Уроки математики / Статья / Выступление на районном методическом объединении учителей математики «ЕГЭ. Математика. Задание № 15»

Выступление на районном методическом объединении учителей математики «ЕГЭ. Математика. Задание № 15»

Государственное казенное общеобразовательное учреждение

«Казачий кадетский корпус»

В 2015 году ЕГЭ по математике впервые проводился на двух уровнях. Участник экзамена имел право самостоятельно выбрать любой из уровней, либо оба уровня в зависимости от своих образовательных запросов, а также перспектив продолжения образования. Для поступления в высшие учебные заведения на специальности, где математика является одним из вступительных требований, абитуриент был должен выполнить экзаменационные требования на профильном уровне. Для поступления на специальности, не связанные с математикой, а также для получения аттестата о среднем полном образовании достаточно выполнения аттестационных требований на базовом уровне.

Экзамен на профильном уровне сдавали около 70% всех участников по математике, на базовом уровне – около 60%. Успешность выполнения заданий базового уровня сложности составляет 40 – 90%.

Успешность выполнения заданий повышенного уровня сложности составляет 30 – 50%. Наилучшие показатели при решении уравнений или вычислении значений выражений. Трудности вызывают задания на применение стереометрии при решении практических задач. Успешность выполнения заданий этого блока свидетельствует о том, что около трети выпускников хорошо овладели программой по математике основной и старшей школы и готовы к продолжению обучения в высших профессиональных учебных заведениях.

К повышенному уровню относятся задание 15 (около 40% участников получили хотя бы 1 балл, полный балл получили около 35%) – уравнение с отбором корней; задание 17 (около 20% получили максимальный балл) – неравенство; задание 19 (максимальный балл – около 7%) – задача с экономическим содержанием. К заданиям высокого уровня относятся задания 20 и 21 – задача с параметром и задание на умение строить и исследовать математические модели.

Успешность выполнения заданий с развернутым ответом свидетельствует о том, что более четверти участников экзамена владеют на хорошем уровне программой по математике за курс основной и старшей школы и могут письменно оформить результаты своих рассуждений. В целом подавляющая часть участников экзамена сделали осознанный и успешный выбор сдачи экзамена. Высокие баллы по математике профильного уровня (81–100 тестовых баллов) в 2015 году получили 1,63% участников экзамена (в 2014 году – 1,07%).

Работа в 2015 г. состояла из двух частей и содержала 21 задание. В 2016 году. Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом. В целом структура работы полностью сохранена, но с некоторыми изменениями в позициях, например, задание № 17 перемещено на позицию задания № 15.

В 2015 году успешность решения задания № 17 зависела от:

  • умение использовать метод введения вспомогательной переменной для решения неравенств;

  • умение применять метод интервалов;

  • владение тождественными преобразованиями рациональных выражений, а также показательных и логарифмических выражений и умения оценить равносильность этих преобразований;

  • владение понятием области допустимых значений неравенства, системы неравенств, совокупности неравенств, в данном случае связанной со свойствами дробно-рациональной функции;

  • знание свойств показательной и логарифмической функций;

  • понимание смысла системы неравенств как логической операции «конъюнкции» и совокупности неравенств как логической операции «дизъюнкция» и др.

Следует снова отметить, что за задание 17 около 20% получили максимальный балл.

В 2015 году в различных вариантах КИМов можно было встретить следующие формулировки задания № 17:

Согласно спецификации заданий ЕГЭ по математике профильного уровня в 2016 году задание 15 практически полностью совпадает с заданием 17 в 2015 году

Коды проверяемых элементов по Кодификатору

Подробнее о пункте 2.2

Глядя на задания прошлых лет, надо отдать должное составителям, поскольку при решении неравенств в заданиях №17 в диагностических, тренировочных, репетиционных работах и в итоговых вариантах ЕГЭ в основном было достаточно использования стандартных методов. К таковым методам можно отнести:

  • метод равносильных переходов;

  • решение неравенства на промежутках;

  • метод замены;

  • обобщенный метод интервалов.

Кроме того, в ряде репетиционных работ для решения неравенств использовались нестандартные методы:

  • метод рационализации;

  • метод оценки, в частности, использование классических неравенств.

Среди перечисленных методов особое внимание можно уделить следующим методам:

1. Обобщенный метод интервалов. Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция, а в правой - 0.

2. Найти область определения функции.

3. Найти нули функции, то есть – решить уравнение (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения и записать ответ.

Пример 1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство

Решение:

Рассмотрим функцию

Область определения функции

Нули функции

Значит,

Таким образом, количество целочисленных решений 8.

Ответ: 8.

Пример 2. Решить неравенство

Решение:

Рассмотрим функцию

Область определения

Нули функции

С учётом области определения,.

Определим знаки функции на полученных интервалах

Значит, . Ответ:

2. Метод замены переменной. Суть метода заключается в том, чтобы одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные, заменить на новую переменную.

Пример 3. Решите неравенство: 

Решение:

Пусть t = 3x, тогда:

 

 

Тогда либо , откуда , либо , откуда 

 

Ответ: 

Пример 4. Решите неравенство: 

Решение:

Пусть  получаем:

 

 

Вернёмся к исходной переменной:

 

 

Таким образом, решение исходного неравенства 

 

Ответ: 

3. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение Gx, при которой неравенство Gx0 равносильно неравенству Fx0 в области определения выражения.

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f , g, h, p, q - выражения отпеременной х (h 0, h 1; f 0, g 0) , а – фиксированное число (a 0,a 1) .

Пример 5. Решите неравенство

Решение:

;

Воспользуемся утверждением

Пусть

Таким образом, для всех

+ - + - +

-1 0 3 х

Ответ:

Пример 6. Решите неравенство: 

Решение:

Область допустимых значений неравенства задается соотношениями:

 

 

На области допустимых значений справедливы равносильности:

 

 

Поэтому на ОДЗ имеем:

 

С учетом ОДЗ получаем ответ.

Ответ: 

Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом. Задание 15 (=17 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

 Содержание критерия, задание 15 (=17 в 2015)

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки ….(граничных точек….),

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Задание этого типа (различного рода неравенства) является, пожалуй, наиболее простым с точки зрения выставления баллов за его выполнение. Дело в том, что это - «половина» от прежнего трехбалльного задания С3. Грубо, 1 балл здесь – это не «наполовину» решенная задача, а практически полностью решенная задача с проколами и неточностями на уровне 1-2 граничных точек из верного ответа.

Трактовка второй части критерия на 1 балл тут такая же, как и в задании 13(=15), см. контрольные вопросы к этому заданию. Сюда же попадают и те редкие случаи, когда ошибка допущена при переписывании условия в свой бланк, а далее приведено полное решение (формально, другой) задачи.

Обращаем внимание и на формулировку «…получен верный ответ…». Она позволяет выставлять полный балл в тех случаях, когда в тексте решения получены верные ответы, но в финальной строчке «Ответ» допущены описки, пропуски и т.п.

Как и выше, не следует ограничивать проверку до формального сличения ответа из работы с верным. Наконец, подчеркнем, что само отсутствие в решении слов ОДЗ (или чего-то аналогичного) не может служить основанием для снижения оценки. Снижать следует за неучёт ограничений вытекающих из условия задачи.

ВАРИАНТ 1

Решите неравенство .

Решение. Пусть , тогда неравенство примет вид:

; ,

откуда ; .

При получим: , откуда .

При получим: , откуда .

Решение исходного неравенства: ; .

Ответ: ; .

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 0,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

ВАРИАНТ 2

Решите неравенство .

Ответ: ; .

Пример решения выпускником 1.

Комментарий. Замечаний, в целом, нет. Обращаем внимание, что ОДЗ в начале «не дорешена» до значений : это сделано перед самым ответом.

Оценка: 2 балла.

Пример решения выпускником 2.

Комментарий. Типичное применение второй части критерия на 1 балл.

Оценка: 1 балл.

Пример решения выпускником 3.

Комментарий. «Почти» решенная задача, но в решающий момент неадекватное использование метода интервалов.

Оценка: 0 баллов

Рекомендации по работе с учащимися, планирующими выполнение экзаменационной работы на профильном уровне

Для учащихся, которые могут успешно освоить курс математики средней (полной) школы на базовом уровне, образовательный акцент должен быть сделан на полное изучение традиционных курсов алгебры и начал анализа и геометрии на базовом уровне. Помимо заданий базового уровня в образовательном процессе должны использоваться задания повышенного уровня. Количество часов математики должно быть не менее 5 часов в неделю.

Для учащихся, которые могут успешно освоить курс математики полной (средней) школы на профильном (повышенном) уровне, образовательный акцент должен быть сделан на полное изучение традиционных курсов алгебры и начал анализа и геометрии на профильном уровне. Количество часов математики должно быть не менее 6–7 часов в неделю.

В первую очередь нужно выработать у обучающихся быстрое и правильное выполнение заданий части 1, используя, в том числе и банк заданий экзамена базового уровня. Умения, необходимые для выполнения заданий базового уровня, должны быть под постоянным контролем.

Задания с кратким ответом (повышенного уровня) части 2 должны находить отражение в содержании математического образования, и аналогичные задания должны включаться в систему текущего и рубежного контроля.

В записи решений к заданиям с развернутым ответом нужно особое внимание обращать на построение чертежей и рисунков, лаконичность пояснений, доказательность рассуждений.

Следует обратить особое внимание на выбор уровня экзамена, рекомендуя учащимся, которые неуверенно решают 6 заданий с кратким ответом сдачу экзамена на базовом уровне вместо профильного, а тем, кто решает 6–10 заданий – сдачу экзамена базового уровня, наряду с профильным.

При подготовке, с учетом увеличения веса заданий с полным решением, следует обратить дополнительное внимание на эти задания. В частности, для учащихся с не очень высоким уровнем подготовки, следует рекомендовать обратить особое внимание на задание 13, и первые пункты заданий 14, 16 и 19.

При подготовке выступления использовались следующие источники:

  1. http://alexlarin.net/ege/2015/17_2015.html - Образцы заданий 17 ЕГЭ 2015 с критериями;

  2. Унифицированные учебные материалы для подготовки экспертов предметных комиссий ЕГЭ 2016 года. Математика (профильный уровень). Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки. Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Федеральный институт педагогических измерений», 2016;

  3. http://fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory - Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ 2016. Математика.

  4. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике. И.В. Ященко,

  5. А.В. Семенов, И.Р. Высоцкий. Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Федеральный институт педагогических измерений», 2015;

  6. http://down.ctege.info/ege/2015/zadaniya/matem/matem2015tipichnye-oshibki17.pdf -Типичные ошибки при решении задания № 15 ЕГЭ по математике 2015.

  7. Математика ЕГЭ 2014. Решение неравенств с одной переменной (типовые задания С3)

  8. Прокофьев А.А. Корянов А.Г., 2013;

  9. http://semenova-klass.moy.su/_ld/0/75__3__1.ppt - Примеры решений логарифмических неравенств.

  10. http://mathus.ru/math/ege17.pdf - Логарифмические уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике.

  11. http://mathus.ru/math/ege17p.pdf - Логарифмические уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике.

  12. Сергеев И. Н., Панфёров В. С. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. – 4 изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2013. – 80 с.;

  13. http://k853.ru/doc/Intervals.doc - Обобщённый метод интервалов при решении неравенств. Преподаватели ГОУ СОШ № 853. Белов А.И., Фадеичева Т.П.;

  14. http://mathb.reshuege.ru/ - Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.

16

Автор
Дата добавления 31.10.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Статья
Просмотров106
Номер материала 4749
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.