Презентация по теме "Объем шара" 11 класс

ОЗНАКОМИТЕЛЬНО-ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ПРОЕКТ ПО ГЕОМЕТРИИ НА ТЕМУ «ОБЪЕМЫ ТЕЛ». «Объем шара».

СОДЕРЖАНИЕ. 1)Объем шара. 2)Объем шарового сегмента. 3)Объем шарового слоя. 4)Объем шарового сектора. 5)Решение задачи. 6)Решение «жизненных» задач. 7) «Шар вокруг нас». 8)Используемая литература. .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА. Шар - тело, ограниченное сферой. .

ОБЪЕМ ШАРА. Теорема. Объем шара радиуса R равен

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямо­угольного треугольника ОМС находим:                                  Так как , то                Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , ,получим Теорема доказана.

ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ. Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.

ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА.

ШАРОВОЙ СЛОЙ. Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЛОЯ. Объём шарового слоя можно найти как разность объёмов двух шаровых сегментов, и запоминать отдельную формулу для его вычисления нет надобности.

ШАРОВОЙ СЕКТОР. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90º, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕКТОРА.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ. Задача №1. Найти объём сегмента, отсекаемого от шара радиуса R гранью вписанного в шар куба (при её продолжении).

РЕШЕНИЕ. Диагональ куба, вписанного в шар, является диаметром шара. Отсюда имеем для ребра куба   Стрелка сегмента, объём которого мы должны определить, равна и по формуле для объёма сегмента находим Ответ: Vсегм= .

РЕШЕНИЕ «ЖИЗНЕННЫХ» ЗАДАЧ. Чего больше на диске, изображенном на картинке — записанной информации или свободного места?

РЕШЕНИЕ. С точки зрения математики, и CD– и DVD–диск это кольцо. Радиус внутренней окружности, ограничивающей круг, на который ничего не пишется, равен двум сантиметрам, а радиус всего стандартного диска — шести сантиметрам. Информация записывается по спиральной дорожке, разматывающейся от меньшей окружности к большей.  Так как одинаковому количеству информации соответствует одинаковая длина дорожки, то объем информации, записанной на «болванку», пропорционален площади  занятого кольца.

ОТЧЕГО ЖЕ ВОЗНИКАЕТ ТАКОЙ ЭФФЕКТ? Для того, чтобы была занята ровно половина «болванки», внутреннее кольцо должно иметь ширину приблизительно равную 2,5 см, а внешнее кольцо — около 1,5 см.

НА ПЛОСКОСТИ ШАРОМ ЯВЛЯЕТСЯ КРУГ И, СООТВЕТСТВЕННО, ОБЪЁМ ЕСТЬ ПЛОЩАДЬ ЭТОГО КРУГА. КАК ВЫ ВСЕ ХОРОШО ЗНАЕТЕ, ПЛОЩАДЬ КРУГА РАДИУСА R РАВНА Π•R². ЧТОБЫ ПОСЧИТАТЬ ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА НУЖНО ИЗ ПЛОЩАДИ БОЛЬШОГО КРУГА ВЫЧЕСТЬ ПЛОЩАДЬ НЕИСПОЛЬЗУЕМОГО МАЛЕНЬКОГО — Π•(R²-R²). И ТАК КАК ВСЕ ЗАВИСИТ ОТ РАДИУСА, ДА ЕЩЕ В КВАДРАТЕ, ТО, ЧЕМ БЛИЖЕ К БОЛЬШЕМУ РАДИУСУ ОПИСАНО КОЛЬЦО, ТЕМ БОЛЬШЕ, ПРИ ТОЙ ЖЕ ШИРИНЕ, ЕГО ВКЛАД В ПЛОЩАДЬ. В нашем трехмерном пространстве объём шара зависит от радиуса, возведенного в третью степень. А значит, и рассматриваемый эффект становится еще более выраженным: большая часть объёма шара сосредоточена рядом с границей!

Чего больше по объёму в этом апельсине — кожуры или мякоти?

РЕШЕНИЕ. Кожура занимает, казалось бы, не очень толстый слой, но он расположен рядом с границей шара. И его объём на приведенном рисунке равен объёму всей вкусной части апельсина. Покупая апельсин с толстой кожурой, по объёму Вы приобретаете в основном кожуру.(!!!)

«ШАР ВОКРУГ НАС».

СТЕКЛЯННОЕ ЗДАНИЕ-ШАР В ДРЕЗДЕНЕ

СВЕТОДИОДНЫЙ СВЕТИЛЬНИК В ФОРМЕ ШАРА LED BALL (OUTDOOR)

ФЕЙЕРВЕРКИ

КОМПЛЕКС АДМИНИСТРАТИВНЫХ ЗДАНИЙ ПРАВИТЕЛЬСТВА МОСКВЫ И МОСКОВСКОЙ ГОРОДСКОЙ ДУМЫ.

ДОМ-ГЛОБУС В ДРЕЗДЕНЕ (1928 Г.)

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА. 1)Геометрия (учебник для 10-11 кл.) Л.С.Атанасян. М. «Просвещение» 1994 г. 2)»Математика в формулах и таблицах» 5-11 кл. Справочное пособие. Дрофа 2002 г. 3) «Энциклопедический словарь юного математика». М. «Педагогика» 1989 г. 4)Ресурсы интернета.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!