Уроки математики / Рабочая программа / Программа дополнительного образования по математике

Программа дополнительного образования по математике

ПРОГРАММА ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Некоторые методы и приемы нахождения площадей фигур »

Возраст учащихся – 14-16 лет

Срок реализации – 1 год.

Составитель: Казакова С.А. – учитель математики

г. Салехард

2015 год

Пояснительная записка

Статус документа

Программа курса «Некоторые методы и приемы нахождения площадей фигур» для 9-х классов составлена на основе федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования, примерной программы основного общего образования по математике.

Программа курса представляет собой расширенный, углубленный вариант изучения вопросов, связанных с решением задач на нахождение площадей плоских фигур в планиметрии, и включает темы, не нашедшие достаточного отражения в действующих базовых программах, но необходимые для успешной подготовки учащихся к экзамену.

Структура документа

Программа включает следующие разделы: пояснительную записку, основное содержание с распределением учебных часов, учебно-тематический план, требования к уровню подготовки обучающихся, список литературы. Содержание курса соответствует познавательным возможностям школьников, развивает их учебную мотивацию через опыт работы на уровне повышенных требований.

Общая характеристика учебного предмета

На протяжении веков геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Законы математического мышления формировались с помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов. Современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии. Огромна роль геометрии в математическом образовании учащихся. Известен вклад, который она вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учеников. Курс геометрии обладает также чрезвычайно важным нравственным моментом, поскольку именно геометрия даст представление о строго установленной истине, воспитывает потребность доказывать то, что утверждается в качестве истины. Таким образом, геометрическое образование является важнейшим элементом общей культуры.

Актуальность курса

Актуальность данного курса для учащихся 9-х классов обусловлена тем, что программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач, особенно на их частные случаи. Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это объясняется, прежде всего, тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение различных формул. Приобрести навык в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

Искусство же решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, в овладении определённым арсеналом приёмов и методов решения геометрических задач.

Методы решения геометрических задач обладают некоторыми особенностями, а именно: большое разнообразие, трудность формального описания, взаимозаменяемость, отсутствие чётких границ области применения.

Поэтому целесообразно рассмотреть применение подходов, приёмов, методов при решении конкретных задач.

Наличие таких знаний помогает подготовиться к успешной сдачи экзамена в формате ГИА.

Цели курса:

  • создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;

  • развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений;

  • расширение кругозора учащихся, повышение мотивации к изучению предмета;

  • стимулирование познавательного интереса, развитие творческих способностей;

  • развитие умения выделять главное, сравнивать, обобщать изученные факты;

  • закрепление теоретических знаний и развитие практических навыков и умений;

  • развитие графической культуры учащихся, развитие геометрического воображения и образного пространственного, логического мышления.

Задачи курса:

  • обобщить, систематизировать, углубить знания учащихся по планиметрии;

  • научить осознанному применению методов решения планиметрических задач;

  • обеспечить диалогичность процесса обучения математике;

  • способствовать формированию осознанных мотивов дальнейшего изучения математики на более углубленном уровне;

  • развивать интерес школьников к геометрии как важнейшей части математики;

  • побуждать желание выдвигать гипотезы о неоднозначности решения и аргументированно доказывать их;

  • формировать навыки работы с дополнительной научной литературой и другими сточниками информации;

  • научить учащихся применять аппарат алгебры к решению геометрических задач.

Место предмета в учебном курсе

Данный курс предназначен для организации внеурочной деятельности обучающихся 9 классов. Программа рассчитана на 34 часа.

Курс направлен на профильную подготовку по математике. Он расширяет и углубляет базовый курс по геометрии, является предметно ориентированным, дает возможность учащимся познакомиться с различными методами, приемами решения задач по геометрии, которые являются не только эффектными, но и эффективными.

Данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию знаний и умений по математике, даст возможность учащимся проанализировать свои способности к математической деятельности.

Планируемые результаты:

Личностные результаты:

· осознающий ценность образования и науки, труда и творчества для человека и общества;

· мотивированный на творчество и инновационную деятельность;

· готовый к сотрудничеству, способный осуществлять учебно-исследовательскую, проектную и информационно-познавательную деятельность;

· осознающий себя личностью;

· уважающий мнение других людей;

· умеющий вести конструктивный диалог, достигать взаимопонимания и успешно взаимодействовать;

· подготовленный к осознанному выбору профессии;

· мотивированный на образование и самообразование в течение всей своей жизни.

Метапредметные результаты:

· умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности;

· умение самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность;

· умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения;

· умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий в решении задач с соблюдением требований эргономики, техники безопасности, правовых и этических норм, норм информационной безопасности.

Предметные результаты включают предметные результаты изучения учебных предметов: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (базовый и углубленный уровень):

· владение основными понятиями о геометрических фигурах, их основных свойствах;

· умение строить чертежи, модели геометрических фигур;

· знание основных теорем, формул и умения их применять;

· формирование представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений;

· умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;

· применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием.

Формы изучения курса

Формы проведения занятий включают в себя лекции, практикумы и зачеты.

Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал дается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала проводится практикум по решению задач для закрепления изученного материала.

Занятия строятся с учётом цели построения системы дифференцированного обучения в современной школе. Выполнение заданий на практикумах осуществляется в три этапа- по модулям. Каждое задание базового уровня характеризуется пятью параметрами: элемент содержания; проверяемое умение; категория познавательной области; уровень трудности и форма ответа. Предусмотрены следующие формы ответа: с выбором ответа из четырех предложенных вариантов, с кратким ответом на соответствие.

В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные, рассчитанные на 5-10 минут, тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Такая форма работы обеспечивает эффективную обратную связь, позволяет учителю и ученикам корректировать свою деятельность.

Содержание программы

(34 часа)

Методы решения геометрических задач

Три основных метода решения геометрических задач: геометрический; алгебраический; комбинированный. Основные этапы решения задач.

Треугольники

Треугольники и их виды. Теорема Пифагора. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике. Теорема Чевы. Теорема Менелая. Подобные треугольники. Площадь треугольника. Различные формулы для вычисления площади треугольника.

Четырехугольники

Параллелограмм. Теоремы Вариньона и Гаусса. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Трапеция. Вписанные и описанные четырехугольники. Вычисление площадей четырехугольников с помощью формул.

Окружность и круг

Теорема Паскаля. Вневписанные окружности треугольника. Комбинации окружности с другими геометрическими фигурами. Окружности, вписанные и описанные около треугольника, применение формул. Площадь круга. Вычисление площади круга по формуле.

Многоугольники

Многоугольники. Правильные многоугольники. Вписанные и описанные окружности в правильные многоугольники. Длина окружности. Площадь правильного многоугольника. Вычисление площади многоугольников с помощью формул. Равновеликие и равносоставленные фигуры.

Дополнительные методы и приемы нахождения площадей фигур на плоскости

Метод опорного элемента. Метод площадей. Метода введения вспомогательного параметра, метод дополнительного построения. Использование свойств медиан, биссектрис и высот треугольника. Метод подобия. Применение тригонометрии (теоремы синусов и теоремы косинусов). Осевая симметрия. Метод разрезания и достраивания. Формула Пика. Выполнение тренировочных заданий.

Учебно-тематический план

занятия

Тема

Кол-во часов

Форма занятия

1

Методы решения геометрических задач

Три основных метода решения геометрических задач: геометрический; алгебраический; комбинированный.

1

Лекция

2

Основные этапы решения задач

1

Лекция

3

Треугольники

Треугольники и их виды. Площадь треугольника.

1

Лекция

4

Теорема Пифагора.

1

Практикум

5

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике. Теорема Чевы. Теорема Менелая.

1

Лекция

6

Подобные треугольники.

1

Лекция

7

Различные формулы для вычисления площади треугольника.

1

Практикум

8

Различные формулы для вычисления площади треугольника.

1

Практикум

9

Различные формулы для вычисления площади треугольника.

1

Практикум

10

Четырехугольники

Параллелограмм. Теоремы Вариньона и Гаусса.

1

Лекция

11

Прямоугольник . Квадрат. Ромб.

1

Лекция

12

Трапеция.

1

Лекция

13

Вычисление площадей четырехугольников с помощью формул.

1

Практикум

14

Вычисление площадей четырехугольников с помощью формул.

1

Практикум

15

Вычисление площадей четырехугольников с помощью формул.

1

Практикум

16

Вписанные и описанные четырехугольники.

1

Практикум

17

Окружность и круг

Теорема Паскаля. Вневписанные окружности треугольника.

1

Практикум

18

Комбинации окружности с другими геометрическими фигурами.

1

19

Окружности, вписанные и описанные около треугольника, применение формул.

1

Лекция

20

Площадь круга. Вычисление площади круга по формуле.

1

Лекция

21

Многоугольники

Многоугольники. Правильные многоугольники. Вписанные и описанные окружности в правильные многоугольники.

1

Лекция

22

Длина окружности. Площадь правильного многоугольника

1

Практикум

23

Вычисление площади многоугольников с помощью формул

1

Практикум

24

Равновеликие и равносоставленные фигуры.

1

Практикум

25

Дополнительные методы и приемы нахождения площадей фигур на плоскости

Метод опорного элемента. Метод площадей.

1

Практикум

26

Метода введения вспомогательного параметра, метод дополнительного построения.

1

Практикум

27

Использование свойств медиан, биссектрис и высот треугольника.

1

Практикум

28

Применение тригонометрии (теоремы синусов и теоремы косинусов).

1

Практикум

29

Осевая симметрия. Метод подобия

1

Практикум

30

Метод разрезания и достраивания.

1

Практикум

31

Формула Пика.

1

Практикум

32

Выполнение тренировочных заданий.

1

Тестирование

33

Выполнение тренировочных заданий.

1

Тестирование

34

Выполнение тренировочных заданий.

Тестирование

Итого

34

Коммуникационное обеспечение

Название сайта

Электронный адрес

Подготовка к ЕГЭ( ГИА) 2016 года

http://egefive.ru/

Информационная система «Единое окно доступа к образовательным ресурсам»

http: //www.window.edu.ru

Энциклопедии, справочники

http://nashol.com/

Подготовка к ОГЭ 2016

http://4ege.ru/

ФИПИ

http://www.fipi.ru/

Литература, использованная при подготовке программы

Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Основная школа. М.: Просвещение, 2011.

Примерные программы основного общего образования. Математика. М.: Просвещение. 2010.

Федеральная целевая программа развития образования на 2011—2015 гг.: [Электронный документ].

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. М.: Просвещение, 2010.

Федеральный закон от 29.12.2012 № 273-Ф1 «Об образовании в Российской Федерации».

Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий. Пособие для учителя / Под ред. А. Г. Асмолова. М.: Просвещение, 2010.

Фундаментальное ядро содержания общего образования / Под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондаков. М.: Просвещение, 2011.

Варшавский, И. К., Ганашвши, М. Я,, Глазков Ю. А. Планиметрия на едином государственном экзамене // Математика для школьников. - 2014.

Галицкий, М. Л., Голъдман, А. М., Звавич, Л. И. Курс геометрии 8 класса в задачах. - М., 2013

Гордин, Р. К. Планиметрия. 7-9 кл. - 2 изд., испр. - М.: МЦНМО, 2011

Звавич, Л. И., Аверьянов, Д. И. О работе в 10 классе с углубленным изучением математики // Математика в школе. - № 5.

Каганов, Э. Д. 400 самых интересных задач с решениями по школьному курсу математики для 6-11 классов. - М.: ЮНВЕС, 2010.

Киселев, А. П. Элементарная геометрия: книга для учителя. - М.: Просвещение, 1980.

Кущенко, В. С. Сборник конкурсных задач по математике с решениями. - Ленинград: Изд-во «Судостроение», 1965.

Планирование учебного материала для 7-9 кл. с углубленным изучением математики: методические рекомендации / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. - М., 2008..

Полонский, В., Рабинович, Е., Якир, М. Геометрия. 7-11 кл.: задачник к школьному курсу. - М.: АСТ-ПРЕСС, 1998.

Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1,2. - М.: Просвещение, 2010.

Черняк, А. А., Черняк, Ж. А.,Доманова, Ю. А. Подготовка к тестированию: геометрия. - СПб: БХВ-Петербург, 2009.

Шабунин, М. Математика для поступающих в вузы. -М.: Лаборатория базовых знаний, 1999.

Шарыгин, И. Ф. Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в вузы (2004-2010).

Шарыгин, И. Ф., Шарыгин, Д. И. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2011.

Шарыгин, И. Ф., Шарыгин, Д. И. Геометрия. 9-11 кл.: задачник. - М.: Дрофа, 2011.

Третьяк И.В. Математика .Универсальный справочник. ОГЭ.-М.:Эксмо, 2016

Денищева Л.О. ГИА по математике . 9 класс .- М.: Бином. Лаборатория знаний,2011

Литература, рекомендуемая для учащихся

Александров, А. Д., Вернер, А. Л., Рыжик, В. И. Геометрия. 8-9 кл.: -М.: Просвещение, 2010.

Книга для учителя. Изучение геометрии в 10-11 классах. Авт. Саакян С.М., Бутузов В.Ф., М., «Просвещение», 2004.

Атанасян, Л. С. и др. Геометрия. 7-9 кл.: - М.: Просвещение, 2013.

Бардушкин, В. В., Кожухов, И. Б. Геометрия-8: рабочая тетрадь. - М.: Открытый мир, 2012

Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2010

Погорелое, А. В. Геометрия: учебник для 7-9 кл. средней школы. - М.: Просвещение, 2013.

Потоскуев, Е, В. Геометрия. 9-11 кл.: учебник. Задачник. -М.: Дрофа, 2010

Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 9-11 кл.: учебное пособие. - М.: Дрофа, 2012.

Черняк, А. А., Черняк, Ж. А.,Доманова, Ю. А. Подготовка к тестированию: геометрия. - СПб: БХВ-Петербург, 2013

Зив, Б. Г. Дидактические материалы по геометрии для 8-9 кл. -М.: Просвещение, 2011.

Кочагин В.В. “ОГЭ – 2011. Математика. Тематические тренировочные задания”. М. ЭКСМО, 2015.

Приложение 1.

Методы решения геометрических задач

. При решении геометрических задач обычно используются три основных метода:

  • геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем;

  • алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

  • комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим. Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения применять их.

В качестве основного метода решения геометрических задач, который стоит освоить и отработать в первую очередь, выступает алгебраический метод. Алгебраический метод, вернее основные его модификации, могут быть в достаточной степени алгоритмизированы.

Задача1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с площадями 4 и 16.Найдите длину гипотенузы.

Решение: Обозначим АД= х , ДВ= y, СД=h, составим систему уравнений

А

с С В

умножим первое и второе уравнения, получим , h = 4,

АД= 2, ДВ=8, АВ= АД+ ДВ= 10

Ответ : 10.

Треугольник

Решение задач с использованием:

1. а) Метода опорного элемента

Метод опорного элемента является основным методом составления уравнений в геометрических задачах и заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т. д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные выражения приравниваются. Довольно часто в качестве опорного элемента выбирают площадь фигуры. Тогда говорят, что для составления уравнения используется метод площадей.

б ) Метода площадей.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений). Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами. Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится. 

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые  AC и  BD параллельные, то расстояние между ними равно h  - высоте ▲ABC и ▲ADC. Если площадь треугольника находится по формуле S=21ah, то  SABC=SADC=21ACh.

Свойство №2

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).  

Доказательство: Пусть h1 = h2  в двух треугольниках с основаниями a  и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников S2S1=21bh221ah1.
Упростив, получим S2S1=ba.

Свойство №3

Если два треугольника имеют общий
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол. 

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC  и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b,   MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN  и S2 = SABC. Используя формулу площади треугольника вида S=21absin, рассмотрим отношение площадей ▲ABC  и ▲MBN

Тогда  S2S1=21absinB21a1b1sinB. Упростив, получим S2S1=aba1b1.

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: Рассмотрим  ▲ABC  и ▲MBN.

Пусть AB = k MB, BC = k NB  и ABC=MBN .

Используя формулу площади треугольника

вида S=21absin, рассмотрим отношение

подобных площадей ▲ABC и ▲MBN.   Тогда  

S2S1=21

ABBCsinB21MBNBsinB=      MBNBkNBk

  • MB=k2 .

Свойство № 5

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана  BM , тогда AM=MC=21AC. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников  ▲ABM и ▲MBC  по формуле S=21ah. Получим SABM=21AMh  и SMBC=21MCh. Значит  SABM=SMBC.

Свойство №7

Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC. Пусть их площади равны соответственно  S1S2S3. А площадь  ▲ABC равна  S. Рассмотрим ▲ABK и  ▲CBK, они равной площади, т.к.  BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK - медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK  равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Свойство №6

Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади  1\4 S.

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC. NM - средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то SNBM=1\2NM1\2h=1\2(1\2AC)(1\2h)=1\4S. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC.

Свойство №8

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Доказательство:  По свойству №7 площади ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC равны. По свойству №5 площади   ▲AOM, ▲BOM  равны. Значит  S1 = S6 . Аналогично S2 = S3. Если  S1 + S6 = S2 + S3  и 2S1 = 2S2  значит  S1 = S2. И так далее. получим, что все шесть треугольника имеют равные площади и они составляют шестую часть от площади ▲ABC.

Задача. Найти формулу для площади произвольного треугольника.

Решение. Пуст S – площадь треугольника ABC (рис. 7). Проведем высоту BD и получим прямоугольные треугольники ABD и CBD. Очевидно, что S = SABD + SBCD. Воспользуемся теперь известным правилом нахождения площади прямоугольного треугольника и получим: S = BD*AD\2 + BD*DC\2 = BD*AC\2/

Заметим, что данное решение было проведено для остроугольного треугольника.

В случае же тупоугольного треугольника результат не изменится, отличие

будет лишь в исходном соотношении для площади S = SABD – SBCD.

Таким образом, сформулируем правило: площадь произвольного треугольника

равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к

этой стороне.

2. Метод введения вспомогательного элемента или параметра

а) Вспомогательный отрезок

Характеристика метода. Длину некоторого отрезка, рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, x и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи «исчезает» (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение.

б) Bспомогательный треугольник

Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного построения

(продление отрезка, геометрическое преобразование и др.) получают треугольник, который дает возможность получить решение задачи. Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения задачи свойствами:

1) его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в

условии задачи;

2) для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить

решение, чем для фигур непосредственно заданных условием.

Задача. Доказать, что средние линии треугольника параллельны его сторонам и

вдвое меньше их.

Решение. Пусть точки K, L, M – середины сторон AB, BC, CA треугольника ABC

соответственно Продолжим отрезок KL за точку L на отрезок NL = KL и получим вспомогательный треугольник NLC. Тогда ▲KBL = ▲ NLC (по двум сторонам и углу между ними). и т.д. Значит, углы треугольника KBL равны углам треугольника ABC, а стороны его вдвое меньше сторон треугольника ABC. Это же верно и для треугольников AKM, MCL, KML, так как они равны треугольнику KBL.

P.S. Кроме описанного метода, при решении данной задачи используется

известное дополнительное построение – продление отрезка на отрезок, равный

самому себе.

3. Метод дополнительного построения

Во многих случаях решать геометрические задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий- так называемые дополнительные построения. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой. При решении нестандартных задач найти удачное вспомогательное построение не так-то просто. Требуется достаточно большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция. Специфика решения задач по геометрии методом дополнительных построений проявляется уже на этапе построения чертежа. Довольно часто применяются так называемые «скелетные чертежи».Чаще всего в задачах, в которых фигурируют окружности, сами окружности не чертятся, а лишь фиксируется центр и радиус. Стандартное дополнительное построение в задачах на трапецию : проводим либо два перпендикуляра к основанию и получаем прямоугольник и два прямоугольных треугольника, либо проводим отрезок, параллельно боковой стороне, и получаем параллелограмм и произвольный треугольник.

б) удвоение медианы треугольника;

Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует

медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на

стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая

точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в

результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих

элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или

доказать предложенное утверждение.

Можно рассмотреть задачу: Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.

При решении рассмотреть треугольник ABC, в котором отрезок BM – его

медиана и биссектриса. Продлить BM на отрезок MD = BM. При этом образовались равные треугольники AMB и MCD (1-й признак равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников имеем доказать, что AB = BC, откуда следует

истинность утверждения задачи.

Приложение 2

Формула Пика

Автор
Дата добавления 21.05.2017
Раздел Геометрия
Подраздел Рабочая программа
Просмотров668
Номер материала 4141
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.