Уроки математики / Конспект урока / Конспект урока на тему "Решение комбинаторных уравнений" (10 класс)

Конспект урока на тему "Решение комбинаторных уравнений" (10 класс)

Треугольник Паскаля

Сочетаниями без повторений занимался еще великий Паскаль. Он предложил специальную таблицу значений сочетаний без повторений.

Значения представлены в табл. которая называется треугольником Паскаля.

Таблица

Треугольник Паскаля

k

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

1

7

1

7

21

35

35

21

7

1

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

Заметим, что .

Этот треугольник удивительно красив своей математической красотой, и в его числах можно при желании отыскать различные закономерности. Его можно представить несколько иначе – в виде [26]: равнобедренного треугольника (рис. 10).

Рис. 10. Треугольник Паскаля

Здесь каждое число, кроме единиц на боковых сторонах, является суммой двух чисел, стоящих над ним. Поэтому:

(приводим к общему знаменателю)

(выносим n! за скобку в знаменателе)

Из этого соотношения и вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов.

Докажем соотношение 1)

Это может использоваться при вычислениях, например, вместо можно вычислить .

Докажем соотношение 2)

Бином Ньютона

Имеется формула, называемая биномом Ньютона, которая использует выражения числа сочетаний с повторениями

где а, b – действительные или комплексные числа.

Например:

Коэффициенты называются биномиальными.

Докажем формулу бинома Ньютона по индукции. Доказательство по индукции предполагает:

1) базис индукции – доказательство того, что формула верна для конкретного n, например, для n=1. В нашем случае мы убедились, что формула верна для n=2,3,4. Убедимся, что она верна и для n=1.

2) индукционный шаг. Предполагая, что формула верна для некоторого n, убеждаются, что тогда она верна и для n+1.

3) при истинности шагов 1 и 2 заключают, что формула верна для любого n.

Приступим к индукционному шагу.

Возьмем выражение и получим из него выражение для n+1. Очевидно, что это можно сделать путем умножения на a+b:

Преобразуем полученное выражение:

Для выполнения индукционного шага необходимо показать, что это выражение равно выражению:

.

Рассмотрим подвыражение выражения (1): и заменим i на i-1.

Получим , т.е. одинаковые коэффициенты перед выражениями , для числа сочетаний в первом и втором подвыражении выражения (1).Это позволит вынести за скобку. Но тогда в не учтен n-й член подвыражения (суммирование идет до n): тогда, учитывая его, получаем:

Нетрудно видеть, что можно заменить на , кроме того, мы уже доказали, что , поэтому: , что, очевидно, равно выражению:

.

По индукции получаем, что формула бинома Ньютона верна для любого n.

С использованием бинома Ньютона докажем следствие №1 о количестве подмножеств множества из n элементов:

Рассмотрим следствие №2: .

На использовании бинома Ньютона основано понятие производящей функции – функции, позволяющей получать комбинаторные числа без вычисления факториала:

. Здесь – функция, производящая биномиальные коэффициенты.

При n=1 получаем 1+x, т.е. (коэффициент перед 1), (коэффициент перед x).

При n=2 получаем (1+x)2=1+2x+x2, т.е. и т.д.

Решение комбинаторных уравнений

В комбинаторике тоже могут решаться уравнения, особенностью которых является то, что неизвестная принадлежит множеству натуральных чисел. Например, уравнения вида , xN, где N – множество натуральных чисел или вида:

, xN (решите!).

При решении комбинаторных уравнений часто необходимо уметь выполнять действия с факториалами типа:

,

или:

.

Например, в задаче о сравнении пар записей в базе данных из n записей:

, – что и требовалось доказать.

В комбинаторике рассматриваются и другие типовые комбинаторные комбинации, например, разбиения n-элементного множества на k подмножеств, которые называются блоками разбиения. В информатике вычисления на конечных математических структурах часто называют комбинаторными вычислениями, и они требуют комбинаторного анализа для установления свойств и оценки применимости используемых алгоритмов. На рис. 11 приведен один из возможных вариантов классификации основных комбинаций.

Рис. 11. Основные комбинации

Комбинаторные задачи могут быть решены, например, системой компьютерной математики Matematica (3,4) фирмы Wolfram Research,Inc. – пакет расширения «Дискретная математика» (DiscreteMath) – комбинаторика и ее функции (Combinatorica, CombinatorialFunctions): функции перестановок и сочетаний и др.


Пример 1. Решить уравнение

Решение.Воспользуемся формулой

и представим правую часть в виде

 ,

тогда

или

 откуда следует

или

x + 3 = 11 и x = 8.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. По условию x – целое число, удовлетворяющее неравенством  Перепишем уравнение в виде

или

откуда, после упрощений, получаем

 > 4

Итак, x = 2.

 

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Из второго уравнение находим

 Решая последнее уравнение, получаем  Но так как  не пригодно к решению уравнения, значит x = 18.

Подставляя x = 18 в первое уравнение системы, найдем

или

отсюда

18 – y = y + 2, y = 8.

Итак, x = 18, y = 8.

 

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Перепишем систему уравнений в виде

или, после упрощений получим

 откуда следует x = 2, y = 6.

Решите уравнение (22–25).

№22.

1)=42;

Решение:

ОДЗ: хN; x>2

= 42

=-6( исключить – не входит в ОДЗ); =7

Ответ: 7.

=56х;

Решение:

ОДЗ: хN; x>3

(

 ((

 или -3

1=0(исключить) или х2=-6 (исключить); х3=9 (входит в ОДЗ).

Ответ: 9.

3)=30;

Решение:

ОДЗ: хN; x+1>2; х>1

=-6( исключить – не входит в ОДЗ); =5.

Ответ: 5.

4) 5=;

 ОДЗ:   х

=

 = 

 = 

(20(х-2)-(х+1)(х+2))х

(20х-40-х2+2х+х+2)=0 или х=0 или х-1=0

х2+3х-20х+42=0 х1=0 х2=1

х2-17х+42=0 корни 0 и 1 не входят в ОДЗ

х3=3; х4=14

Ответ: 3; 14.

№23.

 = 21 ОДЗ: хN; x-3>2 ; x>3

 

- 7х + 12 – 42 = 0

- 7х – 30 = 0

х1=10 х2= - 3 (не входит в ОДЗ)

Ответ: 10.

2) ; ОДЗ: хN; x>3

 = 

 4х(х-2)(х-1) = 6

х(4х2 – 12х+8-30х+90)=0

х=0 или 4х2 – 42х + 98 = 0

2 – 21х + 49 = 0

х1=7 х2= 3,5

Ответ: 7.

 = 15(х-1) ОДЗ: хN; x>3

 = 15(х-1)

 = (х-1)х х1 = 0 или х2 = 1 - не входят в ОДЗ

х – 2 = 3

х3 = 5

Ответ: 5.

 =  ОДЗ: хN; x>4

 = 

4(х-2)! = 24

(х-3)(х-2) = 90

х2 – 5х – 84 = 0

х1=12; х2= - 7(не входит в ОДЗ)

Ответ: 12.

№24.

 = 43 ОДЗ: хN; x>5

 = 43

(х-4)(х-3) + 1 = 43

х2 – 7х – 30 = 0

х1=10; х2= 3 (не входит в ОДЗ)

 Ответ: 10.

 = 89 ОДЗ: хN; x>7

(х-6)(х-5) – 1 = 89

х2 – 11х – 60 = 0

х1=15; х2= - 4(не входит в ОДЗ)

Ответ: 15.

 +  = 162 ОДЗ: хN; x>1

 = 162

 = 162

2

24х + х2 + 7х + 12 – 324 = 0

х2 + 31х – 312 = 0

х1=8; х2= - 39(не входит в ОДЗ)

Ответ: 8.

 = 

ОДЗ:  x>4

 = 

 = 

(х-3)(х-2)(х-1)х = 45(х-2)(х-1)х

(х-2)(х-1)х = 0 или (х-3)-45 = 0

х1=2; х2= 1 х3=0 - не входят в ОДЗ х4 = 48

Ответ: 48.

№25.

 = 42 ОДЗ: хN; x>4

 = 12

 = 12 х2 – х – 12 = 0 х1=4; х2= - 3(не входит в ОДЗ) Ответ: 4.

 = 90 ОДЗ:   

 = 90

(x-1)x = 90

x2 – x – 90 = 0

х1=10; х2= - 9(не входит в ОДЗ)

Ответ: 10.

 = 132 ОДЗ: 

 = 132

 = 132

x2 +3 x +2–132 = 0

x2 +3 x – 130= 0

х1=10; х2= - 13(не входит в ОДЗ)

Ответ: 10.

 = 110 ОДЗ: 

 = 110

 = 110

x2 +3 x +2– 110 = 0

x2 +3 x – 108 = 0

х1=9; х2= - 12(не входит в ОДЗ)

Ответ: 9.

№ 26.

 ОДЗ: 

  

 решаем методом сложения - 5у = -30; у = 6

х – 6 = 9; х=15

Ответ: (15; 6).

 ОДЗ:  ; у

  

  

(х-3)(х-2)(х-1) = 60

(х-3)(х-2)(х-1) = 3

х-3 = 3; х=6

Ответ: (6;3)

4) 

Ответ: (12;5)

ДЗ

  1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1. 3, 5, 8, 9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

  2. Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?

  3. Решить уравнение

15

Автор
Дата добавления 06.02.2018
Раздел Алгебра
Подраздел Конспект урока
Просмотров322
Номер материала 5297
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.