Уроки математики / Научная работа / Исследовательская работа ученика 7Б класса "Нестандартные признаки равенства треугольников"

Исследовательская работа ученика 7Б класса "Нестандартные признаки равенства треугольников"

Российская Федерация

САМАРСКАЯ область, СЕЛО КИНЕЛЬ-ЧЕРКАССЫ

ГБОУ СОШ №2 «ОЦ» СЕЛА КИНЕЛЬ-ЧЕРКАССЫ

Научно-исследовательская работа

Секция «Мир моих математических исследований»

НЕСТАНДАРТНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

Работу выполнил:

Кривошеев Никита, ученик

7Б класса.

Научный руководитель:

учитель математики Лукьянова

Ольга Владимировна

город Новокузнецк, 2017

Содержание

Введение………………………………………………………….………………3

Основная часть

Признаки равенства треугольников…………………………………………… 4

Нестандартные признаки равенства треугольников………………………….7

Заключение…………………………………………………………………… 10

Список литературы…………………………………………………………… 11

Приложение

Введение.

Актуальность:

Треугольник – одна из основных фигур в планиметрии. При решении задач часто приходится доказывать равенство треугольников. В учебнике геометрии, по которому мы обучаемся (авторы Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7-9) рассматривается 3 признака равенства треугольников.

Гипотеза: Возможно, ли сформулировать, кроме трёх известных, другие признаки равенства треугольников?

Чтобы убедиться в том, что ответ на этот вопрос волнует не только меня, я провела социологический опрос среди учащихся (см. приложение 1).

Мои предположения подтвердились. Большинство учеников знают только 3 признака равенства треугольников.

Таким образом, целью моего исследования стало отыскание новых признаков равенства треугольников.

Задачи:

  • Изучить литературу по исследуемой теме.

  • Уточнить количество признаков равенства треугольников.

  • Продемонстрировать другим учащимся существование других признаков равенства треугольников и возможности их доказательства.

Объект исследования: Изучение признаков равенства треугольников.

Предмет исследования: Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии

Метод исследования: Теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический (доказательство теорем).

Признаки равенства треугольников.

Начнём с определения. Треугольники ABC и A1B1C1 называются равными, если они имеют соответственно равные стороны и углы.

Треугольник состоит из шести элементов. Из трёх углов и трёх сторон.

При этом возникает вопрос: «Какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства двух треугольников?»

Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному элементу, потому что неизвестно: «Будут ли равны остальные элементы?»

В В1

А С А1 С1

АС = А1С1

Так же невозможно установить равенство двух треугольников, используя два элемента по причине нехватки информации для установления равенства.

В

В1

А С А1 С1

АВ = А1В1, АС = А1С1.

Возможно установление равенства двух треугольников, используя три элемента. Но при этом возникает вопрос: «Какие именно три элемента нужно назвать, для установления равенства двух треугольников?»

При изучении этого вопроса, я просмотрела школьные учебники геометрии различных авторов, а также словари и справочники. В учебниках за седьмой класс предложены к изучению только 3 признака равенства треугольников.

1 признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В Справочнике по элементарной математике М.Я.Выгодского был предложен 4 признак: Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

Приведу одно из доказательств этого признака.

Дано: ∆ АВС, ∆ А1В1С1, АВ = А1В1, АС= А1С1., ے В = ے В1.

Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1.

Рисунок № 1

Расположим треугольники так, как на рисунке 1. Соединим В и В1, тогда ∆АВВ1 – равнобедренный, значит ے 1= ے 2. ے 3= ے 4 как остатки равных углов. Получим ∆ВСВ1 – равнобедренный, отсюда ВС=В1С. ∆АВС=∆А1В1С1 по трем сторонам.

Также в школьном курсе рассматриваются 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

  • Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

  • Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

  • Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

  • Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Я решил расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту.

Нестандартные признаки равенства треугольников.

1) По двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.

A

B K C

A1

B1 K1 C1

Дано: АВ = А1В1, ВС = В1С1, АК = А1К1. Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по гипотенузе и катету, тогда ےВ = ےВ1 и получим ∆АВС = ∆А1В1С1 по 1 признаку (по 1 признаку).

2) По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

В В1

К К1

А

С А1 С1

Дано: АВ = А1В1, ВС = В1С1, АК = А1К1. АК иА1К1- медианы

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по трем сторонам, значит ےВ = ےВ1 и

∆АВС = ∆А1В1С1 по 1 признаку

3)По двум углам и высоте, проведенной из третьего угла

А A1

B K C B1 K1 C1

Дано: ےВ = ےВ1 , ےС = ےС1.AK=A1K1

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по катету и острому углу, значит BK= B1K1 ∆АСК= ∆А1С1К1 по катету и острому углу, значит KC=K1C1 , а следовательно

BC=B1C1 , а ∆АВС = ∆А1В1С1 по 2 признаку.

4) По стороне и двум высотам, проведенным из углов, прилежащих к этой стороне.

Дано: АС = А1С1, СМ = С1М1, АК = А1К1. Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1. Доказательство: ∆АМС= ∆А1М1С1 по катету и гипотенузе, значит угол А равен углу А1,,а ∆АКС = ∆А1К1С1 по катету и гипотенузе, значит ےС = ےС1 Итак, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 2 признаку.

5) По двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне.

Дано: АВ = А1В1, ВС = В1С1, ВК = В1К1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 .

Доказательство: ∆АВК= ∆А1В1К1 по гипотенузе и катету, значит АК=А1К1 ∆ВКС = ∆В1К1С1 по катету и гипотенузе, значит КС=К1С1. Итак, ∆АВС = ∆А1В1С1 по трем сторонам.

В В1

А К С А1 К1 С1

6) По стороне, одному из углов, прилежащих к этой стороне и биссектрисе из этого угла.

Дано: АС = А1С1, АК = А1К1, ےА = ےА1.

Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.

Доказательство: ∆КАС = ∆К1А1С1 по 1признаку, отсюда

ےС = ےС1, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 2признаку.

7) По двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот.

Дано: СМ = С1М1, АК = А1К1, ےА = ےА1. Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1. Доказательство: ∆АМС= ∆А1М1С1 по катету и острому углу, ∆АКС = ∆А1К1С1 по катету и гипотенузе, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 2признаку.

Заключение.

В ходе исследования я выяснил, что помимо трех основных признаков равенства треугольников возможно указать немало других. Я сформулировал и доказал равенство треугольников по медиане, высоте, биссектрисе треугольника в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов.

Результат моего исследования: доказаны несколько признаков равенства треугольников, не изучаемых в школьном курсе геометрии.

Список литературы

  1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.

  2. Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2009.

  3. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – 3-е издание. – М.: Просвещение, 2002.

Приложение 1

1.Как вы считаете, сколько существует признаков равенства треугольников?

А) 3 Б) более трех В) меньше трех

2. Хотели бы вы узнать новые признаки равенства треугольников?

А) да Б) нет

Автор
Дата добавления 10.05.2017
Раздел Геометрия
Подраздел Научная работа
Просмотров804
Номер материала 3991
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.