Уроки математики / Другое / Теория по теме "Матрицы и определители"

Теория по теме "Матрицы и определители"

Тема 1. Матрицы и определители матриц

Что узнаем:

- основные понятия линейной алгебры: матрица, определитель.

Чему научимся:

- производить операции над матрицами;

- вычислять определителями второго и третьего порядка.

Тема 1.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами.

Матрицы обозначают большими латинскими буквами, саму таблицу заключают в круглые скобки (реже в квадратные или другой формы).

Элементы аij называют элементами матрицы. Первый индекс i – номер строки, второй j – номер столбца. Чаще элементами являются числа.

Запись «матрица А имеет размер m×n» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.

Если m = 1, а n > 1 , то матрица является матрицей – строкой. Если m > 1, а n = 1 , то матрица является матрицей – столбцом.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов (m = n), называется квадратной.

.

Элементы a11 , a22 ,…, ann квадратной матрицы A (размера n×n) образуют главную диагональ, элементы a1n , a2n-1 ,…, an1 - побочную диагональ.

В матрице элементы 5; 7 образуют главную диагональ, элементы –5; 8 – побочную диагональ.

Матрицы A и B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают, т.е. аij = bij.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю. Единичную матрицу обычно обозначают Е.

Матрицей, транспонированной к матрице А размера m×n, называется матрица АТ размера n×m, полученная из матрицы А, если ее строки записать в столбцы, а столбцы – в строки.

Арифметические действия над матрицами.

Чтобы найти сумму матриц A и B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Сложение матриц коммутативно, то есть А + В = В + А.

Чтобы найти разность матриц A и B одной размерности, необходимо найти разность элементов с одинаковыми индексами:

.

Чтобы умножить матрицу A на число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Произведение матриц AB можно определить только для матриц A размера m×n и B размера n×p, т.е. число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. При этом A·B=C, матрица C имеет размер m×p, и ее элемент cij находится как скалярное произведение iстроки матрицы A на j столбец матрицы B: (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p).

!! Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Произведение матриц не коммутативно, то есть А·В ≠ В·А.

Необходимо разобрать примеры для закрепления теоретического материала.

Пример 1. Определение размера матриц.

Матрица

Размер

Пояснение

Вид матрицы

1×3

1 строка и 3 столбца

матрица – строка

2×3

2 строки и 3 столбца

произвольная матрица

2×1

2 строки и 1 столбец

матрица – столбец

2×2

2 строки и 2 столбца

квадратная матрицей

Пример 2. Определение элементов матрицы.

В матрице элемент а11 = 2, а12 = 5, а13 = 3.

В матрице элемент а21 = 2, а13 = 0.

Пример 3. Выполнение транспонирования матриц.

,

,

Пример 4. Выполнение операций над матрицами.

Найти 2A-B, если , .

Решение. .

Пример 5. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A3×2, матрицы В 2×2. Поэтому произведение А·В найти можно. Получаем:

.

Произведение В·А найти нельзя.

Пример 6. Найти А3, если А = .

Решение. А2 = ·==,

А3 = ·==.

Пример 6. Найти 2А2 + 3А + 5Е при , .

Решение. ,

, ,

, .

Задания для выполнения

1. Заполнить таблицу.

Матрица

Размер

Вид матрицы

Элементы матрицы

а11

а12

а23

а32

а33

2. Выполнить операции над матрицами и :

а)

А – В

б)

2А + 5В

в)

А·В

г)

В·А

3. Выполнить умножение матриц:

а)

б)

в)

г)

4. Транспонировать матрицы:

а)

б)

в)

г)

? 1. Что такое матрица?

2. Как отличить матрицу от других элементов линейной алгебры?

3. Как определить размер матрицы? Для чего это необходимо?

4. Что означает запись аij?

5. Дайте пояснение следующим понятиям: главная диагональ, побочная диагональ матрицы.

6. Какие операции можно выполнять над матрицами?

7. Объясните суть операции умножения матриц?

8. Любые ли матрицы можно умножить? Почему?

Тема 1.2. Определители второго и третьего порядка: методы их вычисления

∆ Если А – квадратная матрица n-го порядка, то с ней можно связать число, называемое определителем n-го порядка и обозначаемое через |А|. То есть определитель записывается как матрица, но вместо круглых скобок заключается в прямые.

!! Иногда определители называют на английский манер детерминантами, то есть = det A.

Определитель 1-го порядка (определитель матрицы А размера 1×1) - это сам элемент, который содержит матрица А, то есть .

Определитель 2-го порядка (определитель матрицы A размера 2×2) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель 3-го порядка (определитель матрицы A размера 3×3) – это число, которое можно найти по правилу «треугольников»:

Для вычисления определителей 3-го порядка можно использовать более простое правило – правило направлений (параллельных линий).

Правило направлений: справа от определителя дописывают два первых столбца, произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус".

!! Для вычисления определителей можно использовать их свойства, которые справедливы для определителей любого порядка.

Свойства определителей:

. Определитель матрицы А не меняется при транспонировании, т.е. |А| = |АТ|. Данное свойство характеризует равноправность строк и столбцов.

. При перестановке двух строк (двух столбцов) определитель сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

,

. Если в определителе содержится две одинаковые строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

= 0.

. Если какая-нибудь строка или столбец содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 4.1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 4.2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю.

Необходимо разобрать правила вычисления определителей.

Пример 1. Вычисление определителей второго порядка , .

Решение.

Пример 2. Вычисление определителей третьего порядка , .

Решение.

.

Необходимо проверить свойства определителей, выполнив их вычисление:

Задания для выполнения

1. Вычислить определители второго порядка:

а)

б)

в)

г)

2. Вычислить определители третьего порядка:

а)

б)

в)

г)

? 1. Что такое определитель матрицы?

2. Как обозначают определитель матрицы?

3. Как узнать порядок определителя?

4. Назовите правило вычисления определителя второго порядка.

5. В чем суть вычисления определителя третьего порядка правилом направлений?

6. Перечислите свойства определителей.

7. Может ли определитель матрицы быть равен нулю? отрицательным числом?

8. Чему равны определители , ?

Материал для расширения и углубления знаний

Кроме представленных способов вычисления определителя третьего порядка существует еще одно правило – правило «раскрытие определителя по первой строке»:

.

Данное правило применимо к определителям любого порядка n > 1.

Пример 1. Вычисление определителя правилом «раскрытия», используя первую строку.

!! Для использования данного правила важно помнить, что каждый элемент определителя третьего порядка занимает определенное место. Говорят, что элемент определителя занимает четное место, если сумма номеров его строки и его столбца есть четное число, и нечетное место, если эта сумма есть нечетное число.

Если четные места обозначить «+», а нечетные «–», то схематически это будет выглядеть так:

!! Причем определитель n-го порядка можно разложить по элементам любой строки или столбца. Тем самым задачу сводят к нахождению значений n определителей, порядок каждого из которых равен n – 1.

Обычно выбирают ту строку (столбец), в которой есть нули.

Пример 2. Вычисление определителя из примера 1 правилом «раскрытия», используя третью строку.

Когда порядок определителя n>4, проводить вычисление его значения без помощи компьютера затруднительно. В этом случае целесообразно прибегнуть к помощи какого-нибудь современного компьютерного математического пакета.

Задания для выполнения

1. Вычислить определители, используя правило раскрытия. Для каждого определителя выбрать сначала любую строку, затем любой столбец. Сравнить полученные результаты.

а)

б)

в)

г)

Автор
Дата добавления 08.05.2018
Раздел Высшая математика
Подраздел Другое
Просмотров58
Номер материала 5659
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.