Матричная экспонента и векторное решение однородного уравнения

Векторное решение однородного уравнения

Пусть система линейных однородных дифференциальных уравнений задана в векторной форме:

Если уравнение записано в форме однородного дифференциального уравнения n-го порядка и его характеристический многочлен имеет различные корни, то общее решение представляется суммой n частных решений с экспоненциальными базовыми функциями:

где - константы, определяемые начальными условиями.

Можно предположить, что векторное уравнение, представляющее общее решение, имеет аналогичную форму

.

Для выяснения вопроса, что есть в таком представлении и , подставим частное решение в уравнение:

Отсюда видно, что будет частным решением, если будут собственным значением и собственным вектором матрицы A.

Таким образом, если матрица A имеет собственные значения и векторы , k=1,2,…,n, то общее решение однородного векторного уравнения после ряда эквивалентных преобразований предстанет в следующем виде:

.

Используя значение решения при t=0, находим . Таким образом, общее решение однородного векторного уравнения имеет следующий вид: .

Матричная экспонента выражается через проекторы и собственные значения матрицы по формулам спектрального разложения:

.

После подстановки X в решение вместо экспоненты получим:

.

В случаях, когда собственные значения и векторы найти не удается, матричную функцию можно разложить в ряд по степеням матрицы:

,

что позволяет численно получать многомерный переходной процесс, если ряд сходится.

Матричный ряд сходится, если существует предел последовательности частичных сумм. Достаточным условием является сходимость ряда из норм членов степенного матричного ряда. Используя, например, признак сходимости Даламбера ряд, представляющий матричную экспоненту, сходится, если существует и меньше единицы предел отношения

,

где R - радиус сходимости.

Объем вычислительной работы при оцифровке многомерного переходного процесса существенно зависит от числа членов в матричном ряде. Для повышения скорости сходимости применяют различные аппроксимации этого ряда. В частности, для экспоненты широко используются аппроксимации отрезков ряда дробно-рациональными функциями Падэ вида:

.

Так, матричная экспонента для трех и четырех членов имеет вид:

В свете приведенных разложений матричной экспоненты общее решение линейного векторно-матричного дифференциального уравнения приближенно можно вычислить по формуле:

.

3. Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Познакомившись с общим подходом к построению решений линейных векторных дифференциальных уравнений, покажем теперь, как получаются решения неоднородных уравнений.

Представим исходное уравнение с неоднородностью, локализованной в правой части уравнения, и умножим обе части уравнения на матричную экспоненту :

.

Обращаясь к правилам дифференцирования векторно-матричных выражений, приведенных выше, несложно заметить, что слева от знака равенства находится производная от произведения матричной экспоненты на вектор y:

.

Сделаем соответствующую замену и проинтегрируем левую и правую части по независимой переменной t:

.

Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Формула общего решения в своей нотации точно соответствует случаю скалярного уравнения. При невозможности аналитического решения переходный процесс можно вычислить по точкам, заменив непрерывное время дискретным с шагом , где R - радиус сходимости степенного матричного ряда с матрицей :

.

В интеграле можно заменить независимую переменную на дискретную с тем же шагом, что и при разложении экспоненты: , тогда, применяя метод интегрирования по правилу прямоугольников и обозначая матричную экспоненту на k-том шаге через , получим

.

Удобно из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно добиться, если найти в выражении для часть, которую можно заменить значением :

Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого - формула трапеций, или второго - формула парабол (Симпсона).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

.

4. Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

.

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

,

или относительно переменной :

.

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет:

,

где - постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:

Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

.

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:

Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:

Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

…

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

t	Аналитическое решение	Аппроксимация Падэ порядка 1	Аппроксимация Падэ порядка 2	Аппроксимация Падэ порядка 3
0	1	1	1	1	1	1	1	1
0.1	1.066	0.3475	1.0670	0.3483	1.0660	0.3475	1.066	0.3475
0.2	1.072	-0.2023	1.0740	-0.2018	1.0720	-0.2023	1.072	-0.2023
0.3	1.029	-0.6434	1.0320	-0.6440	1.0290	-0.6434	1.029	-0.6434
0.4	0.9478	-0.9755	0.9513	-0.9778	0.9478	-0.9755	0.9478	-0.9755
0.5	0.8380	-1.203	0.8420	-1.207	0.8380	-1.203	0.8380	-1.203
0.6	0.7103	-1.335	0.7145	-1.341	0.7102	-1.335	0.7102	-1.335
0.7	0.5737	-1.383	0.5779	-1.391	0.5737	-1.383	0.5737	-1.383
0.8	0.4360	-1.360	0.4398	-1.369	0.4360	-1.360	0.4360	-1.360
0.9	0.3035	-1.280	0.3068	-1.290	0.3035	-1.280	0.3035	-1.280
1.0	0.1814	-1.156	0.1839	-1.167	0.1814	-1.156	0.1814	-1.156

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5-6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

.

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

t	Точное решение	Интегрирование по формуле прямоугольников	Интегрирование по формуле трапеций	Интегрирование по формуле парабол
0	1	1	1	1	1	1	1	1
0.1	1.16576	0.328872	1.16422	0.302569	1.16514	0.330031	1.16576	0.328872
0.2	1.26681	-0.271328	1.26234	-0.318851	1.26567	-0.269062	1.26680	-0.271346
0.3	1.31004	-0.785828	1.30176	-0.849621	1.30849	-0.782554	1.31125	-0.802579
0.4	1.30354	-1.20604	1.29100	-1.28147	1.30167	-1.20189	1.30354	-1.20605
0.5	1.25599	-1.52886	1.23917	-1.61178	1.25389	-1.52399	1.25944	-1.55740
0.6	1.17619	-1.75579	1.15542	-1.84257	1.17395	-1.75039	1.17618	-1.75580
0.7	1.07265	-1.89209	1.04854	-1.97973	1.07033	-1.88633	1.07991	-1.92961
0.8	0.953246	-1.94585	0.926640	-2.03193	0.950907	-1.93991	0.953243	-1.94586
0.9	0.825009	-1.92713	0.796891	-2.00986	0.822699	-1.92120	0.837584	-1.97248
1.0	0.693974	-1.84722	0.665412	-1.92534	0.691726	-1.84145	0.693977	-1.84722

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.