Уроки математики / Конспект урока / Конспект урока по математике на тему "Решение практических задач с применением вероятностных методов"

Конспект урока по математике на тему "Решение практических задач с применением вероятностных методов"

ГБПОУ «КЧСХТ»

ПЛАН ОТКРЫТОГО УРОКА № ______

По дисциплине: Математика

для группы _______ специальности 35.02.08 Электрификация и автоматизация сельского хозяйства.

Дата проведения: _________________

Время проведения:

Место проведения: ________________

Цель проведения открытого урока: показать методику актуализации опорных знаний студентов через разгадывание тематического кроссворда и методику самостоятельной работы студентов через игру «Кто быстрее и точнее».

Тема урока: Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Цели урока:

1) образовательная: формирование умений решать практические задачи с применением вероятностных методов;

2) развивающая: развивать коммуникативные свойства речи;

3) воспитательная: воспитание ответственности за полученные знания.

Формируемые компетенции: учебные, социокультурные (применение на практике и в жизни ЗУНов) и коммуникативные.

Тип урока: урок формирования и совершенствования умений и навыков.

Вид: комбинированный урок.

Методы обучения: опрос в форме тематического кроссворда; решение задач; игра «Кто быстрее и точнее».

Междисциплинарные и внутридисциплинарные связи: Математика – темы: «Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий»; «Дискретная случайная величина, закон её распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины»; «Понятие о задачах математической статистики».

Студенты должны: уметь применять изученные формулы на практике при решении задач.

ТСО и учебно-наглядные пособия: видеопроектор, ноутбук, экран, презентация к уроку, раздаточный материал для студентов с кроссвордом и задачами.

Ход урока:

1. Организационный момент (1 мин.)

  1. приветствие; проверка численности студентов;

  2. проверка готовности студентов к уроку.

2. Сообщение темы занятия (1 мин.)

3. Мотивация учебной деятельности (2 мин.): метод – сообщение студента об истории развития теории вероятностей.

4. Актуализация опорных знаний (24 мин.)

4.1. Основные понятия и определения теории вероятностей и математической статистики (метод – разгадывание тематического кроссворда)

4.2. Определить вид событий (метод – беседа)

4.3. Привести примеры событий (метод – беседа)

5. Изучение нового материала (40 мин.):

  1. Разбор и решение простейших задач на определение вероятности события

  2. Разбор и решение задач на применение теорем сложения вероятностей

  3. Разбор и решение задач на применение теорем умножения вероятностей

  4. Разбор и решение задач на вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины: математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения (метод – самостоятельная работа студентов).

6. Закрепление изученного материала (20 мин.)

6.1. Метод: решение задач.

6.2. Самостоятельная работа студентов (метод игра «Кто быстрее и точнее»)

7. Подведение итогов урока: (1 мин.)

Анализ работы студентов, их умения применять полученные знания на практике при решении задач. Анализ занятия и выводы по выполнению поставленных целей.

8. Задание для внеаудиторной самостоятельной работы.

Составить тест из 10 вопросов по теме ««Элементы теории вероятностей и математической статистики».

9. Домашнее задание (1 мин.):

  1. Повторить конспект урока.

  2. Решить задачи:

  • В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

  • Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

10. Рекомендуемая литература:

  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М., 2006.

  2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика. – М., 2007.

Преподаватель: ______________ /Кузнецова Л.В./

ПЛАН – КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА

Тема урока: Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Цели урока:

1) образовательная: формирование умений решать практические задачи с применением вероятностных методов;

2) развивающая: развивать коммуникативные свойства речи;

3) воспитательная: воспитание ответственности за полученные знания.

Тип урока: урок формирования и совершенствования умений и навыков.

Вид: комбинированный урок.

Методы обучения: опрос в форме тематического кроссворда, решение задач, игра «Кто быстрее и точнее».

Студенты должны: уметь применять, изученные формулы на практике при решении задач.

ТСО и учебно-наглядные пособия: видеопроектор, ноутбук, экран, презентация к уроку, раздаточный материал для студентов с кроссвордом и задачами.

Ход урока:

1. Организационный момент (1 мин.)

  1. приветствие; проверка численности студентов;

  2. проверка готовности студентов к уроку.

2. Сообщение темы занятия: Тема сегодняшнего урока - Решение практических задач с применением вероятностных методов. А, цель, которую мы должны с вами выполнить – это научиться решать задачи с применением вероятностных методов. Но сначала давайте совершим небольшой экскурс в историю развития теории вероятностей. В настоящее время теория вероятностей имеет статус точной науки наравне с арифметикой, алгеброй, геометрией, тригонометрией и др. науками. Но начиналось всё весьма своеобразно.. А вот как это начиналось, расскажет Иванов Андрей.

3. Мотивация учебной деятельности (2 мин.): «На первом этапе истории теории вероятностей она рассматривалась как занимательный «пустячок», как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Богатый материал для наблюдения за случайностью на протяжении многих веков как раз и давали азартные игры. А всё началось с игры в кости. В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с V века до н.э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до н.э. Азартные игры в средние века практиковались главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Люди, многократно следившие за бросанием игральных костей, замечали некоторые закономерности, управляющие этой игрой. Результаты этих наблюдений формулировались как «Золотые правила» и были известны многим игрокам. Однако первые вычисления появились только в X-XI веках. И первые попытки логического анализа азартных игр сделали математики: Галилео Галилей, Джироламо Кардан, Блез Паскаль, Пьер Ферма.

Важный этап в развитии теории вероятностей связан с именами французских математиков: Блеза Паскаля и Пьера Ферма. В ответах этих ученых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории – вероятность события и математическое ожидание. Галилео Галилей внес значительный вклад в осмысление законов, управляющих случаем. Именно он заметил, что результаты измерений носят случайный характер. На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьезные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах еще в 16 веке. Но как математическая наука теория вероятностей начинается с работы выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений». В этом трактате доказан ряд теорем, в том числе и самая известная теорема «Закон больших чисел».

Развитие естествознания и техники, точных измерений, военного дела и связанной с ним теории стрельбы, учение о молекулах в кинетической теории газов ставило перед учеными конца XVIII века все новые и новые задачи теории вероятностей. Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй половине XIX и XX веках. Здесь фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школы П.Л.Чебышевым, А.М.Ляпуновым, А.Марковым. Строгое логическое обоснование теории вероятностей было дано в XX веке математиками: Хинчиным, Бернштейном, Колмогоровым, Линнником, Гнеденко.

Сейчас невозможно указать ни одной области человеческой деятельности, где бы ни применялись вероятностные исследования. Современная теория вероятностей является весьма разветвлённой наукой. В числе приложений можно указать приложения к статистической физике, квантовой теории, радиоэлектронике, теории случайных помех в линиях связи, теории автоматического регулирования. В биологии и медицине теория вероятностей применяется для обработки результатов экспериментов. Теория вероятностей применяется в вопросах, связанных с наследственностью и нервной деятельностью. Она применима при решении многих военных задач, а также задач, связанных с анализом экономики».

4.Актуализация опорных знаний (24 мин.)

Спасибо Андрею за интересный рассказ. А, теперь давайте вернёмся в действительность, и прежде чем перейти к рассмотрению темы сегодняшнего урока, повторим изученный материал, который естественно, является опорой для понимания и решения вероятностных задач. Опрос я разделила на три части: первая - разгадать кроссворд, вопросы которого относятся к основным понятиям и определениям теории вероятностей и математической статистики; вторая – я вам буду предлагать примеры событий, а вы должны будете определить их вид, и третья – вы сами должны будете привести примеры событий.

4.1. Разгадайте кроссворд и определите ключевое слово:

1 вопрос - Событие, которое в результате данного испытания обязательно произойдёт (достоверное).

2 вопрос - Величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счётное множество (дискретная).

3 вопрос - Два случайных события, одно из которых происходит в том случае, когда не происходит другое (противоположные).

4 вопрос - Результат произведённого испытания (событие).

5 вопрос - Соответствие между возможными значениями и их вероятностями называется закон ….. (распределения д.с.в.)

6 вопрос - Два события, появление одного из которых не исключает возможность появления другого (совместимые).

7 вопрос - Событие, которое в результате данного испытания может произойти или не произойти (случайное).

8 вопрос - События, которым условия испытания обеспечивают одинаковую возможность появления каждого из них (равновозможные).

9 вопрос - Основная числовая характеристика разброса возможных значений случайной величины Х (дисперсия).

10 вопрос - Реализация данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдёт какое – либо событие (испытание) .

11 вопрос - Его можно выносить за знак математического ожидания (множитель).

?Какое слово получилось? Дайте определение вероятности события.

?? В каких границах лежит вероятность события? (

??? Какому событию соответствует значение вероятности равное 0? (невозможному)

???? Какому событию соответствует значение вероятности равное 1? (достоверному)

4.2. Следующее задание: я вам привожу пример (какое – то событие), а вы должны будете определить его вид. А, картинки, на слайдах немного помогут вам в этом.

  1. Приход весны после зимы (достоверное)

  2. Пингвины летают (невозможное)

  3. Завтра будет солнечная погода (случайное)

  4. Появление 1, 4, 5 при бросании игральной кости (равновозможные)

  5. Игральную кость подбросили 1 раз. Событие А — появление одного очка. Событие В — появление нечётного числа очков (совместимые)

  6. Эйфелева башня находится в Берлине (невозможное)

  7. Бутерброд упадёт маслом вниз (случайное)

  8. Выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты (равновозможные)

  9. Попадание и промах при одном выстреле по цели (противоположные)

  10. 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом (достоверное)

  11. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» (противоположные).

  12. Монета подброшена вверх. Выпадение и герба и цифры при бросании монеты (несовместимые)

  13. Вы выходите на улицу, а навстречу вам идёт слон (невозможное)

  14. Выпадение 3 и 5 очков при двукратном бросании игральной кости (совместимые)

  15. Отказ и безотказная работа радиостанции в данный момент времени (несовместимые)

4.3. И последнее задание – я вам предлагаю вид события, а вы должны привести пример на это событие:

  1. достоверного события;

  2. невозможного события;

  3. случайного события;

  4. совместимых событий;

  5. несовместимых событий;

  6. равновозможных событий;

  7. противоположных событий.

5. Изучение нового материала (40 мин.): Молодцы, а, теперь открываем тетради с конспектами, записываем число, № урока и тему. Материал сегодняшнего урока мы будем разбирать с вами на конкретных примерах. Первый тип задач – это простейшие задачи на определение вероятности события.

Задача 1. В партии из 200 деталей имеется 8 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: Событие А - взятая наугад деталь стандартная. ?Каким событием является событие А? А - случайное событие. Число всех исходов , число исходов, благоприятствующих наступлению события А, Поэтому вероятность события равна

Ответ:

Задача 2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «урок». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «урок».

Решение: Событие А - из рассыпанных букв сложится слово «урок». ?Каким событием является событие А? А – случайное событие. Число всех возможных исходов равно . Число исходов, благоприятствующих наступлению событию А равно m =1. Вероятность события А равна.  Ответ: .

Теперь давайте рассмотрим задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Задача 3. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: Событие А - взяли синий карандаш, событие В - взяли зеленый карандаш, событие С - взяли синий или зеленый карандаш. ?Какими событиями являются события А и В? События А и В - несовместимые, поэтому применяем формулу сложения вероятностей. Всего исходов: .Тогда, найдём вероятности всех событий: , , . Ответ:

Задача 4. В первой урне 7 белых и 3 чёрных шара; во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара белые?

Решение: Событие А – вынутый белый шар из первой урны; В – вынутый белый шар из второй урны. ?Какими событиями являются события А и В? События А и В – независимые, поэтому применяем формулу умножения вероятностей независимых событий: . Число всех исходов Найдём вероятности событий: . Тогда Ответ: 0,21

И последний вопрос плана сегодняшнего урокавычисление числовых характеристик дискретной случайной величины я предлагаю вам рассмотреть самостоятельно. Работать вы будете в командах. Для этого вам надо разделиться на команды по 6 человек и в каждой выбрать «консультанта», который будет руководить вашей работой. Я вам выдам одинаковое задание, которое вы должны будете разобрать и оформить в тетрадях под руководством «консультанта» и студенты, выполнившие задание первыми – поднимают руку, показывают мне решение и оформляют его у доски; остальные проверяют решение.

Задача 5 . Пусть дан закон распределения дискретной случайной величины Х:

10

40

50

0,2

0,3

0,5

Найти числовые характеристики величины Х: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

6. Закрепление изученного материала (20 мин.)

У кого есть вопросы по рассмотренным задачам? Если нет, то закрепление изученного материала проведём в форме решения задач у доски и с помощью игры «Кто быстрее и точнее».

Решение задач.

1. В лотерее из 2000 билетов имеются 150 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть = 2000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет = 150. Согласно формуле

№ 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев есть = 5 + 3, число случаев , благоприятствующих появлению А, равно 3. По формуле: Р (А) =  

3. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 5 очков.

Решение: событие А – выпадение 5 очков при бросании первой игральной кости; В – выпадение 5 очков при бросании второй игральной кости. События А и В совместимые, следовательно, применим терему сложения вероятностей совместимых событий: Найдём вероятности событий:

Тогда:

4. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15?

Решение: событие А - вынут шар с номером 15. Число всех возможных исходов равно . Число исходов, благоприятствующих событию А = 1.

Вероятность события А равна 

5. Пусть дан закон распределения дискретной случайной величины Х:

20

30

50

0,1

0,5

0,4

Найти числовые характеристики величины Х: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

А, теперь, давайте поиграем в игру «Кто быстрее и точнее». Для этого вам надо разделиться на команды. Правила деления на них такие же, которые уже использовались сегодня при изучении нового материала. Я предлагаю вам не создавать новые команды, а сохранить прежние составы. Затем, всем командам я выдам по 3 одинаковые задачи на вычисление вероятности события, которые вы должны будете совместно решить и оформить на специальных бланках. Консультант, чья команда выполнила все задания поднимает руку и сдаёт мне решение на проверку . Победа присуждается команде, решившей все задачи быстро и правильно. Кстати, консультант может оценить работу студентов своей команды от 1 до 5 баллов и поставить её в специальный бланк. Но, оценка должна быть объективной и отражать вклад студента в победу всей команды.

  1. В урне содержится 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из неё вынимается наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый? (

  2. Монету подбросили 2 раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет герб. ()

  3. В урне содержится 5 белых, 6 красных, 7 синих и 4 зелёных шара. Вынимают наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный? (0)

Победа в игре присуждается команде под руководством________________

7. Подведение итогов урока: (1 мин.)

Молодцы. Вы сегодня хорошо поработали, и надеюсь, научились решать простейшие задачи с применением вероятностных методов. Но, что всё – таки дал вам сегодняшний урок? Предлагаю вам продолжить следующие фразы:

  • Сегодня на уроке я повторил …

  • Сегодня на уроке я научился …

  • Сегодня на уроке я узнал, что …

8, 9. Задание для внеаудиторной самостоятельной работы и домашнее задание (1 мин).

Запишите домашнее задание: 1) повторить конспект урока; 2) решить задачи; 3) составить тест из 10 вопросов по разделу ««Элементы теории вероятностей и математической статистики». Это задание выполняется в тетрадях, для внеаудиторной самостоятельной работы. Тест принести к следующему уроку.

Урок окончен, можете идти.

10. Рекомендуемая литература:

  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М., 2006.

  2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика. – М., 2007.

Преподаватель: ______________ /Кузнецова Л.В./

РАЗВЁРНУТЫЙ ПЛАН – КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА № 77

Тема урока: Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Цели урока:

1) образовательная: формирование умений решать практические задачи с применением вероятностных методов;

2) развивающая: развивать коммуникативные свойства речи;

3) воспитательная: воспитание ответственности за полученные знания.

Тип урока: урок формирования и совершенствования умений и навыков.

Вид: комбинированный урок.

Методы обучения: опрос в форме тематического кроссворда, решение задач, игра «Кто быстрее и точнее».

Студенты должны: уметь применять, изученные формулы на практике при решении задач.

ТСО и учебно-наглядные пособия: видеопроектор, ноутбук, экран, презентация к уроку, раздаточный материал для студентов с кроссвордом и задачами.

Ход урока:

1. Организационный момент (1 мин.) Здравствуйте, садитесь. Давайте отметим присутствующих.

2. Сообщение темы занятия: Тема сегодняшнего урока – это «Решение практических задач с применением вероятностных методов». А, цель урока – научиться решать задачи с применением данных методов. Но сначала давайте совершим небольшой экскурс в историю развития теории вероятностей. В настоящее время теория вероятностей имеет статус точной науки наравне с арифметикой, алгеброй, геометрией, тригонометрией и др. науками. Но начиналось всё весьма своеобразно... А вот как это начиналось, расскажет Иванов Андрей.

3. Мотивация учебной деятельности (2 мин.): «На первом этапе истории теории вероятностей она рассматривалась как занимательный «пустячок», как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Богатый материал для наблюдения за случайностью на протяжении многих веков как раз и давали азартные игры. А всё началось с игры в кости. В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с V века до н.э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до н.э. Азартные игры в средние века практиковались главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Люди, многократно следившие за бросанием игральных костей, замечали некоторые закономерности, управляющие этой игрой. Результаты этих наблюдений формулировались как «Золотые правила» и были известны многим игрокам. Однако первые вычисления появились только в X-XI веках. И первые попытки логического анализа азартных игр сделали математики: Галилео Галилей, Джироламо Кардан, Блез Паскаль, Пьер Ферма. Важный этап в развитии теории вероятностей связан с именами французских математиков: Блеза Паскаля и Пьера Ферма. В ответах этих ученых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории – вероятность события и математическое ожидание. Галилео Галилей внес значительный вклад в осмысление законов, управляющих случаем. Именно он заметил, что результаты измерений носят случайный характер. На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьезные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах еще в 16 веке. Но как математическая наука теория вероятностей начинается с работы выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений». В этом трактате доказан ряд теорем, в том числе и самая известная теорема «Закон больших чисел».

Развитие естествознания и техники, точных измерений, военного дела и связанной с ним теории стрельбы, учение о молекулах в кинетической теории газов ставило перед учеными конца XVIII века все новые и новые задачи теории вероятностей. Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй половине XIX и XX веках. Здесь фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школы П.Л.Чебышевым, А.М.Ляпуновым, А.Марковым. Строгое логическое обоснование теории вероятностей было дано в XX веке математиками: Хинчиным, Бернштейном, Колмогоровым, Линнником, Гнеденко.

Сейчас невозможно указать ни одной области человеческой деятельности, где бы ни применялись вероятностные исследования. Современная теория вероятностей является весьма разветвлённой наукой. В числе приложений можно указать приложения к статистической физике, квантовой теории, радиоэлектронике, теории случайных помех в линиях связи, теории автоматического регулирования. В биологии и медицине теория вероятностей применяется для обработки результатов экспериментов. Теория вероятностей применяется в вопросах, связанных с наследственностью и нервной деятельностью. Она применима при решении многих военных задач, а также задач, связанных с анализом экономики».

4.Актуализация опорных знаний (24 мин.)

Спасибо Андрею за интересный рассказ. А, теперь давайте вернёмся к действительности, и прежде чем перейти к рассмотрению темы сегодняшнего урока, повторим изученный материал, который естественно, является опорой для понимания и решения вероятностных задач. Опрос будет состоять из трёх заданий: первое задание - разгадать кроссворд, вопросы которого относятся к основным понятиям и определениям теории вероятностей и математической статистики; второе задание – вам будут предложены примеры событий, а ваша задача - определить их вид, и третье задание – вы должны сами привести примеры событий.

1. Итак, первое задание - разгадайте кроссворд:

1 вопрос - Событие, которое в результате данного испытания обязательно произойдёт (достоверное).

2 вопрос - Величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счётное множество (дискретная).

3 вопрос - Два случайных события, одно из которых происходит в том случае, когда не происходит другое (противоположные).

4 вопрос - Результат произведённого испытания (событие).

5 вопрос - Соответствие между возможными значениями и их вероятностями называется закон ….. (распределения д.с.в.)

6 вопрос - Два события, появление одного из которых не исключает возможность появления другого (совместимые).

7 вопрос - Событие, которое в результате данного испытания может произойти или не произойти (случайное).

8 вопрос - События, которым условия испытания обеспечивают одинаковую возможность появления каждого из них (равновозможные).

9 вопрос - Основная числовая характеристика разброса возможных значений случайной величины Х (дисперсия).

10 вопрос - Реализация данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдёт какое – либо событие (испытание) .

11 вопрос - Его можно выносить за знак математического ожидания (множитель).

Как вы видите, получилось ключевое слово – вероятность.

? Дайте определение вероятности события.

?? В каких границах лежит вероятность события? (

??? Какому событию соответствует значение вероятности равное 0? (невозможному)

???? Какому событию соответствует значение вероятности равное 1? (достоверному)

2. Следующее задание: я вам привожу пример события, а вы должны определить его вид. А, картинки, на слайдах немного помогут вам в этом.

  1. Приход весны после зимы (достоверное)

  2. Пингвины летают (невозможное)

  3. Завтра будет солнечная погода (случайное)

  4. Появление 1, 4, 5 при бросании игральной кости (равновозможные)

  5. Игральную кость подбросили 1 раз. Событие А — появление одного очка. Событие В — появление нечётного числа очков (совместимые)

  6. Эйфелева башня находится в Берлине (невозможное)

  7. Бутерброд упадёт маслом вниз (случайное)

  8. Выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты (равновозможные)

  9. Попадание и промах при одном выстреле по цели (противоположные)

  10. 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом (достоверное)

  11. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» (противоположные).

  12. Монета подброшена вверх. Выпадение и герба и цифры при бросании монеты (несовместимые)

  13. Вы выходите на улицу, а навстречу вам идёт слон (невозможное)

  14. Выпадение 3 и 5 очков при двукратном бросании игральной кости (совместимые)

  15. Отказ и безотказная работа радиостанции в данный момент времени (несовместимые)

3. И последнее задание – я вам предлагаю вид события, а вы должны привести пример на это событие. Итак:

  1. приведите пример достоверного события;

  2. приведите пример невозможного события;

  3. приведите пример случайного события;

  4. приведите пример совместимых событий;

  5. приведите пример несовместимых событий;

  6. приведите пример равновозможных событий;

  7. приведите пример противоположных событий.

5. Изучение нового материала (40 мин.): Молодцы, а, теперь открываем тетради с конспектами, записываем число, № урока и тему. Материал сегодняшнего урока мы будем разбирать с вами на конкретных примерах. Первый тип задач – это простейшие задачи на определение вероятности события. Решая задачи на вычисление вероятности необходимо придерживаться следующего алгоритма:

  1. определить в чём заключается данное событие;

  2. определить вид события (или событий);

  3. найти число всех исходов и число, благоприятствующих исходов

  4. в зависимости от вида события (или событий) применить нужную формулу для вычисления вероятности.

Задача 1. В партии из 200 деталей имеется 8 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: 1) Событие А - взятая наугад деталь стандартная. 2)Каким событием является событие А? А - случайное событие. 3) Число всех исходов , число исходов, благоприятствующих наступлению события А, т.е. стандартных деталей - 4) Вероятность события находится по формуле , следовательно, Ответ:

Задача 2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «урок». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «урок».

Решение: 1) Событие - из рассыпанных букв сложится слово «урок». 2) Каким событием является событие А? – случайное событие. 3) Число всех возможных исходов – это перестановки из 4- х букв, т.к. ребёнок может собрать слово из 4-х букв, располагая их в любом порядке, поэтому, число всех исходов находится по формуле: . Число исходов, благоприятствующих наступлению событию А равно =1.

4) Следовательно, вероятность события равна.  Ответ: .

Теперь давайте рассмотрим задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Задача 3. В коробке лежат 7 синих, 8 зеленых, и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: 1) Событие А - взяли синий карандаш, событие В - взяли зеленый карандаш, событие С - взяли синий или зеленый карандаш. 2) Какими событиями являются события А и В? События А и В - несовместимые, поэтому применим формулу сложения вероятностей несовместимых событий. 3) Всего всех исходов: ; число исходов благоприятствующих наступлению события А – , а, благоприятствующих наступлению события В – 4) Найдём вероятности всех событий: а) вероятность того, что взяли синий карандаш равна - , б) вероятность того, что взяли зелёный карандаш равна - , в) вероятность того, что взятый наугад карандаш синий или зеленый равна - . Ответ:

Задача 4. В первой урне 7 белых и 3 чёрных шара; во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара белые?

Решение: 1) Событие – вынутый белый шар из первой урны; В – вынутый белый шар из второй урны. 2)Какими событиями являются события А и В? События А и В – независимые, поэтому применяем формулу умножения вероятностей независимых событий: . 3) Число всех исходов 4)Найдём вероятности всех событий: а) вероятность того, вынутый из первой урны шар белый равна - б) вероятность того, что вынутый из второй урны шар белый равна - ; в) вероятность того, что оба вынутых шара белые равна - Ответ: 0,21

И последний тип задач это задачи на вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины я предлагаю вам рассмотреть самостоятельно. Работать вы будете в командах. Для этого вам надо разделиться на команды по 6 человек и в каждой выбрать «консультанта», который будет руководить вашей работой. Я вам выдам одинаковое задание, которое вы должны будете разобрать и оформить в тетрадях под руководством «консультанта» и студенты, выполнившие задание первыми – поднимают руку, показывают мне решение и оформляют его у доски; остальные проверяют решение.

Задача 5 . Пусть дан закон распределения дискретной случайной величины Х:

10

40

50

0,2

0,3

0,5

Найти числовые характеристики величины Х: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

6. Закрепление изученного материала (20 мин.)

У кого есть вопросы по рассмотренным задачам? Если нет, то закрепление изученного материала проведём в форме решения задач у доски и с помощью игры «Кто быстрее и точнее».

Решение задач.

1. В лотерее из 2000 билетов имеются 150 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть = 2000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет = 150. Согласно формуле

№ 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев есть = 5 + 3, число случаев , благоприятствующих появлению А, равно 3. По формуле: Р (А) =  

3. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 5 очков.

Решение: событие А – выпадение 5 очков при бросании первой игральной кости; В – выпадение 5 очков при бросании второй игральной кости. События А и В совместимые, следовательно, применим терему сложения вероятностей совместимых событий: Найдём вероятности событий:

Тогда:

4. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15?

Решение: событие А - вынут шар с номером 15. Число всех возможных исходов равно . Число исходов, благоприятствующих событию А = 1.

Вероятность события А равна 

5. Пусть дан закон распределения дискретной случайной величины Х:

20

30

50

0,1

0,5

0,4

Найти числовые характеристики величины Х: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение: 1)

2)

;

3)

6. Пусть известны законы распределения двух независимых случайных величин

Составить закон распределения случайной величины .

Решение:

Составим закон распределения случайной величины :

25

35

45

40

50

60

0,08

0,02

0,1

0,32

0,08

0,4

Запишем в порядке возрастания значения Х и окончательно получим:

25

35

40

45

50

60

0,08

0,02

0,32

0,1

0,08

0,4

проверка:

А, теперь, давайте поиграем в игру «Кто быстрее и точнее». Для этого вам надо разделиться на команды. Правила деления на них такие же, которые уже использовались сегодня при изучении нового материала. Я предлагаю вам не создавать новые команды, а сохранить прежние составы. Затем, всем командам я выдам по 3 одинаковые задачи на вычисление вероятности события, которые вы должны будете совместно решить и оформить на специальных бланках. Консультант, чья команда выполнила все задания поднимает руку и сдаёт мне решение на проверку . Победа присуждается команде, решившей все задачи быстро и правильно. Кстати, консультант может оценить работу студентов своей команды от 1 до 5 баллов и поставить её в специальный бланк. Но, оценка должна быть объективной и отражать вклад студента в победу всей команды.

  1. В урне содержится 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из неё вынимается наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый? (

  2. Монету подбросили 2 раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет герб. ()

  3. В урне содержится 5 белых, 6 красных, 7 синих и 4 зелёных шара. Вынимают наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный? (0)

Победа в игре присуждается команде под руководством________________

7. Подведение итогов урока: (1 мин.)

Молодцы. Вы сегодня хорошо поработали, и надеюсь, научились решать простейшие задачи с применением вероятностных методов. Но, что всё – таки дал вам сегодняшний урок? Предлагаю вам продолжить следующие фразы:

  • Сегодня на уроке я повторил …

  • Сегодня на уроке я научился …

  • Сегодня на уроке я узнал, что …

8, 9. Задание для внеаудиторной самостоятельной работы и домашнее задание (1 мин).

Запишите домашнее задание: 1) повторить конспект урока; 2) решить задачи; 3) составить тест из 10 вопросов по разделу ««Элементы теории вероятностей и математической статистики». Это задание выполняется в тетрадях, для внеаудиторной самостоятельной работы. Тест принести к следующему уроку. Урок окончен, можете идти.

10. Рекомендуемая литература: 1)Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. 2) Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика.

ОПРОС

1. Вопросы к кроссворду:

  1. Событие, которое в результате данного испытания обязательно произойдёт.

  2. Величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счётное множество.

  3. Два случайных события, одно из которых происходит в том случае, когда не происходит другое.

  4. Результат произведённого испытания.

  5. Соответствие между возможными значениями и их вероятностями называется закон …..

  6. Два события, появление одного из которых не исключает возможность появления другого.

  7. Событие, которое в результате данного испытания может произойти или не произойти.

  8. События, которым условия испытания обеспечивают одинаковую возможность появления каждого из них.

  9. Основная числовая характеристика разброса возможных значений случайной величины Х.

  10. Реализация данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдёт какое – либо событие.

  11. Его можно выносить за знак математического ожидания.

2. Определите виды событий:

  1. Приход весны после зимы.

  2. Пингвины летают.

  3. Завтра будет солнечная погода.

  4. Появление 1, 4, 5 при бросании игральной кости.

  5. Игральную кость подбросили 1 раз. Событие А — появление одного очка. Событие В — появление нечётного числа очков.

  6. Эйфелева башня находится в Берлине.

  7. Бутерброд упадёт маслом вниз.

  8. Выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты.

  9. Попадание и промах при одном выстреле по цели.

  10. 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

  11. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь».

  12. Монета подброшена вверх. Выпадение и герба и цифры при бросании монеты.

  13. Вы выходите на улицу, а навстречу вам идёт слон.

  14. Выпадение 3 и 5 очков при двукратном бросании игральной кости.

  15. Отказ и безотказная работа радиостанции в данный момент времени.

ИЗЛОЖЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Задача 1. В партии из 200 деталей имеется 8 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Задача 2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «урок». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «урок».

Задача 3. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Задача 4. В первой урне 7 белых и 3 чёрных шара; во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара белые?

Самостоятельная работа студентов.

Задача 5. Пусть дан закон распределения дискретной случайной величины Х:

10

40

50

0,2

0,3

0,5

Найти числовые характеристики величины Х: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ

1. В лотерее из 2000 билетов имеются 150 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

№ 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

3. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 5 очков.

4. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15?

5. Пусть дан закон распределения дискретной случайной величины Х:

20

30

50

0,1

0,5

0,4

Найти числовые характеристики величины Х: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

ИГРА «Кто быстрее и точнее»

  1. В урне содержится 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из неё вынимается наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

  2. Монету подбросили 2 раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет герб.

  3. В урне содержится 5 белых, 6 красных, 7 синих и 4 зелёных шара. Вынимают наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Микрогруппа 1

  1. ________________________________________________

  2. ________________________________________________

  3. ________________________________________________

  4. ________________________________________________

  5. ________________________________________________

  6. Консультант - ___________________________________

Игра «Кто быстрее и точнее»

  1. В урне содержится 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из неё вынимается наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

Решение: ______________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: _____________________________________

  1. Монету подбросили 2 раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет герб.

Решение: _____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________Ответ: ______________________________

  1. В урне содержится 5 белых, 6 красных, 7 синих и 4 зелёных шара. Вынимают наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение: _____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: _____________________________

Сообщение студента

Иванов А.: «На первом этапе истории теории вероятностей она рассматривалась как занимательный «пустячок», как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Богатый материал для наблюдения за случайностью на протяжении многих веков как раз и давали азартные игры. А всё началось с игры в кости. В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с V века до н.э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до н.э. Азартные игры в средние века практиковались главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Люди, многократно следившие за бросанием игральных костей, замечали некоторые закономерности, управляющие этой игрой. Результаты этих наблюдений формулировались как «Золотые правила» и были известны многим игрокам. Однако первые вычисления появились только в X-XI веках. И первые попытки логического анализа азартных игр сделали математики: Галилео Галилей, Джироламо Кардан, Блез Паскаль, Пьер Ферма.

Важный этап в развитии теории вероятностей связан с именами французских математиков: Блеза Паскаля и Пьера Ферма. В ответах этих ученых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории – вероятность события и математическое ожидание. Галилео Галилей внес значительный вклад в осмысление законов, управляющих случаем. Именно он заметил, что результаты измерений носят случайный характер. На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьезные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах еще в 16 веке. Но как математическая наука теория вероятностей начинается с работы выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений». В этом трактате доказан ряд теорем, в том числе и самая известная теорема «Закон больших чисел».

Развитие естествознания и техники, точных измерений, военного дела и связанной с ним теории стрельбы, учение о молекулах в кинетической теории газов ставило перед учеными конца XVIII века все новые и новые задачи теории вероятностей. Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй половине XIX и XX веках. Здесь фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школы П.Л.Чебышевым, А.М.Ляпуновым, А.Марковым. Строгое логическое обоснование теории вероятностей было дано в XX веке математиками: Хинчиным, Бернштейном, Колмогоровым, Линнником, Гнеденко.

Сейчас невозможно указать ни одной области человеческой деятельности, где бы ни применялись вероятностные исследования. Современная теория вероятностей является весьма разветвлённой наукой. В числе приложений можно указать приложения к статистической физике, квантовой теории, радиоэлектронике, теории случайных помех в линиях связи, теории автоматического регулирования. В биологии и медицине теория вероятностей применяется для обработки результатов экспериментов. Теория вероятностей применяется в вопросах, связанных с наследственностью и нервной деятельностью. Она применима при решении многих военных задач, а также задач, связанных с анализом экономики».

Автор
Дата добавления 20.02.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Конспект урока
Просмотров1463
Номер материала 2819
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.