Уроки математики / Научная работа / Исследовательская работа ученицы 9"А" класса по теме: "Вневписанная окружность"

Исследовательская работа ученицы 9"А" класса по теме: "Вневписанная окружность"

Областной конкурс «Взлёт» исследовательских проектов обучающихся образователь...
Игорь Фёдорович Шарыгин: «Каждый треугольник определяет семейство окружностей...
Цель: сформировать представление о вневписанной окружности и её практической...
Глава1. Теоретическая часть. 1.1.Определение вневписанной окружности.
Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и...
Свойства вневписанной окружности. Дано: треугольник АВС Окр. (О; r) М, N, К –...
2. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окру...
1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла...
2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, ра...
3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окру...
4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине,...
5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна к...
6.Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению...
Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех ради...
Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения все...
Следствие 3. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную...
Применение свойств вневписанных окружностей при решении задач Задача 1. В тре...
Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние кас...
Задачи ОГЭ и ЕГЭ на применение свойств вневписанных окружностей. ЗАДАЧА №1 (с...
ЗАДАЧА №4 « Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы...
Заключение. Изящество и красота применения окружности создают ощущение элитар...
Спасибо за внимание!
1 из 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

Областной конкурс «Взлёт» исследовательских проектов обучающихся образовательных организаций Самарской области «Вневписанная окружность» Работу выполнила: Мусаева Анастасия Валериевна, ученица 9А класса ГБОУ СОШ №2 «ОЦ» с. Кинель – Черкассы Руководитель: учитель математики первой категории Лукьянова Ольга Владимировна Консультант: кандидат наук ФГБОУ ВО СамГТУ Фадеева Оксана Владиславовна

№ слайда 2

Игорь Фёдорович Шарыгин: «Каждый треугольник определяет семейство окружностей, помогающих глубже и полнее понять "устройство" треугольника"

№ слайда 3

Цель: сформировать представление о вневписанной окружности и её практической значимости. Задачи: -ввести определение вневписанной окружности треугольника; -изучить свойства вневписанной окружности и её связь с основными элементами треугольника; -применить свойства вневписанной окружности при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

№ слайда 4

Глава1. Теоретическая часть. 1.1.Определение вневписанной окружности.

№ слайда 5

№ слайда 6

Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон М N H

№ слайда 7

Свойства вневписанной окружности. Дано: треугольник АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать: О – точка пересечения биссектрис угла B, угла KAC, угла NCA Доказательство: Т.к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д. 1. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника

№ слайда 8

2. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = p Дано: треугольник АВС Вневписанная окр. (Оа; ra ) Доказать: АВ1 = АС1 = p Доказательство: Т.к. Оа - центр вневписанной окружности. Касательные, про- ведённые к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1. Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p. Оа В1 ra ra ra А В С С1 А1 α/2 α/2

№ слайда 9

1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg Дано: треугольник АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать: r a = p * tg * Доказательство: В прямоугольном треугольнике А Оа С1 ra и p – длины катетов, угол Оа А С1 равен , поэтому ra = ptg . А В С Оа p p В1 С1 b c ra ra ra Некоторые соотношения с радиусами вневписанных окружностей

№ слайда 10

2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е ra = , rb = , rc = Дано: треугольник АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать: r a = S/p-a, r b = S/p-b, r c = S/p-c Доказательство: Имеем S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е. ra = А В С Оа p p В1 С1 b c ra ra ra

№ слайда 11

3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R

№ слайда 12

4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит,

№ слайда 13

5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2 Доказательство:

№ слайда 14

6.Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона ra = , rb = , rc = , Тогда

№ слайда 15

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp. Следовательно

№ слайда 16

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно, . Значит

№ слайда 17

Следствие 3. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , , Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,

№ слайда 18

Применение свойств вневписанных окружностей при решении задач Задача 1. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и ВЕ. DЕ – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла А Решение: Точка Е равноудалена от прямых AD,BC и АВ, поскольку она лежит на биссектрисах DE и ВЕ углов ADC и АВС. Значит, Е – центр вневписанной окружности тр. ADB. AD - биссектриса угла BAC = Лучи АЕ и AD делят развернутый угол с вершиной А на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60 градусов, а угол BAC = 120 градусов

№ слайда 19

Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенной между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания. Доказательство. Пусть MN = а. АК = р, тогда ВК = р-а. Значит, АВ = p – (p – a) = а, То есть АВ = MN. Аналогично доказываются, что CD = MN.

№ слайда 20

Задачи ОГЭ и ЕГЭ на применение свойств вневписанных окружностей. ЗАДАЧА №1 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) «Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6». ЗАДАЧА №2 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) «Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21». ЗАДАЧА №3 (сборник «Подготовка к ОГЭ-2018», под редакцией Д.А. Мальцева) «Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС».

№ слайда 21

ЗАДАЧА №4 « Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001». ЗАДАЧА №5. (Сборник « Математика. Все для ЕГЭ 2018». Часть I. Автор Д. А. Мальцев) « Точка О1 - центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О2 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О1 и О2 , если радиус описанной окружности треугольника АВС равен 6, а sin ∟ВО1С = √5/3.

№ слайда 22

Заключение. Изящество и красота применения окружности создают ощущение элитарности. В учебнике «Геометрия 7-9» автора И. Ф. Шарыгина окружностям уделяется большое внимание. К сожалению, во многих учебниках этой фигуре уделяется незначительное время и внимание, а про вневписанную окружность и не упоминается. Поэтому я считаю, что мою работу можно использовать на уроках геометрии при рассмотрении темы «Вписанные и описанные окружности»

№ слайда 23

Спасибо за внимание!

Автор
Дата добавления 26.05.2019
Раздел Геометрия
Подраздел Научная работа
Просмотров68
Номер материала 6226
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.