тестовая работа по теме " Логарифмические и показательные уравнения и неравенства" на три уровня

Научное пособие по алгебре Тема : «Логарифмические и показательные уравнения...
Содержание: Глава 1. 1.1. Понятие логарифма 1.2. Свойства логарифма 1.3. Лога...
1.1 Понятие логарифма у х y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) х y = ax (0 < a < 1)...
Логарифмическая функция у у х х 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x...
Пусть a, M и N – положительные числа, причём a ≠ 1, и k – действительно число...
1. Пусть а – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительн...
1.3 Примеры log3 x = 3 Перепишем уравнение в виде : log3 x = log3 27 Тогда оч...
1.3 Примеры а) log5 (4x – 3) = 2 (1) Введя новое известное t = 4x – 3, перепи...
1.4 Неравенства (Теоретическая часть) Пусть a – данное положительно, не равно...
1.4 Неравенства (Теоретическая часть) На координатной плоскости xOy рассмотри...
1.4 Примеры Решим неравенство log1/3 x > -2. (1) Так как -2 = log⅓ 9 , то нер...
1.4 Примеры Решим неравенство log3 x – 3log9 x – log81 x > 1,5. (5) Так как l...
2.1 Степень положительного числа Степень с рациональным показателем Пусть а –...
2.2 Показательная функция Рассмотрим функцию y = a (1) , где a > 0 и a ≠ 0, н...
2.3 Показательные уравнения (Теоретическая часть) 1. Пусть a – данное положит...
2.3 Примеры Решим уравнение (1/2)х = 2 (2) Так как 2 > 1 , то это уравнение и...
2.3 Примеры Теперь рассмотрим уравнения, которые после несложных преобразован...
2.3 Примеры Решим уравнение 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0 . (9) Пер...
2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Пусть a – данное положител...
2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Таким образом, при b > 0 и...
2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) х х y y y = ax (a > 1) y =...
2.4 Примеры Решим неравенство 2x < 8 . (1) Так как 8 > 0, то неравенство (1)...
1 из 22

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Научное пособие по алгебре Тема : «Логарифмические и показательные уравнения
Описание слайда:

Научное пособие по алгебре Тема : «Логарифмические и показательные уравнения и неравенства» Выполнила : Мануилова Л.Н.-учитель математики МБОУ СОШ № 76 г. Ижевск Удмуртия

№ слайда 2 Содержание: Глава 1. 1.1. Понятие логарифма 1.2. Свойства логарифма 1.3. Лога
Описание слайда:

Содержание: Глава 1. 1.1. Понятие логарифма 1.2. Свойства логарифма 1.3. Логарифмические уравнения А.Теоретическая часть Б.Примеры 1.4. Логарифмические неравенства А.Теоретическая часть Б.Примеры Глава 2. 2.1. Степень положительного числа 2.2. Показательная функция 2.3. Показательные уравнения А.Теоретическая часть Б.Примеры 2.4. Показательные неравенства А.Теоретическая часть Б.Примеры Глава 3. 3.1. Тест по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» I уровень сложности II уровень сложности III уровень сложности 3.2. Тест по теме «Показательные уравнения и неравенства» I уровень сложности II уровень сложности III уровень сложности

№ слайда 3 1.1 Понятие логарифма у х y = b b M 1 0 n y = ax (a &gt; 1) х y = ax (0 &lt; a &lt; 1)
Описание слайда:

1.1 Понятие логарифма у х y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) х y = ax (0 < a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 0) называют число n, такое, что b = an Логарифм положительного числа b по основанию a (a > 0,a ≠ 1) обозначают так: n = loga b Из определения Логарифма очевидно следует, что для a > 0, a ≠ 1, b > 0: a loga b = b

№ слайда 4 Логарифмическая функция у у х х 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x
Описание слайда:

Логарифмическая функция у у х х 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Функцию y = loga x называют логарифмической функцией. Свойства функции y = loga x, при а > 0: Непрерывна и возрастает на промежутке (0;+∞); Если х→+∞, то у→+∞; если х→0, то у→ -∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х > 1, то у > 0; если 0 < х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х > 1, то у < 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

№ слайда 5 Пусть a, M и N – положительные числа, причём a ≠ 1, и k – действительно число
Описание слайда:

Пусть a, M и N – положительные числа, причём a ≠ 1, и k – действительно число. Тогда справедливы равенства: 1. loga ( M·N) = loga M + loga N - Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел. 2. loga М = loga M – loga N - Логарифм частного положительных чисел N равен разности логарифмов делимого и делителя. 3. loga Mk = k · loga M - Логарифм степени положительно числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Формула перехода логарифмов от одного logb a logb a основания к другому. Отдельные случаи: 1. log10 b = lg b - Логарифм положительного числа b по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа b. 2. loge b = ln b - Логарифм положительного числа b по основанию e называют натуральным логарифмом числа b 1.2 Свойства логарифмов

№ слайда 6 1. Пусть а – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительн
Описание слайда:

1. Пусть а – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение loga x = b – называют простейшим логарифмическим уравнением. Например, уравнения a) log3 x = 3 ; (1) б) log⅓ x = -2 ; (2) в) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) являются простейшими логарифмическими уравнениями. По определению логарифма если число х0, удовлетворяет числовому равенству loga x = b, то число x0 есть аb , причем это число x0 = ab единственное. Таким образом, для любого действительного числа b уравнение loga x = b имеет единственный корень x0 = ab . 2. Уравнения, которые после замены неизвестного превращаются в простейшие логарифмические уравнения: а) log5 (4x – 3) = 2 ; (4) б) 2 + 1 = -1 ; (5) lg(3x + 1) + lg0,01 lg(3x + 1) 1.3 Уравнения (Теоретическая часть)

№ слайда 7 1.3 Примеры log3 x = 3 Перепишем уравнение в виде : log3 x = log3 27 Тогда оч
Описание слайда:

1.3 Примеры log3 x = 3 Перепишем уравнение в виде : log3 x = log3 27 Тогда очевидно, что это уравнение имеет единственный корень x0 = 27. Ответ: 27. б) log1/3 x = -2 Это уравнение имеет единственный корень x0 = (⅓)-2 =9 Ответ: 9. в) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Приводя все логарифмы к одному основанию, перепишем уравнение в виде: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4·log5 3 log25 2 Так как каждое слагаемое суммы, заключенное в скобки, положительно, то сумма не равна нулю. Поэтому уравнение (1), и значит уравнение (2), равносильны уравнению log25 x = 0 , имеющему единственный корень x0 = 1. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень x0 = 1. Ответ:1. а, б – простейшие уравнения; в – уравнение, которое после преобразований превращается в простейшее лог. уравнение

№ слайда 8 1.3 Примеры а) log5 (4x – 3) = 2 (1) Введя новое известное t = 4x – 3, перепи
Описание слайда:

1.3 Примеры а) log5 (4x – 3) = 2 (1) Введя новое известное t = 4x – 3, перепишем уравнение в виде : log5 t = 2. Это уравнение имеет единственный корень t1 = 52 =25. Чтобы найти корень уравнения (1), надо решить уравнение : 4х – 3 = 25. (2) Оно имеет единственный корень x1 =7. Следовательно, уравнение (1) тоже имеет единственный корень х1=7. Ответ: 7. б) 2 + 1 = -1 (1) lg(3x + 1) + lg0,01 lg(3x + 1) Введя новое неизвестное t = lg (3x + 1) и учитывая что lg 0,01 = -2, перепишем уравнение (1) в виде : 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Решив рациональное уравнение (2), получим, что оно имеет два корня t1 = -2 и t2 = 1. Чтобы найти все корни уравнения (1), надо объединить корни двух уравнений lg(3x + 1) = -2 и lg(3x + 1) = 1. Первое уравнение равносильно уравнению 3x + 1 = 10-2 , имеющему единственный корень x1 = -0.33. Второе уравнение равносильно уравнению 3x + 1 = 10, также имеющему единственный корень x2 = 3. Ответ: -0,33 ; 3. а, б – уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

№ слайда 9 1.4 Неравенства (Теоретическая часть) Пусть a – данное положительно, не равно
Описание слайда:

1.4 Неравенства (Теоретическая часть) Пусть a – данное положительно, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства: logа x > b (1) logа x < b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x > loga x0 (3) loga x < loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, то функция y = loga x возрастает на всей своей области определения, т.е. на интервале (0;+∞). Поэтому для любого числа x > x0 справедливо числовое неравенство loga x > loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а > 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (х0 ;+ ∞), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал ( 0; х0 ) . Если же 0 < a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x > x0 справедливо числовое неравенство loga x < loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x > loga x0 . Кроме того, равенство loga x = loga x0 справедливо лишь при х = х 0 . Таким образом, при 0 < a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал ( 0; х0 ) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал ( х0 ;+∞).

№ слайда 10 1.4 Неравенства (Теоретическая часть) На координатной плоскости xOy рассмотри
Описание слайда:

1.4 Неравенства (Теоретическая часть) На координатной плоскости xOy рассмотрим графики функции y = loga x и y = b. Прямая y = b пересекает график функции y = loga x в единственной точке x0 = ab . Если a > 1, то для каждого x > x0 соответствующая точка точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b, т.е. для каждого x > x0 соответствующая ордината y = aх больше, чем ордината aх0 , а для каждого х из интервала 0 < x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x > x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b, а для каждого x из интервалы 0 < x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a > 1) y = b y = loga x (0 < a < 1) х0

№ слайда 11 1.4 Примеры Решим неравенство log1/3 x &gt; -2. (1) Так как -2 = log⅓ 9 , то нер
Описание слайда:

1.4 Примеры Решим неравенство log1/3 x > -2. (1) Так как -2 = log⅓ 9 , то неравенство (1) можно переписать в виде log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Так как ⅓ < 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ : (0;9). 2. Решим неравенство log4 x > ½ . (3) Так как ½ = log4 2, то неравенство (3) можно переписать в виде log4 x > log4 2 (4) Так как 4 > 1, то функция y = log4 x возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства (4), а значит и неравенства (3), есть интервал (2;+∞). Ответ : (2;+∞). (см. рис.1) х у 1 2 3 4 1 -1 0 рис.1 y = ½ y = log4 x

№ слайда 12 1.4 Примеры Решим неравенство log3 x – 3log9 x – log81 x &gt; 1,5. (5) Так как l
Описание слайда:

1.4 Примеры Решим неравенство log3 x – 3log9 x – log81 x > 1,5. (5) Так как log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), то неравенство (5) можно переписать в виде : (1 – 1,5 – ¼ ) log3 x > 1.5 или в виде log3 x < log3 1/9. (6) Так как 3 > 1, то функция y = log3 x возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства (6), а значит и неравенства (5), есть интервал 0 < x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

№ слайда 13 2.1 Степень положительного числа Степень с рациональным показателем Пусть а –
Описание слайда:

2.1 Степень положительного числа Степень с рациональным показателем Пусть а – положительное число, а p/q – рациональное число (q ≥ 2). По определению число а в степени p/q есть арифметический корень степени q из a в степени p, т.е. a p/q = q√ap . ТЕОРЕМА. Пусть a – положительное число, p – целое число, k и q – натуральные числа, q ≥ 2, k ≥ 2. Тогда справедливы равенства a) ap/q = (a1/p )p ; б) ap/q = a pk /qk ; в) ap = а pq /q ; Свойства степени с рациональным показателем ТЕОРЕМА 1. Положительное число а в степени с любым рациональным показателем r положительно: аr > 0 ТЕОРЕМА 2. Пусть а – положительное число, а r1 , r2 и r – рациональные числа. Тогда справедливы свойства: 1. При умножении степеней с рациональными показателями одного и того же положительного числа показатели степеней складывают: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2 . 2. При делении степеней с рациональными показателями одного и того дже положительного числа показатели степеней вычитают: аr1 : аr2 = аr1 – r2 . 3. При возведении степени с рациональным показателем положительного числа в рациональную степень показатели степеней перемножаются: ( а r1 ) r2 = а r1∙ r2 . ТЕОРЕМА 3. Пусть а и b – положительные числа, а r – рациональное число. Тогда справедливы следующие свойства степени с рациональным показателем: Степень с рациональным показателем произведения положительных чисел равна произведению тех же степеней сомножителей: ( ab )r = ar ∙ br . Степень с рациональным показателем частного положительных чисел равна частному тех же степеней делимого и делителя: ( a / b )r = ar / br . ТЕОРЕМА 4. Пусть число a > 1, а r – рациональное число. Тогда ar > 1 при r > 0 0 < ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a > 1, а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу ( 0;1 ), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

№ слайда 14 2.2 Показательная функция Рассмотрим функцию y = a (1) , где a &gt; 0 и a ≠ 0, н
Описание слайда:

2.2 Показательная функция Рассмотрим функцию y = a (1) , где a > 0 и a ≠ 0, на множестве рациональных чисел. Для каждого рационального числа r определено число ar . Этим функция (1) пока определена на множестве рациональных чисел. График этой функции в системе координат x0y есть совокупность точек ( x; ax ) , где x – любое рациональное число. При a > 1 этот график схематически изображен на рисунке (1), а при 0 < a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют показательной функцией с основанием а.

№ слайда 15 2.3 Показательные уравнения (Теоретическая часть) 1. Пусть a – данное положит
Описание слайда:

2.3 Показательные уравнения (Теоретическая часть) 1. Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение ax = b (1) называют простейшим показательным уравнением . Например, уравнения 2х = 8, (1/3)х = 9 , 25х = -25 являются простейшими показательными уравнениями. Корнем ( или решением) уравнения с неизвестным x называют число x0 , при подстановке которого в уравнение вместо x получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет. Поскольку ax0 > 0 для любого действительного числа x0, для которого было бы справедливо числовое равенство ax0 = b удовлетворяет единственное число x0 = loga b. Таким образом, уравнение (1) : При b ≤ 0 не имеет корней ; При b > 0 имеет единственный корень x0 = loga b. 2. Уравнения, который после замены неизвестного превращаются в простейшие показательные уравнения .

№ слайда 16 2.3 Примеры Решим уравнение (1/2)х = 2 (2) Так как 2 &gt; 1 , то это уравнение и
Описание слайда:

2.3 Примеры Решим уравнение (1/2)х = 2 (2) Так как 2 > 1 , то это уравнение имеет единственный корень x0 = log½ 2 = -1. Ответ: -1. Решим уравнение 3х = 5 (3) Так как 5 > 0, то это уравнение имеет единственный корень x0 = log3 5. Ответ: log3 5. Решим уравнение 25х = -25 Так как -25 < 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b > 0 это уравнение часто записывают в виде ax = aα, где α = loga b . Тогда очевидно, что единственный корень этого уравнения, а значит и уравнения (1), есть число α. Так как уравнение (2) можно записать в виде (1/2)х = (1/2)-1 , то его единственный корень x0 = -1. Так как уравнение (3) можно записать в виде 3х = 3log 35 , то его единственный корень x0 = log3 5.

№ слайда 17 2.3 Примеры Теперь рассмотрим уравнения, которые после несложных преобразован
Описание слайда:

2.3 Примеры Теперь рассмотрим уравнения, которые после несложных преобразований превращаются в простейшие показательные уравнения. Решим уравнение 5х+2 - 2·5х - 3·5х+1 = 200 (4) Так как 5х+2 = 25·5х , 5х+1 =5·5х , то уравнение (4) можно переписать в виде 5х · (25 - 2 – 15) = 200 или в виде 5х = 52 (5) Очевидно, что уравнение (5), а значит и уравнение (4), имеют единственный корень x0 = 2. Ответ: 2. Решим уравнение 4· 3х - 9· 2х = 0 (6) Так как 2х ≠ 0 для любого действительного числа, то, разделив уравнение (6) на 2х , получим уравнение 4· (3/2)х - 9 = 0, (7) равносильное уравнению (6). Уравнение (7) можно переписать в виде (3/2)х = (3/2)2 . (8) Так как уравнение (8) имеет единственный корень x0 = 2, то и равносильное ему уравнение (6) имеет единственный корень x0 = 2. Ответ: 2.

№ слайда 18 2.3 Примеры Решим уравнение 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0 . (9) Пер
Описание слайда:

2.3 Примеры Решим уравнение 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0 . (9) Переписав уравнение (9) в виде 34x2 – 8x + 3 = 1 , введем новое неизвестное t = 4x2 – 8x + 3. Тогда уравнение (9) можно переписать в виде 3t = 1. (10) Так как уравнение (10) имеет единственный корень t1 = 0, то для того, чтобы найти корни уравнения (9), надо решить уравнение 4x2 – 8x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня x1 =1/2, х2 = 3/2 , поэтому уравнение (9) имеет те же корни. Ответ: 1/2 ; 3/2 . Теперь рассмотрим решение уравнений, которые после введения нового неизвестного t превращаются в квадратные или рациональные уравнения с неизвестным t. Решим уравнение 4х - 3· 2х + 2 = 0. (11) Так как 4х = (2х)2 , то уравнение (11) можно переписать в виде (2х)2 - 3· 2х + 2 = 0. Введя новое неизвестное t = 2х, получим квадратное уравнение t2 - 3t + 2 = 0, которое имеет два корня t1 = 1, t2 = 2. Следовательно, чтобы найти все корни уравнения (11), надо объединить все корни двух уравнений 2х = 1 и 2х = 2. Решив эти простейшие показательные уравнения, получим, что все корни уравнения (11) есть x1 = 0 ; х2 = 1. Ответ: 0; 1 .

№ слайда 19 2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Пусть a – данное положител
Описание слайда:

2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства ax > b (1) и ax < b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства : 2x < 3 , ( 1/3 )x > 4√3 , 25x < -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 > 0 для любого действительного числа х0 ,то при b ≤ 0 неравенство a x0 > b справедливо для Любого действительного числа х0 , но нет ни одного действительного числа х0 , для которого было бы справедливо числовое неравенство a x0 < b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b > 0, то неравенство (1) и (2) можно переписать в виде ax > ax0 (1) и ax < ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а > 1. Так как для такого а функция y = ax является возрастающей, то для любого числа х > x0 справедливо числовое неравенство ax > ax0 , а для любого числа х > x0 справедливо числовое неравенство ax < ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

№ слайда 20 2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Таким образом, при b &gt; 0 и
Описание слайда:

2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Таким образом, при b > 0 и a > 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (x0 ;+∞), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (-∞; x0 ), где x0 = loga b. Пусть теперь 0 < a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей , то для любого числа х > x0 справедливо числовое неравенство ax < ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b > 0 и 0 < a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0 ), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх , так как расположена под кривой y = aх (а , б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax > b и нет таких х, для которых выполнялось бы неравенство ax < b . При b > 0 прямая y = b пересекает график функции y = aх в единственной точке x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b < 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

№ слайда 21 2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) х х y y y = ax (a &gt; 1) y =
Описание слайда:

2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) х х y y y = ax (a > 1) y = ax (0< a <1) y = b (b>0) y = b (b>0) 0 1 0 1 х0 х0 1 1 Если а > 1, то для каждого х > x0 соответствующая точка графика функции y = ax находится выше прямой y = b, а для каждого х < x0 - ниже прямой y = b. Если же 0 < a < 1 , то для каждого х > x0 соответствующая точка графика функции y = ax находится ниже прямой y = b , а для каждого х < x0 – выше прямой y = b.

№ слайда 22 2.4 Примеры Решим неравенство 2x &lt; 8 . (1) Так как 8 &gt; 0, то неравенство (1)
Описание слайда:

2.4 Примеры Решим неравенство 2x < 8 . (1) Так как 8 > 0, то неравенство (1) можно переписать в виде 2x < 23. (2) Так как 2 > 1, то функция y = 2x возрастающая. Поэтому решениями неравенства (2), а значит и неравенства (1), являются все х < 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство ( 1/3 )х < 5 . (3) Так как 5 > 0, то это неравенство (3) можно переписать в виде ( 1/3 ) x < ( 1/3 ) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = ( 1/3 )x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х > log⅓ 5 . Ответ: (log⅓ 5; +∞). Рассмотрим неравенство, которое после замены неизвестного превращается в простейшее показательное неравенство. Решим неравенство 5 3x2 - 2x – 6 < 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 > 1, то все решения этого неравенства есть все t < -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив квадратное неравенство (6), найдем все его решения: -1 < x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3 ).

Автор
Дата добавления 15.04.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Тест
Просмотров544
Номер материала 3699
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.