Методическая разработка учебного занятия на тему " Решение различных видов тригонометрических уравнений"

«Решение различных видов тригонометрических уравнений»

Специальность 23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте

Пояснительная записка к методической разработке учебного занятия.

Автор разработки: Селянина Мария Сергеевна

Тема урока: «Решение различных видов тригонометрических уравнений»

Целевая аудитория: обучающиеся 1 курса

Учебник: Алгебра и начала анализа, 10-11 кл., под редакцией А.Н. Колмогорова

Раздел: Тригонометрия

Цели:

-Познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений;

- Закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- Воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Оборудование: мультимедийный проектор; мультимедийная презентация к учебному занятию, раздаточный материал.

Тема учебного занятия и цели соответствуют друг другу, обеспечивая восприятие и запоминание учебного материала, формирование умений и навыков, связанных с данной темой. В процессе работы на уроке были использованы репродуктивный метод, наглядно-иллюстративный метод. Повышению интереса и мотивации обучающихся способствовало применение современных инновационно-коммуникационных технологий (ИКТ).

В начале учебного занятияпредлагается провести небольшую самостоятельную работу, способствующую восприятию нового материала. Новый материал изучается в лекционной форме.Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой и объяснением у доски (один обучающийся выполняет работу на доске). Во время работы преподаватель оказывает помощь обучающимся.Контролирует результаты учебной деятельности. Развивалось умение анализировать, выявлять причинно-следственные связи, умение обобщать, применять ранее полученные знания.

Данная методическая разработка учебного занятия может быть использована преподавателями при подготовке к учебному занятию по математике на 1 курсе, а также студентами – заочниками при подготовке к экзамену.

Тема:«Решение различных видов тригонометрических уравнений»

Цель учебного занятия:

-Познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений;

- Закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

-Воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Тип учебного занятия:комбинированное учебное занятие

Форма проведения учебного занятия:лекция, практическая работа

Средства обучения:

1. Компьютер.

2. Мультимедиапроектор.

3. Презентация Microsoft PowerPoint «Решение тригонометрических уравнений».

4. Таблица значений обратных тригонометрических функций.

5. Сводная таблица формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

6. Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений под ред. А. Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа

План учебного занятия:

1.Организационный момент;

2.Актуализация опорных знаний;

3.Изучение нового материала;

4.Закрепление изученного материала;

5.Инструктаж по домашнему заданию;

6.Итоги учебного занятия.

Структура учебного занятия:

Ход учебного занятия:

1.Организационный момент: Постановка цели учебного занятия перед обучающимися.

2.Актуализация опорных знаний через решение простейших тригонометрических уравненийс использованиеммультимедийного проектора и соответствующих слайдов.Проверка знаний и умений обучающихся для подготовки к новой теме.

Решите тригонометрические уравнения.

	Вариант 1		Вариант 2
1	2sin x= 1	1	sin x = 1
2	2cos x =	2	2cos x = 1
3	-x) = 1	3	2sin x =1
4	сtg( 4	4	cos ( = 1
5	sin 3x =	5	tg( 4

Ответы:

Вариант 1. x= + x=±+2. x=+ x=+ x= +

Вариант 2. x= + x=±+2. x=+ x= x=+

Можно организовать взаимопроверку данной работы в парах.

3. Изучение нового материала

Обучающиеся изучают три вида тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, представляющие собой квадратные уравнения относительно какой-либо тригонометрической функции, либо сводимые к нему. Если в уравнение входят тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом следует выбирать эту функцию так, чтобы получилось квадратное уравнение относительно неё уравнение. Введя вспомогательную переменную и решив квадратное уравнение, переходим к решению одного из простейших тригонометрических уравнений.

Например:+6sinx -3=0.

Решение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, откуда

x=1-x,получаем:

8(1-)+6sinx -3 = 0,

8-6sinx -5=0.

Сделаем замену пусть sinx = t, тогда 8-t-5=0, получаем:t₁₌ или t₂= - .

Сделаем обратную замену:

sinx =–уравнение корней не имеет, так какфункция sinxне может быть больше единицы.

sinx=

x=arcsin() +

x=arcsin+

x= +

Ответ:x=+

2. Решение уравнений,левая часть которых разлагается на множители, а правая равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные (при этом значении переменной) имеют смысл, также сводятся к решению простейших тригонометрический уравнений и к проверке того, не теряют ли смысл остальные множители при этом значении переменной.

3. Однородные уравнения первой и второй степени относительно синуса и косинуса или сводимые к ним. Часто однородные уравнения в начальном виде не очевидны, но могут быть преобразованы в явно однородные.

Например:sin 2 x+ x=0

Являются однородными, если sin2xзаменить по формуле двойного аргумента, то есть привести уравнение к виду 2sinxcosx +

Чтобы степень уравнения не понизилась, делим всё на x0; уравнение

x +2tgx = 0- это неполное квадратное уравнение относительно tgx.

В итоге получаем: x= или x= -arctg2+, nZ.

Например:1)= 2

Тоже приводиться к однородному уравнению, если правую часть умножить на выражение x +x=1. Это уравнение в результате приводится к виду

x -4sinxcosx+ 3x =0.

2) 3sin²x +sin x cos x =2cos² x.

Имеем однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделив обе части уравнения на cos² x , получим 3tg²x +tgx – 2 = 0

При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на множители, можно использовать все известные способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращённого умножения.

3) 1+ cosx +cos 2x =0.

Решение. Выражение 1+cos 2xзаменяем выражением 2cos² x. Тогда уравнение примет вид2cos2 x+cosx=0

Разложив левую часть этого уравнения на множители:сosx (2cosx +1) =0, получаем:

сos x=0 , x=

2cos x +1 = 0, 2 cos x= -1, cos x =-,

х= arсcos (- )+2x=±+2.

Ответ: = π/2+πn,n∈Z, +-2/3 π+2πn,n∈Z.

4. Закрепление изученного материала.

Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой и объяснением у доски (один обучающийся выполняет работу на доске). Во время работы преподаватель оказывает помощь обучающимся.Контроль за результатами учебной деятельности, осуществляемый педагогом и обучающимися, оценка знаний.

Выполните задания: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений под ред. А. Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа; стр. 80, №№ 164,165,167,168, 169(а, в)

5. Домашнее задание:Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений под ред. А. Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа; стр.80,№ № 164,165,169 (б, г)

6. Подведение итогов учебного занятия, озвучивание оценок за работу на учебном занятии.