Уроки математики / Другое / Повышение точности вычисления переходного процесса за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка (первого - формула трапеций, или второго - формула парабол (Симпсона))

Повышение точности вычисления переходного процесса за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка (первого - формула трапеций, или второго - формула парабол (Симпсона))

Повышение точности вычисления переходного процесса за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка (первого - формула трапеций, или второго - формула парабол (Симпсона)).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

.

4. Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

.

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

,

или относительно переменной :

.

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет:

,

где - постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:

Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

.

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:

Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:

Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

t

Аналитическое

решение

Аппроксимация

Падэ порядка 1

Аппроксимация

Падэ порядка 2

Аппроксимация

Падэ порядка 3

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0.1

1.066

0.3475

1.0670

0.3483

1.0660

0.3475

1.066

0.3475

0.2

1.072

-0.2023

1.0740

-0.2018

1.0720

-0.2023

1.072

-0.2023

0.3

1.029

-0.6434

1.0320

-0.6440

1.0290

-0.6434

1.029

-0.6434

0.4

0.9478

-0.9755

0.9513

-0.9778

0.9478

-0.9755

0.9478

-0.9755

0.5

0.8380

-1.203

0.8420

-1.207

0.8380

-1.203

0.8380

-1.203

0.6

0.7103

-1.335

0.7145

-1.341

0.7102

-1.335

0.7102

-1.335

0.7

0.5737

-1.383

0.5779

-1.391

0.5737

-1.383

0.5737

-1.383

0.8

0.4360

-1.360

0.4398

-1.369

0.4360

-1.360

0.4360

-1.360

0.9

0.3035

-1.280

0.3068

-1.290

0.3035

-1.280

0.3035

-1.280

1.0

0.1814

-1.156

0.1839

-1.167

0.1814

-1.156

0.1814

-1.156

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5-6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

.

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

t

Точное решение

Интегрирование по формуле прямоугольников

Интегрирование по формуле трапеций

Интегрирование по формуле парабол

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0.1

1.16576

0.328872

1.16422

0.302569

1.16514

0.330031

1.16576

0.328872

0.2

1.26681

-0.271328

1.26234

-0.318851

1.26567

-0.269062

1.26680

-0.271346

0.3

1.31004

-0.785828

1.30176

-0.849621

1.30849

-0.782554

1.31125

-0.802579

0.4

1.30354

-1.20604

1.29100

-1.28147

1.30167

-1.20189

1.30354

-1.20605

0.5

1.25599

-1.52886

1.23917

-1.61178

1.25389

-1.52399

1.25944

-1.55740

0.6

1.17619

-1.75579

1.15542

-1.84257

1.17395

-1.75039

1.17618

-1.75580

0.7

1.07265

-1.89209

1.04854

-1.97973

1.07033

-1.88633

1.07991

-1.92961

0.8

0.953246

-1.94585

0.926640

-2.03193

0.950907

-1.93991

0.953243

-1.94586

0.9

0.825009

-1.92713

0.796891

-2.00986

0.822699

-1.92120

0.837584

-1.97248

1.0

0.693974

-1.84722

0.665412

-1.92534

0.691726

-1.84145

0.693977

-1.84722

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.

Автор
Дата добавления 18.05.2017
Раздел Высшая математика
Подраздел Другое
Просмотров265
Номер материала 4112
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.