Урок "Арккосинус. Решение уравнения cost = а"

В продолжение предыдущей темы, в которой рассматривались примеры решения тригонометрических функций, этот видеоурок знакомит учащихся с арккосинусом и решением уравнения cos t = a.

Рассматривается пример решения уравнения cos t =1/4 . Используя числовую окружность, находим точки с координатой х =  1/4, на графике отметим эти точки как M(t₁) и N(t₂).

На графике видно, что t₁ – это длина АМ, а t₂ – это длина AN. По-другому можно сказать, что t₁ = arccos 1/4; t₂ = – arccos 1/4. Решение уравнения t = ± arccos ¼ + 2πk.

Таким образом, arccos 1/4– это число (длина АМ), косинус которого равен 1/4. Это число принадлежит отрезку от 0 до π/2, т.е. первой четверти окружности.

Далее рассматривается решение уравнения cos t = - 1/4. По аналогии с предыдущим примером, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можно сказать, чтоarccos (-1/4 – это число (длина дуги АМ), косинус которого равен – ¼ и это число принадлежит II четвертиокружности, т.е. отрезкуот π/2 до π.

Исходя из двух примеров, дается определение арккосинусу: если модуль а меньше или равен 1, то arccos а это такое число из отрезка от 0 до π, косинус которого равен а. Тогда выражение cos t = a при модуле а меньше или равно 1 может иметь вид t = ± arccos a + 2πk. Далее указаны значения t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = - 1.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arcсos. Укажем, что данное значение arcсos равно t, следовательно, cos t равен этому значению, где t принадлежит отрезку от 0 до π. Пользуясь таблицей значений, найдем, что cos t соответствует значение t =π/6. Найдем соответствующее значение косинуса, где π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Мы получили ответ: π/6. Далее автор обращает внимание на то, что arccos  - это значение угла, на которое ушла точка М от точки А. Вся рассматриваемая нами окружность равна 2π, т.е. 360°, тогда угол это arccos  t = π/6 равен 60°.

Разберем пример 2. Вычислить arcсos отрицательного числа. Допустим, что arcсos этого числа равен, следовательно, cos t равен этому числу, где t принадлежит отрезку от 0 до π. По таблице значений увидим, какое значение соответствует cos t, это t = 5π/6. Т.е. cos 5π/6 это минус корень из трех, деленный на два, где 5π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Далее автор рассматривает теорему: для любого а, принадлежащего отрезку от минус одного до одного, действительно равенство arccos a + arccos (-a) =π.При доказательстве для определенности считаем, что а > 0, тогда – а < 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π– arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Когда а > 0, arccos a принадлежит I четверти окружности (отмечено на рисунке), а когда а < 0, arccos a принадлежит II четверти.

Рассмотрим еще один пример. Решить выражение, где cos t равен отрицательному числу. Запишем, чему в данном случае равно t.Тогда найдем величину арккосинуса, это 3π/4. Подставим найденное значение arcсos в значение t и получим, что t = ± 3π/4+ 2πk.

Разберем решение неравенства cos t. Для решения нам необходимо на числовой окружности найти точки, в которых х равен значению косинуса. Это точки со значениями π/4 и – π/4. Как видно на рисунке, длина дуги MN это – π/4≤ t ≤π/4. Значит ответом неравенства будет – π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Арккосинус. Решение уравнения cost = a

Рассмотрим решение уравнения cost =  .

Учитывая, что cos t  – это абсцисса точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с абсциссой  

На числовой окружности отметим точки М(t₁),  N(t₂) – точки пересечения прямой  х=  с этой окружностью.

t₁ – это длина дуги АМ, t₂ - это длина дуги АN,   t₂ = – t_1. 

Когда математики впервые встретились  с подобной ситуацией, они ввели новый символ arccos

arccos   ( арккосинус одной четвертой).

Тогда  t₁ = arccos; t₂ = - arccos

И тогда корни уравнения cost =  можно записать двумя формулами:

t = arccos  + 2πk, t = - arccos  + 2πk или t = arccos  + 2πk.

Что значит arccos ?

Это число

( длина дуги АМ), косинус которого равен одной четвертой и это число принадлежит первой четверти, то есть отрезку [0 ; ].

Теперь рассмотрим уравнение

cost = -  . Аналогично решению предыдущего уравнения, запишем

t = arccos ) + 2πk.

Как понимать arccos( -  )? Это число

( длина дуги АМ), косинус которого равен  минус одной четвертой и это число принадлежит второй четверти, то есть отрезку [; ].

Дадим определение арккосинусу:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть | а |  1(модуль а меньше либо равно единице). Арккосинусом а называется такое число из отрезка [0 ; ], косинус которого равен а.(рис.1)

ПРИМЕР 1. Вычислить arсcos.( арккосинус корень из трех на два)

Решение. Пусть arсcos = t. Тогда cost =  и t [ ; ]( тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Вспомним значению cos   соответствует    

(Показать таблицу значений) Значит, t =  (пи на шесть), так как cos  =  и   [0;π]. Значит, arсcos = .

arcos – это длина дуги, но длина дуги окружности это – t в определении cost

(Условно можно сказать что арккосинус это «значение угла», на который  ушла точка от М от точки А, если вспомните то мы число t вводили как часть длины окружности, радиуса равного 1(одному), и тогда 2π– вся окружность равна 360°, π– половина окружности =180°,  ==60°)

ПРИМЕР 2. Вычислить arсcos( -   ( арккосинус  минус корень из трех на два).

Решение. Пусть arсcos( -   ) = t. Тогда cost =  и t [ ; ]( тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Значит, t =  (пять пи на шесть), так как cos  = -   и   [; ]. Итак, arсcos ) = .

Докажем ТЕОРЕМУ. Для любого  а  [; ]( а из отрезка от минус единицы до единицы) выполняется равенство arccosа+ arccos(–а) = π( сумма арккосинуса а и арккосинуса минус а равна пи).

Доказательство. Для определенности будем считать, что а 0, тогда – а  0. На числовой окружности отметим arcos а ( это длина дуги АК) и

 arccos(–а) ( это длина дуги АТ) ( смотри рис. 2)

Из доказанной теоремы следует: arcos (–а) = π – arcos а ( арккосинус минус а равен разности пи и арккосинуса а), где 0  а  1(где а больше либо равно нулю и меньше либо равно единице).

Когда  а > 0, считают, что arcosа принадлежит первой четверти числовой окружности. 

Когда а < 0 считают, что arcosа принадлежит второй четверти числовой окружности.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение cost = -   .

Решение. Составим формулу решений: t = arccos(-   )+ 2πk.

Вычислим значения арккосинуса:  arccos(-   ) = π - arсcos =   π -  =  .

( Согласно соотношению   arccos(-   ) = π - arсcos arсcos , то подставив данное значение в формулу, получим, что arccos(-   ) = ) .

Подставим найденное значение в формулу решений t = arccos(-   )+ 2πk и получим значение t: t =  + 2πk.

ПРИМЕР 4.Решить  неравенство cost .

Решение. Мы знаем, что cost – это абсцисса точки М(t) на числовой окружности. Это значит, что нужно найти такие точки М(t) на числовой окружности, которые удовлетворяют неравенству х .

Прямая х =  пересекает числовую окружность в двух точках М и N.

Неравенству х  соответствуют точки открытой дуги  МN. Точке М соответствует  , а точке N –

– (минус пи на четыре).

Значит, ядром  аналитической записи дуги МN является неравенство

-   t , а сама аналитическая запись дуги МN имеет вид