Уроки математики / Другое / Как из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу

Как из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу

Как из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно добиться, если найти в выражении для часть, которую можно заменить значением :

Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого - формула трапеций, или второго - формула парабол (Симпсона).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

.

4. Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

.

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

,

или относительно переменной :

.

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет:

,

где - постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:

Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

.

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:

Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:

Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

t

Аналитическое

решение

Аппроксимация

Падэ порядка 1

Аппроксимация

Падэ порядка 2

Аппроксимация

Падэ порядка 3

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0.1

1.066

0.3475

1.0670

0.3483

1.0660

0.3475

1.066

0.3475

0.2

1.072

-0.2023

1.0740

-0.2018

1.0720

-0.2023

1.072

-0.2023

0.3

1.029

-0.6434

1.0320

-0.6440

1.0290

-0.6434

1.029

-0.6434

0.4

0.9478

-0.9755

0.9513

-0.9778

0.9478

-0.9755

0.9478

-0.9755

0.5

0.8380

-1.203

0.8420

-1.207

0.8380

-1.203

0.8380

-1.203

0.6

0.7103

-1.335

0.7145

-1.341

0.7102

-1.335

0.7102

-1.335

0.7

0.5737

-1.383

0.5779

-1.391

0.5737

-1.383

0.5737

-1.383

0.8

0.4360

-1.360

0.4398

-1.369

0.4360

-1.360

0.4360

-1.360

0.9

0.3035

-1.280

0.3068

-1.290

0.3035

-1.280

0.3035

-1.280

1.0

0.1814

-1.156

0.1839

-1.167

0.1814

-1.156

0.1814

-1.156

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5-6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

.

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

t

Точное решение

Интегрирование по формуле прямоугольников

Интегрирование по формуле трапеций

Интегрирование по формуле парабол

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0.1

1.16576

0.328872

1.16422

0.302569

1.16514

0.330031

1.16576

0.328872

0.2

1.26681

-0.271328

1.26234

-0.318851

1.26567

-0.269062

1.26680

-0.271346

0.3

1.31004

-0.785828

1.30176

-0.849621

1.30849

-0.782554

1.31125

-0.802579

0.4

1.30354

-1.20604

1.29100

-1.28147

1.30167

-1.20189

1.30354

-1.20605

0.5

1.25599

-1.52886

1.23917

-1.61178

1.25389

-1.52399

1.25944

-1.55740

0.6

1.17619

-1.75579

1.15542

-1.84257

1.17395

-1.75039

1.17618

-1.75580

0.7

1.07265

-1.89209

1.04854

-1.97973

1.07033

-1.88633

1.07991

-1.92961

0.8

0.953246

-1.94585

0.926640

-2.03193

0.950907

-1.93991

0.953243

-1.94586

0.9

0.825009

-1.92713

0.796891

-2.00986

0.822699

-1.92120

0.837584

-1.97248

1.0

0.693974

-1.84722

0.665412

-1.92534

0.691726

-1.84145

0.693977

-1.84722

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.

Автор
Дата добавления 23.04.2017
Раздел Высшая математика
Подраздел Другое
Просмотров399
Номер материала 3822
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.