Уроки математики / Конспект урока / Урок по алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии" (9 класс)

Урок по алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии" (9 класс)

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Класс: 9

Система подготовки: материал для подготовки изучения темы по алгебре и подготовительный этап для сдачи экзамена ОГЭ

Цель: формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии

Задачи: научить различать виды прогрессии, научить правильно, использовать формулы

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии ) 

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии 

Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Арифметическую прогрессию задано знаменателем  и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250. Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

 

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

 

 

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: 

Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

Примеры решения задач: Арифметическая прогрессия

Задача1

Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288м2.Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки? 

Решение

По условию задачи понятно ,что речь идет об арифметической прогрессии в которой пусть

а1=х, Sn=288, n=16

Тогда используем формулу: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200мм рт. ст.

288=(2х+2*15)*16/2

2х+30=36

х=3 


Расчитаем, сколько м2 выложат студенты за 11 дней: S11=(2*3+2*10)*11.2=143м 2

288-143=145м2осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней

145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней.

121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака

Ответ:124 коробки 

Задача2

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст. 

Решение

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха ,то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного движения поршня , нужно давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8.

Мы имеем геометрическую прогрессию ,первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст. ) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.86=200мм.рт. ст.

Ответ:200 мм.рт.ст.

Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.

Решение:

Найти число  членой арифметической прогресии 5,14,23,...,, если ее -ый член равен 239.

Решение:

Найти число  членов арифметической прогресии 9,12,15,...,, если ее сумма равна 306.

Решение:

Найдите х, при котором числа х-1, 2х-1, х2-5 составляют арифметическую прогрессию

Решение:

Найдем разность 1 и 2 членов прогрессии:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Найдем разность 2 и 3 членов прогрессии:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Т.к. разность одинакова, то и члены прогрессии можно приравнять:

x=x2-2x-4

x2-3x-4=0

D=9+16=25

x1=(3+5)/2=4

x2=(3-5)/2=-1

При проверке в обоих случаях получается арифметическая прогрессия

Ответ: при х=-1 и х=4

Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом a3=5; a7=13. Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

а3=а1+2d=5

a7=a1+6d=13

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, значит d=2

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

а1+2d=5

а1=5-2d=5-4=1

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Ответ: а1=1; S10=100

 В арифметической прогрессии, первый член которой равен -3,4, а разность равна 3, найдите пятый и одиннадцатый члены.

Итак, мы знаем, что a1 = -3,4; d = 3. Найти: a5, a11­.

Решение. Для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой:  an = a1+ (n – 1)d. Имеем:

a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 · 3 = 8,6;

a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 · 3 = 26,6.

Как видим, в данном случае, решение не сложное.

Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 74, а разность равна -4. Найдите тридцать четвертый член данной прогрессии.

Нам сказано, что a12 = 74; d = -4, а найти надо a34­.

В данной задаче сразу применить формулу an = a1 + (n – 1)d не представляется возможным, т.к. не известен первый член a1. Такая задача может быть решена в несколько действий.

1. С помощью члена a12 и формулы n-ого члена находим a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, теперь упростим и подставм d: a12 = a1 + 11 · (-4). Из этого уравнения находим a1: a1 = a12 – (-44);

Двенадцатый член нам известен из условия задачи, поэтому без проблем вычисляем a1

a1 = 74 + 44 = 118. Переходим ко второму действию – вычислению a34.

2. Опять же по формуле an = a1 + (n – 1)d, так как уже известно a1, будем определять a34­,

a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.

Ответ: тридцать четвертый член арифметической прогрессии равен -14.

Как видно, решение второго примера более сложное. Два раза используется одна и та же формула для получения ответа. Но все так сложно. Решение можно сократить, если использовать дополнительные формулы.

Как уже отмечалось, если в задаче известно a1, то формулу для определения n-ого члена арифметической прогрессии применять очень удобно. Но, если в условии задан не первый член, то на помощь может прийти формула, которая связывает между собой нужный нам n-ый член и заданный в задаче член ak.

an = ak + (n – k)d.

Решим второй пример, но уже с использованием новой формулы.

Дано: a12 = 74; d = -4. Найти: a34­.

Используем формулу  an = ak + (n – k)d. В нашем случае будет:

a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.

Ответ в задаче получен значительно быстрей, потому что не пришлось выполнять дополнительных действий и искать первый член прогрессии.

С помощью приведенных выше формул можно решать задачи по вычислению разности арифметической прогрессии. Так, применяя формулу an = a1 + (n – 1)d можно выразить d:

d = (an – a1) / (n – 1). Однако задачи с заданным первым членом встречаются не так часто, и решать их можно применяя нашу формулу an = ak + (n – k)d, из которой видно, что d = (an – ak) / (n – k). Давайте рассмотрим такую задачу.

 Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что a3 = 36; a8 = 106.

Используя полученную нами формулу, решение задачи можно записать в одну строчку:

d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.

Не будь в арсенале этой формулы, решение задачи заняло бы гораздо больше времени, т.к. пришлось бы решать систему двух уравнений.

Геометрические прогрессии

    1. Формула -го члена (общего члена прогрессии) 
    2. Формула суммы первых членов прогрессии: . При принято говорить о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по формуле 
    3. Формула "среднего геометрического": если - три последовательных члена геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения: или или .

Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумму крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72.

Решение. 

Запишем условие задачи. Имеются четыре числа: . Известно, что и . Воспользовавшись формулой общего члена геометрической прогрессии, получим, что и. Из второго уравнения , что можно подставить в первое уравнение и получить:, откуда следует квадратное уравнение , корнями которого являются числа 24 и 3. Находя (что очевидно), мы получим два набора чисел - первый начинается с 24: и соответствует, второй - (). 
    (То, что один набор числе образует две прогрессии - со знаменателями и - обычная в подобных задачах ситуация).

Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической прогрессии.


    Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами, а в задаче только одно условие, мы сможем найти только знаменатель. 
    Решение. 

Запишем условие задачи: , выразим все числа с помощью формулы общего члена прогрессии: откуда после сокращения и 
    Ответ: .

 В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

Комментарий. На самом деле мы сделаем больше - мы просто найдем и первый член - и знаменатель - этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить, "зададим" или "построим" ее. Как результат - мы сможем найти все, что только нас спросят про эту прогрессию, в том числе и сумму первых десяти ее членов. Заметим, что два условия позволяют определить два параметра.

    Решение. 

Нам пригодится то, что было проделано в предыдущем примере. ;, откуда и в качестве следствия из предыдущего примера получим . Найдем теперь  и откуда окончательно:.

Задана геометрическая прогрессия 2,6,18,... Найти десятый член прогрессии и сумму её двенадцати первых членов.

Дана геометрическая прогрессия b1, b2, b3, ..., bn, ... .

Известно, что b1 = 2/3,  q = - 3. Найти b6

Решение.

В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

b6 = b1 · q5 = 2/3 · (-3)5 = -162

Ответ -162.

Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

Решение

b1= 12, b2= 4,

q = 4/12 = 1/3

S = 12 / (1 - 1/3) =  12 / (2/3) = 12 · 3 / 2  = 18

Ответ 18.

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b1, если q = 1/3

Решение

150 = b1 / (1- 1/3)

b1 = 150· 2/3

b1= 100

Ответ 100.

Автор
Дата добавления 03.02.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Конспект урока
Просмотров1432
Номер материала 2346
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.