Учебная презентация "Сфера и шар"

Определение. - сфера - шар 2. Касательная плоскость к сфере. - доказательство теоремы 3. Площадь сферы. 4. Объём шара(доказательство теоремы) - продолжение доказательства 5. Объём шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. - объём шарового сегмента - объём шарового слоя - объём шарового сектора 6. Задачи для самостоятельного решения.

Сфера-это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (центра сферы). О- центр сферы О R

Шар- это тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы называются, центром, радиусом и диаметром шара. О R

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. А-точка касания О А ƒ К теореме

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. ƒ А О

Рассмотрим плоскость ƒ, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА ┴ ƒ. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости ƒ, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости ƒ меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость ƒ-касательная, т.е. сфера и плоскость ƒ имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА ┴ ƒ. Теорема доказана. ƒ А О

Для определения площади сферы нужно воспользоваться понятием описанного многогранника. Многогранник является описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Формула

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке О и описанный около неё многогранник, имеющий n граней. Занумеруем грани в произвольном порядке и обозначим через Si площадь i-й грани (i=1,2, …, n). Соединив центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим n пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами – радиусы сферы, проведённые в точки касания граней многогранника со сферой.

n где Рn= ∑ Si – площадь поверхности многогранника. i=1 Следовательно, объём i-й пирамиды равен 1/3 SiR, а объём Vn всего описанного многогранника равен n n Vn=∑ 1/3 SiR=1/3R∑ Si=1/3 RPn, i=1 i=1 Отсюда Рn=3Vn/R

Поэтому Так как при δ→0, то и Переходя к пределу в равенстве, получим По определению площади сферы S=lim Pn, n→∞ 4/3πR³<Vn<4/3π(R+δ)³ 4/3π(R+ δ)³→4/3 πR³ Vn→4/3πR³при δ→0 (n→ ∞) lim Pn=lim 3Vn/R=3/R lim Vn=3/R*4/3πR³=4πR². n→∞ n→∞ n→∞ следовательно, S=4πR².

Объём шара радиуса R равен 4/3πR³. Х С В Х О М Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(x), где х - абсцисса точки М. Выразим S(x) через x и R.

Из прямоугольного треугольника ОМС находим: r= √ОС2-ОМ2=√R-х2. Так как S(x)= πr2, то S(x)= π(R2-x2) Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию –R ≤ x ≤ R.

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = -R, b = R, получим R R R R R V=∫π(R²-x²)dx= πR²∫dx- π∫x²dx=πR²x│ -πx3/3│= -R -R -R -R -R = 4/3πR³

C X A O B AB=h ƒ Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке секущая плоскость ƒ, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг получившийся в сечении называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегментов

V=πh²(R-1/3h). Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке h=АВ), то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле Определение шарового сегмента

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов двух шаровых сегментов. (Так, на рисунке объём шарового слоя равен разности объёмов шаровых сегментов, высоты которых равны АС и АВ.) } Шаровой слой А В

O R r h Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по формуле V=2/3 πR²h. Определение шарового сектора

1. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см. (Ответ: 6 см) 2. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ= 13 см, ВС= 14 см, СА= 15 см. (Ответ: 3 см) 3. Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см. (Ответ: 58 500π см³)