УРОК 7 "Десятичные дроби"

В предыдущих уроках мы говорили только об обыкновенных дробях, а также о смешанных числах. Но дроби бывают и вот такими: 0,2, 0,0017, 16,354... Эти дроби называются десятичными. Что это такое?

Среди множества обыкновенных дробей встречаются такие, у которых стоит только единица и нули в знаменателе. Например: "одна десятая", "семь сотых", "три тысячных", "три тысячи восемьдесят семь сотых" и так далее. Такие дроби условились записывать короче и называть их десятичными дробями. Например, "ноль целых одна десятая". Видим, поскольку "одна десятая" - правильная обыкновенная дробь, то целой части у нее нет. Поэтому здесь "ноль". А вместо "один-черточка-десять" мы записали "запятая-один".

То есть сначала мы пишем целую часть, затем ставим запятую и записываем числитель дробной части. НО! Важный момент: после запятой должно быть столько знаков, сколько и нулей в знаменателе. Вот, например, у дроби "семь сотых" - два нуля в знаменателе, поэтому после запятой должно быть две цифры. Мы как бы мысленно выделяем две ячейки. А затем записываем числитель - семь, но выравниваем его обязательно по правому краю. А в пустую ячейку вставляем ноль.

Далее - "три тысячных". Пишем ноль, запятая, выделяем три ячейки, так как у тысячи три нуля и записываем числитель "три" по правому краю. Пустые ячейки заполняем нулями. Читается дробь: "ноль целых три тысячных".

А вот дробь "три тысячи восемьдесят семь сотых" - неправильная. Выделим из нее целую часть: в три тысячи восемьдесят семь вмещается тридцать раз число "сто" и еще остается восемьдесят семь. То есть равно тридцать целых восемьдесят семь сотых. Запишем теперь это смешанное число в виде десятичной дроби: тридцать целых, запятая, восемьдесят семь сотых. Здесь нам нулей не пришлось добавлять, так как у сотни два нуля и в числителе было две цифры.

Как переводить обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби разобрались. А теперь посмотрим, как выполняется обратная операция...

Если есть целая часть, записываем ее. Четыре целых. Далее проводим черту дроби и пишем числитель - пятьдесят один. Нули перед числом не пишем. Ну и осталось записать знаменатель. Так как после запятой у нас было пять цифр, то знаменатель будет равен сто тысяч. То есть единица и пять нулей.

Аналогично можно перевести и остальные десятичные дроби.

Решим пример:
Восемь плюс "ноль целых тринадцать сотых" плюс "одна третья" минус "две целых три четвертых". Видим, что здесь у нас присутствуют и обыкновенная дробь, и десятичная дробь, и смешанное число, и натуральное число. В таких случаях всегда проще всего перейти к обыкновенным дробям. То есть сделать так, чтобы все вот эти числа стали обыкновенными дробями. Мы это уже умеем делать.

Итак, восемь - это восемь первых. "Ноль целых тринадцать сотых" - это дробь "тринадцать сотых". "Одна третья" остается. "Две целых три четвертых" -два умножаем на четыре и прибавляем три. Получили "одиннадцать четвертых". Это был первый шаг.

Теперь приводим данные дроби к общему знаменателю. Какое самое маленькое число, делящееся без остатка и на 1, и на 100, и на 3, и на 4? Конечно, 300. То есть общий знаменатель - 300.

На что нужно умножить один, чтобы получить 300? На 300, конечно... Здесь доумножаем на 3. Здесь на 100. И здесь на 75.

Получаем: восемь умножить на триста - две тысячи четыреста; тринадцать умножить на три - тридцать девять; один на сто - сто и одиннадцать на семьдесят пять - восемьсот двадцать пять. Здесь внимание: мы написали минус восемьсот двадцать пять, так как вот здесь у нас стоял минус.

Считаем, что получилось: "одна тысяча семьсот четырнадцать трехсотых". Дробь неправильная. Выделяем целую часть. Сколько раз число "триста" помещается в числе "тысяча семьсот четырнадцать"? Не трудно посчитать, что пять раз. То есть будет пять целых и...? Пять раз по триста - это тысяча пятьсот. А у нас тысяча семьсот четырнадцать. То есть осталось двести четырнадцать. Получили: пять целых двести четырнадцать трехсотых. Можем здесь что-нибудь еще сделать? Можно еще сократить ответ. И "двести четырнадцать" и "триста" делятся на два. Вот и делим. Получаем "пять целых сто семь сто пятидесятых". И это окончательный ответ.

Аналогично решаются все примеры, содержащие несколько видов чисел - все переводится в обыкновенные дроби и применяются правила действий с обыкновенными дробями.

Кстати, также можно поступать, если вы не знаете или не помните как складывать/вычитать/умножать/делить десятичные дроби между собой. Переводите их в обыкновенные дроби и считаете.

Но все же хорошо помнить правила действий с десятичными дробями и использовать их. Тем более они совсем не сложные.

Сейчас мы их разберем.

Сложение и вычитание десятичных дробей.

Десятичные дроби складываются и отнимаются также, как и обычные натуральные числа. С одной лишь разницей - не забываем про запятую! А именно: при записи одного числа под другим следим за тем, чтобы запятая оказывалась под запятой... А на пустых местах ставим нули... Далее производим сложение (либо же вычитание) в столбик как обычно, а запятую ставим под запятой. Вот и все.

Умножение десятичных дробей.

Это действие также очень похоже на умножение натуральных чисел. А разница тоже лишь в запятой. При умножении не нужно записывать запятую под запятой, а просто выравниваем все числа по правому краю... Производим умножение НЕ ОБРАЩАЯ внимания на запятые... И последний шаг - необходимо поставить запятую в ответе. Вопрос, где? Считаем, сколько знаков после запятой было у всех множителей вместе взятых. Здесь два знака, а здесь четыре. Итого шесть. Отсчитываем в ответе справа шесть знаков... но у нас всего четыре. Ничего страшного дописываем вместо недостающих знаков нули... и ставим запятую. И здесь тоже дописываем ноль. Вот и ответ... Если цифр в ответе хватает, то просто ставим запятую в нужном месте.
Деление десятичных дробей.

Делить десятичную дробь мы можем только на натуральное число. Как это делать вы можете посмотреть в видеоуроке "Деление десятичных дробей на натуральные числа" из курса "Видеоуроки по математике для 5 класса", который прилагается к данному курсу.

Но что делать, когда нам необходимо решить следующий пример? Здесь десятичная дробь делится на десятичную дробь.

В этом случае смотрим, сколько знаков после запятой стоит у делителя. В нашем случае два. И переносим и у делимого и у делителя запятую на два знака вправо... Здесь после запятой ничего нет, поэтому ее можно не писать... Таким образом мы перешли от действия деления на десятичную дробь к действию деления на натуральное число.

Хочу еще обратить ваше внимание на следующий момент. Вот в данном примере у делителя после запятой стоит три знака. То есть нам нужно и здесь и здесь переносить запятую на три знака вправо. Но у делимого после запятой всего два знака. В этом случае, как обычно дописываем нужное количество нулей - в нашем случае один, и переносим запятую. После запятых чисел уже нет, поэтому запятые можно не писать. Получили деление двух натуральных чисел.