Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Познакомившись с общим подходом к построению решений линейных векторных дифференциальных уравнений, покажем теперь, как получаются решения неоднородных уравнений.

Представим исходное уравнение с неоднородностью, локализованной в правой части уравнения, и умножим обе части уравнения на матричную экспоненту :

.

Обращаясь к правилам дифференцирования векторно-матричных выражений, приведенных выше, несложно заметить, что слева от знака равенства находится производная от произведения матричной экспоненты на вектор y:

.

Сделаем соответствующую замену и проинтегрируем левую и правую части по независимой переменной t:

.

Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Формула общего решения в своей нотации точно соответствует случаю скалярного уравнения. При невозможности аналитического решения переходный процесс можно вычислить по точкам, заменив непрерывное время дискретным с шагом , где R - радиус сходимости степенного матричного ряда с матрицей :

.

В интеграле можно заменить независимую переменную на дискретную с тем же шагом, что и при разложении экспоненты: , тогда, применяя метод интегрирования по правилу прямоугольников и обозначая матричную экспоненту на k-том шаге через , получим

.

Удобно из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно добиться, если найти в выражении для часть, которую можно заменить значением :

Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого - формула трапеций, или второго - формула парабол (Симпсона).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

.

4. Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

.

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

,

или относительно переменной :

.

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет:

,

где - постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:

Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

.

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:

Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:

Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

…

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5-6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

.

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.