Похожие материалы
Уроки математики / Видеоурок / Урок «Понятие определённого интеграла»

Урок «Понятие определённого интеграла»

Краткое описание документа:

На прошлом уроке вы познакомились с понятием неопределённого интеграла.

Вспомним, что если функция (игрек равно эф малое от икс) имеет на промежутке Х (икс большое) первообразную(игрек равно эф большое от икс), то множество функций вида  (игрек равен эф большое от икс плюс це), называют неопределённым интегралом от функции (игрек равно эф малое от икс) и обозначают (неопределённый интеграл эф от икс дэ икс).

Рассмотрим функцию (игрек равно эф малое от икс), непрерывную на отрезке .

Урок «Понятие определённого интеграла»

Разобьём данный отрезок на  (эн) равных частей. Составим сумму:

(эс энное равно эф от икс нулевое дельта икс нулевое  плюс эф от икс один дельта икс один плюс эф от икс два дельта икс два плюс  и так далее плюс эф от икс катое дельта икс катое  плюс и так далее плюс эф от икс энное минус один дельса икс энное минус один).

Найдём предел данной суммы при эн, стремящемся к бесконечности  .

При указанных условиях этот предел существует, его называют определённым интегралом от функции (игрек равно эф малое от икс) по отрезку а, би обозначают так:

Читается как «интеграл от а до бэ от икс дэ икс».

Числа а и бэ называются верхним и нижним пределами интегрирования.

Рассмотрим задачи, связанные с понятием определённого интеграла.

Задача 1

В декартовой системе координат (о икс игрек) дана фигура, ограниченная осью х (икс), прямыми х=а, х=бэ, где а меньше бэ, и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке а, бэ  функции (игрек равно эф малое от икс), назовём данную фигуру криволинейной трапецией. Найти площадь криволинейной трапеции.

Решение

1. Разобьём отрезок а, бэ (основание криволинейной трапеции) на эн равных частей с помощью точек (икс первое, икс второе и так до икс эн минус один).

2. Проведём соответствующие ординаты. Трапеция разбивается на эн узеньких столбиков.

3. Рассмотрим отдельно каждый столбик, то есть криволинейную трапецию в основании которой отрезок  (икс катое и икс катое плюс один)  и заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной (эф от икс катое).

4. Площадь прямоугольника равна произведению высоты (эф от икс катое) на основание (дельта икс катое), где (дельта икс катое) — длина отрезка (икс катое и икс катое плюс один).

5. Аналогично можно найти площадь каждого столбика.

Таким образом, площадь (эс) криволинейной трапеции приближённо равна площади (эс энное) — площади ступенчатой фигуры, составленной из эн прямоугольников.

Эта площадь равна:

Будем считать, что (а равно икс нулевое),бэ равно икс энное, (дельта икс нулевое) — длина отрезка (икс нулевое и икс первое), (дельта икс один) — длина отрезка (икс первое и икс второе) и так далее.

Тогда эс приближённо равно эс энное, причём равенство тем точнее, чем больше эн.

Принято считать, что искомая площадь — это предел последовательности эс энное при эн стремящемся к бесконечности:

Урок «Понятие определённого интеграла»

По определению определённого интеграла запишем:

 эс равно интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс, эс-площадь криволинейной трапеции.

В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.

Задача 2

Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке х (икс) вычисляется по формуле   (пэ равно пэ от икс). Найти массу стержня.

Решение

1. Из курса физики известно, что масса тела равна произведению плотности на объём (если речь идёт о плоской пластине, то вместо объёма берут площадь; если речь идёт о прямолинейном стержне, то вместо объёма берут длину).

Разобьём отрезок а, б на эн равных частей.

2. Рассмотрим катый участок отрезка (икс катое и икс катое плюс один), будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, как например, в точке (икс катое).

Итак, (пэ равно пэ от икс катое).

3.Найдём приближённое значение массы mk(эм) катое катого участка

(эм катое приближённо равно произведению пэ от икс катое на дельта икс катое), где (дельта икс катое) — длина отрезка (икс катое и икс катое плюс один).

4.Найдём приближённое значение массы стержня, оно равно сумме масс каждого ка-того участка:, где

5.Точное значение массы стержня можно вычислить как предел этой суммы:

По определению определённого интеграла запишем:

 (эм равно интеграл от а до б пэ от икс дэ икс), в этом заключается физический смысл определённого интеграла.

Урок «Понятие определённого интеграла»

Задача 3

По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой (вэ равно вэ от тэ), пусть >0 (вэ от тэ больше нуля). Найти перемещение точки за промежуток времени .

Решение

1.Данная задача решается аналогично предыдущим.

Найдите приближённое значение перемещения эс самостоятельно.

2.Точное значение перемещения вычисляется как предел суммы эс энное:

3.Таким образом, перемещение эс малое точки, движущейся по прямой со скоростью вэ равно вэ от тэ, за промежуток времени  от тэ нулевое, равно а до тэ равно бэ, по определению определённого интеграла вычисляется по формуле:(эс равно интеграл от а до бэ вэ от тэ дэ тэ).

В этом заключается ещё один физический смысл определённого интеграла.

Разберём задачу, применяя полученные знания.

Точка движется прямолинейно, её скорость выражается формулой (вэ равно один плюс два тэ). Найти закон движения, если известно, что в момент времени (тэ равно двум) координата точки равнялась пяти.

Решение

1.Применим физический смысл интеграла и вычислим интеграл от (вэ равно один плюс два тэ):

Разобьём интеграл суммы на сумму интегралов и вычислим их раздельно с помощью таблицы интегралов:

Таким образом, закон движения эс равен тэ плюс тэ в квадрате плюс це. Осталось найти це.

2.По условию, в момент времени (тэ равно двум) координата точки равнялась пяти. В данное уравнение вместо эс подставим 5, вместо тэ подставим 

Урок «Понятие определённого интеграла»

Решая полученное уравнение, находим, что це равно минус единице.

3.Закон движения запишем в виде: эс равно тэ плюс тэ в квадрате минус один.

Автор
Дата добавления 16.11.2014
Раздел Алгебра
Подраздел Видеоурок
Просмотров1348
Номер материала 1070
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.