Карточки-задания по решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 1

Решите уравнение: а) 3^{4х – 7} = 1

(Указание: а⁰ = 1, поэтому можно заменить единицу числом 3⁰).

б) 7^{2х -3} = 49. в) = 1. г) (^{2х – 3} = 7 ^{2 – 3х} (указание: а ^{– м} = (1/а)^м применяя эту формулу, получаем 7^{2-3х = 3х-2}. Попытайтесь решить это уравнение, преобразовав его левую часть.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 2

Решите уравнение: 3^{2х – 1} – 3^2х + 3^{2х + 3} = 237.

Это уравнение решается способом вынесения общего множителя за скобки. За скобки выносится член с наименьшим показателем степени: 3^{2х – 1}. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель. Деление выполняется по правилу: a^m : aⁿ = a ^{m – n}. Производим деление: 1) 3^2х-1:3^2х-1=1; 2) 3^2х : 3^2х-1=3^{2х – (2х-1)}= 3^{2х – 2х +1}= 3;

3) 3^2х+3:3^2х-1=3^2х+3-2х+1=3⁴=81. Запишем результат: 3^2х-1(1 – 3 + 81) = 237. Произведем действия, заключенные в скобки 3^2х-179 = 237. Разделим обе части уравнения на 79, получим 3^2х-1=3, откуда 2х – 1 = 1; х = 1. Ответ: х = 1.

Решите самостоятельно уравнения:

5^{х + 1} + 5^х + 5^{х – 1} = 155; 2^х – 2 ^{х – 2} = 3.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 3

Решите уравнение 2^2х - 5^. 2^х – 24 = 0 по следующему образцу:

Рассмотрим решение уравнения 3 ^2х – 10 ^. 3^х + 9 = 0 1) заменим 3^х = у, тогда 3^2х = (3^х)² = у²; 2) уравнение приводится к виду у² – 10у + 9 = 0, корни которого у₁ = 1; у₂ = 9; 3) получаем совокупность двух показательных уравнений простейшего вида: 3^х = 1; 3^х = 9; 4) решим показательное уравнение 3^х = 1. Так как 1 = 3⁰, то 3^х = 3⁰, откуда х = 0; 5) решим показательное уравнение 3^х = 9. Так как 9 = 3², то 3^х = 3², откуда х = 2. Ответ: х = 0 и х = 2. Сделайте проверку корней.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 4

Рассмотрим решение уравнения 2 ^. 2^х + 4^х = 80: 1) 4^х = 2^2х; 2) 2^. 2^х+ 2^2х = 80; 3) 2^х = у, 2^2х =у^2; 4) 2у + у² = 80, у² + 2у -80 = 0, у₁ = -10; у₂ = 8; 5) 2^х = -10 – не имеет решения, так как 2^х > 0 при любом значении х; 6) 2^х = 8; 2^х = 2³; х = 3.

По этому образцу решите самостоятельно уравнение 4^х + 3^. 2^х – 4 = 0.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений К – 5

1. Решите уравнение: 4^{х + 1,5} – 2^х = 1. Указание: 1) преобразуем член уравнения 4^{х + 1,3} = 2^2(х+1,5)=2^{2х + 3}= 2^{2х .} 2³ = 8^. 2^2х; 2) получаем уравнение 8^. 2^2х – 2^х – 1 = 0. Способ вынесения общего множителя не годится. Почему? Данное показательное уравнение сводится к квадратному путем введения вспомогательного переменного. Закончите решение примера.

2. Решите уравнение: 2^2х – 5^. 2^х+1 + 16 = 0. Указание: 1) замените 2 ^{х + 1}=2^х.2, тогда 5^. 2 ^х+1= 10^. 2^х; 2) приведите данное уравнение к квадратному заменой переменной 2^х =у.

3. Решите уравнение 3^{х + 2} + 3 ^{2х + 2} – 810 = 0. Указание: уравнение заменой переменного приводится к квадратному.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических уравнений К – 1

Рассмотрим решение уравнения loq ₄(x – 1) = loq ₄(5 – x) Область определения находится из системы неравенств: х – 1 > 0 и 5 – x > 0, откуда x > 1 и x < 5, значит 1< x < 5. Из равенства loq ₄(x – 1) = loq ₄(5 – x) следует, что х – 1 = 5 – х; 2х = 6, х = 3 входит в область определения. Ответ: х = 3.

Решите самостоятельно уравнение: loq ₃ (2x – 1) = loq ₃ (x + 3).

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических уравнений К – 2

Решите уравнение loq ₃ (x ² – 6x + 17) = 2. Указание: 1) Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство x ² – 6x + 17 > 0; 2) замените 2 на loq ₃ 9; 3) решите уравнение loq ₃ (x ² – 6x + 17) = loq ₃ 9; 4) проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область определения; 5) запишите ответ.

Решить это уравнение можно иначе: сначала уравнение x ² – 6x + 17 = 9 решить без нахождения области определения, а затем проверить полученные корни. Если при подстановке значения переменной х получается истинное равенство, то это значение х является корнем данного уравнения.

Решите самостоятельно уравнение loq _1/3 (x² + 8x ) = -2.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 1

Решите неравенство 5^х 25. План и примерное оформление решения:

1. Представьте число 25 как значение показательной функции у = 5^х, то есть как степень с основанием 5: 25 = 5²; 5^х 5².

2. Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая) у = 5^х, сравнив основание 5 с единицей: у = 5^х возрастающая, так как 5 1.

3. Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции (5^х 5²), определите соотношение между аргументами: у = 5^х возрастает, и 5^х 5² : следовательно х 2.

4. Запишите решение полученного простейшего неравенства х 2: Ответ: х ]2; ∞[.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 2

Решите неравенство (2/3)^х > 8/27. План и примерное оформление решения:

1. Представьте число 8/27 как значение показательной функции у = (2/3)^х, то есть как степень с основанием 2/3: 8/27 = (2/3)³; (2/3) ^х > (2/3)³.

2. Определите характер монотонности функции у = (2/3) ^х (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 2/3 с единицей: у = (2/3) ^х – убывающая, так как (2/3) < 1.

3. Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами: у = (2/3) ^х – убывающая: следовательно, х < 3.

4. Запишите решение полученного простейшего неравенства х < 3: Ответ: х∈ ]-∞; 3[.

Решите неравенство (1/2)^х < 1/16.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 3

Решите неравенство (3/4)^х 4/3. План и примерное оформление решения:

1) Представьте число 3/4 как значение показательной функции у = (3/4)^х, то есть как степень с основанием 3/4: 4/3 = (3/4)^{- 1}; (3/4) ^х (3/4)^{- 1}.

2) Определите характер монотонности функции у = (3/4) ^х (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 3/4 с единицей: у = (3/4) ^х – убывающая, так как (3/4) < 1.

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами: у = (3/4) ^х – убывающая: следовательно, х -1.

4) Запишите решение полученного простейшего неравенства х -1: Ответ: х∈ [-1; ∞[.

Решите неравенство (7/2)^х 2/7.

Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств К – 4

Решите неравенство 12^х 1/12. План решения:

1) Представьте число 1/12 как значение показательной функции у = 12^х.

2) Определите характер монотонности функции у = 12^х.

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами.

4) Запишите решение полученного простейшего неравенства.

Решите неравенство 2,5^х < 2/5.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 1

Решите неравенство loq ₄ x < 3. План и примерное оформление решения:

1. Представьте правую часть неравенства (число 3) в виде значения логарифмической функции у = loq ₄ x, то есть как логарифм с основанием 4: 3 = loq ₄ 4³, тогда loq ₄ x < loq ₄ 4³.

2. Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq ₄ x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 4 с единицей: у = loq ₄ x – возрастающая, так как 4 > 1.

3. Определите соотношение между аргументами (х и 4³), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции. Укажите ОДЗ (loq): ]0; ∞[. у = loq ₄ x – возрастающая, и loq ₄ x < loq ₄ 4³; следовательно х < 4³ и х > 0.

4. Запишите решение полученной системы: ]0 ; 4³[. Ответ х∈ ]0; 64[.

Решите неравенство loq ₃ x > 2.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 2

Решите неравенство loq _1/2 x < 4. План и примерное оформление решения:

1) Представьте правую часть неравенства (число 4) в виде значения логарифмической функции у = loq _1/2 x, то есть как логарифм с основанием 1/2: 4 = loq _1/2 (1/2)⁴, тогда loq _1/2 x < loq _1/2 (1/2)⁴.

2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq _1/2 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/2 с единицей: у = loq _1/2 x – убывающая, так как 1/2 < 1.

3) Определите соотношение между аргументами (х и (1/2)⁴), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции. Укажите ОДЗ (loq): ]0; ∞[. у = loq _1/2 x – убывающая, и loq _1/2 x < loq _1/2 (1/2)⁴; следовательно х > (1/2)⁴ и х > 0.

4) Запишите решение полученной системы: ]1/16 ; ∞ [. Ответ х∈ ]1/16; ∞ [.

Решите неравенство loq _1/2 x > 2.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 3

Решите неравенство а) loq ₅ x < 1; б) loq ₅ > 4.

План решения:

1) Представьте правую часть неравенства в виде значения логарифмической функции у = loq ₅ x, то есть как логарифм с основанием 5.

2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq ₅ x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 5 с единицей.

3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.

4) Запишите ответ данного неравенства.

Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических неравенств К – 4

Решите неравенство а) loq _1/8 x < 1/3; б) loq _1/8 > 1.

План решения:

1) Представьте правую часть неравенства в виде значения логарифмической функции у = loq _1/8 x, то есть как логарифм с основанием 1/8.

2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq _1/8 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/8 с единицей.

3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.

4) Запишите ответ данного неравенства.

Карточка – инструкция по теме «Метод интервалов»

Пусть дано неравенство вида (х – х₁₎(х – х₂)(х – х₃)(х – х₄)…..(х – х_n) > 0, где f(x) =(х – х₁₎(х – х₂)(х – х₃)(х – х₄)…..(х – х_n) – многочлен.

Корнями выражения, стоящего в левой части неравенства будут х₁, х₂, х₃, х₄, …х_n-1, x_n. Расположим их в порядке возрастания и отложим на числовой прямой.

х₁ х₂ х₃ х_n-1 x_n

Вся числовая прямая этими корнями будет разбита на промежутки, где справа располагаются все числа, большие, чем наименьший корень. В каждом из этих интервалов многочлен (в силу своей непрерывности) имеет определенный знак, одинаковый для каждой точки данного интервала. При переходе из интервала в интервал, то есть при переходе х через одно из значений х₁, х₂, х₃, х₄, …х_n-1, x_n , знак многочлена меняется. Таким образом, достаточно установить знак многочлена в одном из таких интервалов.

Рассмотрим решение неравенства (х – 3)(х + 2)(х – 5) > 0.

Корнями многочлена с одной переменной (х – 3)(х + 2)(х – 5) являются значения переменной, при которых значения переменной при которых значение многочлена равно нулю. Значит, для нахождения корней данного многочлена нужно решить уравнение (х – 3)(х + 2)(х – 5) = 0. В левой части этого равенства – произведение трех множителей. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравнивая к нулю отдельно каждый из множителей, получаем три корня: х – 3 = 0; х = 3; х + 2 = 0; х = -2; х – 5; х = 5. Отметим эти точки значения на числовой прямой:

- + - +

- 2 3 5 они разобьют эту прямую на четыре промежутка, в каждом из которых многочлен имеет определенный знак. Наибольший корень х = 5. При всех значениях х > 5 многочлен будет положителен, так как каждый из множителей положителен.

Карточка – инструкция по теме

«Решение неравенств второй степени с одной переменной»

Неравенства вида а х² + b x + c > 0 и а х² + b x + c < 0, где а 0, называют неравенствами второй степени с одним неизвестным (а х2 + b x + c 0 – нестрогое неравенство).

Для решения неравенств второй степени рассмотрим расположение графика квадратичной функции у = а х² + b x + c относительно оси Ох.

Это расположение определяется двумя условиями: Знаком коэффициента а квадратичного трехчлена у = а х² + b x + c и значением дискриминанта D (D = b² – 4ac). От знака коэффициента а зависит направление «ветвей» параболы, если а < 0, то они направлены вниз. От знака дискриминанта D зависит положение параболы относительно оси Ох: если D > 0, то парабола имеет с осью Ох две точки (пересекает ось Ох в этих точках); если D = 0 – имеет одну общую точку (касается оси Ох в этой точке), если D < 0 – не имеет общих точек.

Рассмотрим решение неравенства: 6х² – 7х + 2 > 0. 1) находим дискриминант D = b² – 4ac. В нашем случае a = 6, b = -7, c = 2. D = 49 – 4^.6^.2 = 49 – 48 = 1; 2) находим корни квадратного трехчлена по формуле х = ; х₁ = ; х₂ = ; 3) покажем примерное расположение графика данной квадратичной функции относительно оси Ох; а) «ветви» параболы направлены вверх, так как а = 6 > 0. б) парабола пересекает ось Ох в двух точках, так как D = 1 > 0; точки пересечения ½ и 2/3; в) отметим точки пересечения параболы с осью Ох и наметим направление «ветвей» параболы. Эти точки разбивают прямую на три промежутка. В промежутке от ½ до 2/3 трехчлен 6х² – 7х + 2 отрицателен (парабола расположена под осью Ох), а в двух других положителен. Следовательно, решение неравенства 6х² – 7х + 2 > 0: х)

Решите неравенство 4х² – 4х + 15 < 0.

Повторение производной функции В – 1

1. Точка движется по закону S = t³ + 10, где S – расстояние в м; t – время в с. Найдите скорость движения точки в момент времени t = 2 с.

2. Найдите производную функции:

а) f (x) = a x² + b x + c;

б) f (x) = 5 x³ – 3 x + 6;

в) f (x) = x ^-2 – 4x;

г) f (x) =

д) f (x) = , x > 0;

е) f (x) =

ж) f (x) = cos 5t;

з) f (x) = sin kx;

и) f (x) = tq x – x;

к) f (x) = ctq (3ax).

Повторение производной функции В – 2

1. Пусть S(в м), пройденный точкой за t с, определяется уравнением S = 2t² – 3. Определите скорость движения через 2 с с момента начала движения.

2. Найдите производную функции:

а) f (x) = 3 x² – 6x + 10;

б) f (x) = 5 t⁴ + t² + 1/3;

в) f (x) = + 1/3;

г) f (x) = 0,4 ;

д) f (x) = ;

е) f (x) = 3x ^-2 – x^-1/2 + x;

ж) f (x) = sin (3ax);

з) f (x) = cos (a/x);

и) f (x) = tq (2x + 3);

к) f (x) = ctq ax.

Повторение производной функции В – 3

1. При каком значении t скорость точки, движущейся по закону S = t² - 4t + 5 равна 0?

2. Найти производную функции:

а) f (x) = x⁵ – ¼ x⁴ + 3,5 x² – x; б) f (x) = ¼ x⁴ – ½ x² + x + 1;

в) f (x) = ; г) f (x) = 6;

д) f (x) = 2; е) f (x) = ;

ж) f (x) = sinⁿ x; з) f (x) = cos ³ x²;

3. f (x) = tq x – x. Доказать, что .

4. y = ctq x. доказать, что .

5. Найти производную функции : f (x) = sin x cos x/2 + cos x sin x/2.

Повторение производной функции В – 4

1. Высота S (в м.), достигаемая в t с телом, брошенным вертикально вверх с начальной скоростью V₀ м/с, задается формулой S = V₀t - , где q = 10 м/c². а)Полагая V₀ = 100 м/с, найти скорость движения тела в конце второй секунды. б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки подъема?

2. Найти производную функции:

а) f (x) = 1/5 x³ – 1/3 x² – x + 0,5; б) f (x) = ;

в) f (x) = ; г) f (x) = 3 - 4;

д) f (x) = ; е) f (x) = x ^1,2 - ;

ж) f (x) = cos ⁿ x; з) f (x) = tq ⁿ bx;

3. y = - ctq x – x. Доказать, что ;

4. y = 2x + sin 2x. Доказать, что ;

5. Найти производную функции: f (x) = cos 2x – cos ² x + sin ² x + 1.