Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла
где: - длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
f(xi) - значения подынтегральной функции в точках x0,x1,x2,x3,…,x2n-2,x2n-1,x2n.
Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:
- сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
- сумма членов, с чётными индексами умножаемая на 2.
- сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.
На основании полученных данных строим график (рисунок 2), который показывает погрешность:
График подынтегральной функции приближенный к самой функции.
Решение:
Метод левых прямоугольников
Метод правых прямоугольников
Метод трапеции
Метод Симпсона
Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом: , где x - независимая переменная, yi - i-ая производная от искомой функции. n - порядок уравнения. Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных постоянных c1,.., cn,т.е. общее решение имеет вид y=ц(x, c1, …, cn).
Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.
Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.
Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.
Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка на отрезке [x0, xn] при условии y(x0)=y0.
При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки xi=x0+ih, (i=0,1,…,n) промежутка [x0, xn].
Целью является построение таблицы.
Таблица 2
xi | x0 | x1 | … | xn | |
yi | y0 | y1 | … | yn | |
Т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.
Интегрируя уравнение на отрезке [xi,xi+1]получим
(4.5)
Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой-либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка
(4.6)
то получим явную формулу Эйлера:
(4.7)
Порядок расчетов:
Зная , находим , затем т.д..
Пользуясь тем, что в точке x0 известно решение y(x0) = y0 и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y=y(x)
в точке (x0,y0):
При достаточно малом шаге h ордината , этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x1) решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка (x1,y1) пересечения касательной с прямой x = x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к y=y(x) в точке (x1, y(x1)). Подставляя сюда x2=x1+h (т.е. пересечение с прямой x = x2), получим приближенное значение y(x) в точке x2: , и т.д. В итоге для i-й точки получим формулу Эйлера.
Рисунок 7. Метод Эйлера
Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации. Если использовать формулу правых прямоугольников:
то придем к методу
(4.8)
Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.
Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.
Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление yi+1 состоит из двух этапов:
(4.9)
(4.10)
Данная схема называется еще методом предиктор - корректор (предсказывающее - исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.
Решение
Метод Эйлера
Автор |
|
---|---|
Дата добавления | 03.05.2017 |
Раздел | Алгебра |
Подраздел | Статья |
Просмотров | 1539 |
Номер материала | 3938 |
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное. |