15.04.2017
2765
0
Бесплатно
Похожие материалы
Тестовая работа по теме " Логарифмические и показательные уравнения и неравенства" на три уровня
3699
Уроки математики / Самостоятельная работа / Карточки-задания по решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств
Карточки-задания по решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных уравнений К – 1
Решите уравнение: а) 34х – 7 = 1
(Указание: а0 = 1, поэтому можно заменить единицу числом 30).
б) 72х -3 = 49. в) = 1. г) (2х – 3 = 7 2 – 3х (указание: а – м = (1/а)м применяя эту формулу, получаем 72-3х = 3х-2. Попытайтесь решить это уравнение, преобразовав его левую часть.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных уравнений К – 2
Решите уравнение: 32х – 1 – 32х + 32х + 3 = 237.
Это уравнение решается способом вынесения общего множителя за скобки. За скобки выносится член с наименьшим показателем степени: 32х – 1. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель. Деление выполняется по правилу: am : an = a m – n. Производим деление: 1) 32х-1:32х-1=1; 2) 32х : 32х-1=32х – (2х-1)= 32х – 2х +1= 3;
3) 32х+3:32х-1=32х+3-2х+1=34=81. Запишем результат: 32х-1(1 – 3 + 81) = 237. Произведем действия, заключенные в скобки 32х-179 = 237. Разделим обе части уравнения на 79, получим 32х-1=3, откуда 2х – 1 = 1; х = 1. Ответ: х = 1.
Решите самостоятельно уравнения:
5х + 1 + 5х + 5х – 1 = 155; 2х – 2 х – 2 = 3.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных уравнений К – 3
Решите уравнение 22х - 5. 2х – 24 = 0 по следующему образцу:
Рассмотрим решение уравнения 3 2х – 10 . 3х + 9 = 0 1) заменим 3х = у, тогда 32х = (3х)2 = у2; 2) уравнение приводится к виду у2 – 10у + 9 = 0, корни которого у1 = 1; у2 = 9; 3) получаем совокупность двух показательных уравнений простейшего вида: 3х = 1; 3х = 9; 4) решим показательное уравнение 3х = 1. Так как 1 = 30, то 3х = 30, откуда х = 0; 5) решим показательное уравнение 3х = 9. Так как 9 = 32, то 3х = 32, откуда х = 2. Ответ: х = 0 и х = 2. Сделайте проверку корней.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных уравнений К – 4
Рассмотрим решение уравнения 2 . 2х + 4х = 80: 1) 4х = 22х; 2) 2. 2х+ 22х = 80; 3) 2х = у, 22х =у2; 4) 2у + у2 = 80, у2 + 2у -80 = 0, у1 = -10; у2 = 8; 5) 2х = -10 – не имеет решения, так как 2х > 0 при любом значении х; 6) 2х = 8; 2х = 23; х = 3.
По этому образцу решите самостоятельно уравнение 4х + 3. 2х – 4 = 0.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных уравнений К – 5
Решите уравнение: 4х + 1,5 – 2х = 1. Указание: 1) преобразуем член уравнения 4х + 1,3 = 22(х+1,5)=22х + 3= 22х . 23 = 8. 22х; 2) получаем уравнение 8. 22х – 2х – 1 = 0. Способ вынесения общего множителя не годится. Почему? Данное показательное уравнение сводится к квадратному путем введения вспомогательного переменного. Закончите решение примера.
Решите уравнение: 22х – 5. 2х+1 + 16 = 0. Указание: 1) замените 2 х + 1=2х.2, тогда 5. 2 х+1= 10. 2х; 2) приведите данное уравнение к квадратному заменой переменной 2х =у.
Решите уравнение 3х + 2 + 3 2х + 2 – 810 = 0. Указание: уравнение заменой переменного приводится к квадратному.
Карточка – инструкция по теме:
Решение логарифмических уравнений К – 1
Рассмотрим решение уравнения loq 4(x – 1) = loq 4(5 – x) Область определения находится из системы неравенств: х – 1 > 0 и 5 – x > 0, откуда x > 1 и x < 5, значит 1< x < 5. Из равенства loq 4(x – 1) = loq 4(5 – x) следует, что х – 1 = 5 – х; 2х = 6, х = 3 входит в область определения. Ответ: х = 3.
Решите самостоятельно уравнение: loq 3 (2x – 1) = loq 3 (x + 3).
Карточка – инструкция по теме:
Решение логарифмических уравнений К – 2
Решите уравнение loq 3 (x 2 – 6x + 17) = 2. Указание: 1) Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство x 2 – 6x + 17 > 0; 2) замените 2 на loq 3 9; 3) решите уравнение loq 3 (x 2 – 6x + 17) = loq 3 9; 4) проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область определения; 5) запишите ответ.
Решить это уравнение можно иначе: сначала уравнение x 2 – 6x + 17 = 9 решить без нахождения области определения, а затем проверить полученные корни. Если при подстановке значения переменной х получается истинное равенство, то это значение х является корнем данного уравнения.
Решите самостоятельно уравнение loq 1/3 (x2 + 8x ) = -2.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных неравенств К – 1
Решите неравенство 5х 25. План и примерное оформление решения:
Представьте число 25 как значение показательной функции у = 5х, то есть как степень с основанием 5: 25 = 52; 5х 52.
Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая) у = 5х, сравнив основание 5 с единицей: у = 5х возрастающая, так как 5 1.
Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции (5х 52), определите соотношение между аргументами: у = 5х возрастает, и 5х 52 : следовательно х 2.
Запишите решение полученного простейшего неравенства х 2: Ответ: х ]2; ∞[.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных неравенств К – 2
Решите неравенство (2/3)х > 8/27. План и примерное оформление решения:
Представьте число 8/27 как значение показательной функции у = (2/3)х, то есть как степень с основанием 2/3: 8/27 = (2/3)3; (2/3) х > (2/3)3.
Определите характер монотонности функции у = (2/3) х (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 2/3 с единицей: у = (2/3) х – убывающая, так как (2/3) < 1.
Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами: у = (2/3) х – убывающая: следовательно, х < 3.
Запишите решение полученного простейшего неравенства х < 3: Ответ: х∈ ]-∞; 3[.
Решите неравенство (1/2)х < 1/16.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных неравенств К – 3
Решите неравенство (3/4)х 4/3. План и примерное оформление решения:
1) Представьте число 3/4 как значение показательной функции у = (3/4)х, то есть как степень с основанием 3/4: 4/3 = (3/4)- 1; (3/4) х (3/4)- 1.
2) Определите характер монотонности функции у = (3/4) х (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 3/4 с единицей: у = (3/4) х – убывающая, так как (3/4) < 1.
3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами: у = (3/4) х – убывающая: следовательно, х -1.
4) Запишите решение полученного простейшего неравенства х -1: Ответ: х∈ [-1; ∞[.
Решите неравенство (7/2)х 2/7.
Карточка – инструкция по теме:
Решение показательных неравенств К – 4
Решите неравенство 12х 1/12. План решения:
1) Представьте число 1/12 как значение показательной функции у = 12х.
2) Определите характер монотонности функции у = 12х.
3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами.
4) Запишите решение полученного простейшего неравенства.
Решите неравенство 2,5х < 2/5.
Карточка – инструкция по теме:
Решение логарифмических неравенств К – 1
Решите неравенство loq 4 x < 3. План и примерное оформление решения:
Представьте правую часть неравенства (число 3) в виде значения логарифмической функции у = loq 4 x, то есть как логарифм с основанием 4: 3 = loq 4 43, тогда loq 4 x < loq 4 43.
Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 4 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 4 с единицей: у = loq 4 x – возрастающая, так как 4 > 1.
Определите соотношение между аргументами (х и 43), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции. Укажите ОДЗ (loq): ]0; ∞[. у = loq 4 x – возрастающая, и loq 4 x < loq 4 43; следовательно х < 43 и х > 0.
Запишите решение полученной системы: ]0 ; 43[. Ответ х∈ ]0; 64[.
Решите неравенство loq 3 x > 2.
Карточка – инструкция по теме:
Решение логарифмических неравенств К – 2
Решите неравенство loq 1/2 x < 4. План и примерное оформление решения:
1) Представьте правую часть неравенства (число 4) в виде значения логарифмической функции у = loq 1/2 x, то есть как логарифм с основанием 1/2: 4 = loq 1/2 (1/2)4, тогда loq 1/2 x < loq 1/2 (1/2)4.
2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 1/2 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/2 с единицей: у = loq 1/2 x – убывающая, так как 1/2 < 1.
3) Определите соотношение между аргументами (х и (1/2)4), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции. Укажите ОДЗ (loq): ]0; ∞[. у = loq 1/2 x – убывающая, и loq 1/2 x < loq 1/2 (1/2)4; следовательно х > (1/2)4 и х > 0.
4) Запишите решение полученной системы: ]1/16 ; ∞ [. Ответ х∈ ]1/16; ∞ [.
Решите неравенство loq 1/2 x > 2.
Карточка – инструкция по теме:
Решение логарифмических неравенств К – 3
Решите неравенство а) loq 5 x < 1; б) loq 5 > 4.
План решения:
1) Представьте правую часть неравенства в виде значения логарифмической функции у = loq 5 x, то есть как логарифм с основанием 5.
2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 5 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 5 с единицей.
3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.
4) Запишите ответ данного неравенства.
Карточка – инструкция по теме:
Решение логарифмических неравенств К – 4
Решите неравенство а) loq 1/8 x < 1/3; б) loq 1/8 > 1.
План решения:
1) Представьте правую часть неравенства в виде значения логарифмической функции у = loq 1/8 x, то есть как логарифм с основанием 1/8.
2) Рассмотрите логарифмическую функцию у = loq 1/8 x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/8 с единицей.
3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.
4) Запишите ответ данного неравенства.
Карточка – инструкция по теме «Метод интервалов»
Пусть дано неравенство вида (х – х1)(х – х2)(х – х3)(х – х4)…..(х – хn) > 0, где f(x) =(х – х1)(х – х2)(х – х3)(х – х4)…..(х – хn) – многочлен.
Корнями выражения, стоящего в левой части неравенства будут х1, х2, х3, х4, …хn-1, xn. Расположим их в порядке возрастания и отложим на числовой прямой.
х1 х2 х3 хn-1 xn
Вся числовая прямая этими корнями будет разбита на промежутки, где справа располагаются все числа, большие, чем наименьший корень. В каждом из этих интервалов многочлен (в силу своей непрерывности) имеет определенный знак, одинаковый для каждой точки данного интервала. При переходе из интервала в интервал, то есть при переходе х через одно из значений х1, х2, х3, х4, …хn-1, xn , знак многочлена меняется. Таким образом, достаточно установить знак многочлена в одном из таких интервалов.
Рассмотрим решение неравенства (х – 3)(х + 2)(х – 5) > 0.
Корнями многочлена с одной переменной (х – 3)(х + 2)(х – 5) являются значения переменной, при которых значения переменной при которых значение многочлена равно нулю. Значит, для нахождения корней данного многочлена нужно решить уравнение (х – 3)(х + 2)(х – 5) = 0. В левой части этого равенства – произведение трех множителей. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравнивая к нулю отдельно каждый из множителей, получаем три корня: х – 3 = 0; х = 3; х + 2 = 0; х = -2; х – 5; х = 5. Отметим эти точки значения на числовой прямой:
- + - +
- 2 3 5 они разобьют эту прямую на четыре промежутка, в каждом из которых многочлен имеет определенный знак. Наибольший корень х = 5. При всех значениях х > 5 многочлен будет положителен, так как каждый из множителей положителен.
Карточка – инструкция по теме
«Решение неравенств второй степени с одной переменной»
Неравенства вида а х2 + b x + c > 0 и а х2 + b x + c < 0, где а 0, называют неравенствами второй степени с одним неизвестным (а х2 + b x + c 0 – нестрогое неравенство).
Для решения неравенств второй степени рассмотрим расположение графика квадратичной функции у = а х2 + b x + c относительно оси Ох.
Это расположение определяется двумя условиями: Знаком коэффициента а квадратичного трехчлена у = а х2 + b x + c и значением дискриминанта D (D = b2 – 4ac). От знака коэффициента а зависит направление «ветвей» параболы, если а < 0, то они направлены вниз. От знака дискриминанта D зависит положение параболы относительно оси Ох: если D > 0, то парабола имеет с осью Ох две точки (пересекает ось Ох в этих точках); если D = 0 – имеет одну общую точку (касается оси Ох в этой точке), если D < 0 – не имеет общих точек.
Рассмотрим решение неравенства: 6х2 – 7х + 2 > 0. 1) находим дискриминант D = b2 – 4ac. В нашем случае a = 6, b = -7, c = 2. D = 49 – 4.6.2 = 49 – 48 = 1; 2) находим корни квадратного трехчлена по формуле х = ; х1 = ; х2 = ; 3) покажем примерное расположение графика данной квадратичной функции относительно оси Ох; а) «ветви» параболы направлены вверх, так как а = 6 > 0. б) парабола пересекает ось Ох в двух точках, так как D = 1 > 0; точки пересечения ½ и 2/3; в) отметим точки пересечения параболы с осью Ох и наметим направление «ветвей» параболы. Эти точки разбивают прямую на три промежутка. В промежутке от ½ до 2/3 трехчлен 6х2 – 7х + 2 отрицателен (парабола расположена под осью Ох), а в двух других положителен. Следовательно, решение неравенства 6х2 – 7х + 2 > 0: х)
Решите неравенство 4х2 – 4х + 15 < 0.
Повторение производной функции В – 1
Точка движется по закону S = t3 + 10, где S – расстояние в м; t – время в с. Найдите скорость движения точки в момент времени t = 2 с.
Найдите производную функции:
а) f (x) = a x2 + b x + c;
б) f (x) = 5 x3 – 3 x + 6;
в) f (x) = x -2 – 4x;
г) f (x) =
д) f (x) = , x > 0;
е) f (x) =
ж) f (x) = cos 5t;
з) f (x) = sin kx;
и) f (x) = tq x – x;
к) f (x) = ctq (3ax).
Повторение производной функции В – 2
Пусть S(в м), пройденный точкой за t с, определяется уравнением S = 2t2 – 3. Определите скорость движения через 2 с с момента начала движения.
Найдите производную функции:
а) f (x) = 3 x2 – 6x + 10;
б) f (x) = 5 t4 + t2 + 1/3;
в) f (x) = + 1/3;
г) f (x) = 0,4 ;
д) f (x) = ;
е) f (x) = 3x -2 – x-1/2 + x;
ж) f (x) = sin (3ax);
з) f (x) = cos (a/x);
и) f (x) = tq (2x + 3);
к) f (x) = ctq ax.
Повторение производной функции В – 3
При каком значении t скорость точки, движущейся по закону S = t2 - 4t + 5 равна 0?
Найти производную функции:
а) f (x) = x5 – ¼ x4 + 3,5 x2 – x; б) f (x) = ¼ x4 – ½ x2 + x + 1;
в) f (x) = ; г) f (x) = 6;
д) f (x) = 2; е) f (x) = ;
ж) f (x) = sinn x; з) f (x) = cos 3 x2;
3. f (x) = tq x – x. Доказать, что .
4. y = ctq x. доказать, что .
5. Найти производную функции : f (x) = sin x cos x/2 + cos x sin x/2.
Повторение производной функции В – 4
Высота S (в м.), достигаемая в t с телом, брошенным вертикально вверх с начальной скоростью V0 м/с, задается формулой S = V0t - , где q = 10 м/c2. а)Полагая V0 = 100 м/с, найти скорость движения тела в конце второй секунды. б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки подъема?
Найти производную функции:
а) f (x) = 1/5 x3 – 1/3 x2 – x + 0,5; б) f (x) = ;
в) f (x) = ; г) f (x) = 3 - 4;
д) f (x) = ; е) f (x) = x 1,2 - ;
ж) f (x) = cos n x; з) f (x) = tq n bx;
3. y = - ctq x – x. Доказать, что ;
4. y = 2x + sin 2x. Доказать, что ;
5. Найти производную функции: f (x) = cos 2x – cos 2 x + sin 2 x + 1.
Бесплатно
| Автор | |
|---|---|
| Дата добавления | 03.05.2017 |
| Раздел | Алгебра |
| Подраздел | Самостоятельная работа |
| Просмотров | 2620 |
| Номер материала | 3933 |