УРОК 1: "Общие сведения о дробях"

В математике мы постоянно сталкиваемся с дробями. Их можно встретить при решении примеров и задач в любом разделе математики. И эта тема настолько важна, что, не усвоив её, вы просто не сможете решить многие задания даже в тех разделах математики, которые кажутся вам понятными. И, соответственно, сдать хорошо ГИА и ЕГЭ без четкого усвоения темы "дроби" у вас не получится!

Давайте же разберемся, что такое дробь?

Приведем пример. Допустим нам необходимо поделить 5 апельсинов между тремя ребятами так, чтобы все получили поровну... Можно каждому дать по одному целому апельсину. И останется еще 2 апельсина, которые придется резать. Поделим сначала первый из оставшихся апельсинов. Для этого разрежем его на три равные части и дадим каждому мальчику по одной такой части. Таким же образом поделим и второй оставшийся апельсин... Вообще слово "дробь" произошло от слова "дробить". А когда мы что-то дробим или разрезаем, ломаем, разрываем на несколько частей, то мы ДЕЛИМ это что-то на части. И это важный момент: дробь - это деление!

Когда мы делим, например тот же апельсин, на две, три, четыре равные части, то эти части можно назвать половина, треть, четверть, соответственно. Но что если мы поделили апельсин на 9 частей? Или на 16?.. Именно для обозначения результата такого деления и были введены дробные числа.

Если мы разрезаем апельсин на семь равных частей, то мы выполняем операцию "один делить на семь" (то есть один апельсин делим на семь равных частей), получаем семь одинаковых долек апельсина. Но как назвать такую дольку? Условились называть её "одна седьмая". И записывать вот так: 1/7. Посмотрите, как удачно придумали: видно, на сколько равных частей разрезали - семь, и сколько частей взяли - одну. Запомните: ВСЕГДА внизу (под чертой) стоит общее количество частей (то есть то количество, на которое мы поделили), а вверху (над чертой) - количество взятых нами частей.

Вот, например, дробь "три восьмых" что означает? То, что мы разделили что-то на восемь равных частей и взяли три из них. А "шесть девятых"? То, что мы поделили какой-то предмет на девять равных частей и взяли шесть из них. Ключевое слово здесь - "равных". Если мы поделим предмет на девять НЕ равных частей, то каждая из этих частей НЕ БУДЕТ равна одной девятой части всего предмета. Запомните это!

В итоге вы должны четко понимать, что, например, три разделить на семь равно "три седьмых", двенадцать разделить на сорок пять равно "двенадцать сорок пятых" и так далее. Кстати, если вы встретите вот такую запись "1/3" то знайте, что это то же самое, что и это "дробь "одна третья". Просто на компьютере иногда бывает проще написать вот так: 1/3.

Важное заключение: деление любых двух чисел можно представить в виде дроби... и наоборот...

Идем дальше.

Все дроби, которые мы рассматривали до этого, называются обыкновенными дробями. В них число, которое записано над чертой называется "числитель", а число под чертой - "знаменатель".

Запомните: "Числитель, как и Чердак, находится сверху, а Знаменатель -снизу".

Обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Правильные дроби - это вот эти, например: 3/7, 4/6, 3/26... А неправильные, например, вот эти: 9/5, 9/4, 12/7...

Видите, в правильных дробях числитель меньше знаменателя, поэтому они и правильные. Ведь можно разделить что-то на семь равных частей и взять три.

А вот у неправильных дробей числитель больше знаменателя. Поэтому они неправильные. Как взять девять частей, если мы разрезали всего на пять?... В этом случае, если вернуться к нашим апельсинам, получается что нам нужно будет разрезать два апельсина на пять равных частей каждый, чтобы потом взять девять таких частей. Таким образом, все неправильные дроби, если говорить математическим языком, больше единицы (то есть когда мы имеем дело с неправильными дробями, мы разрезаем ни один какой-то предмет, а два и более таких предметов). А правильные дроби, соответственно, меньше единицы.

А какой будет дробь, например, шесть шестых? Вообще, шесть шестых равно шесть делить на шесть, равно один. Математики договорились называть такие дроби, в которых знаменатель и числитель равны, также неправильными.

В любом случае, вам нужно уметь определять, какие дроби являются правильными, а какие неправильными. Уверен, теперь вы с этим легко справитесь. Вообще же, все действия с правильными и неправильными дробями ничем не отличаются.

Кстати, посмотрите, что получилось. Число один - это тоже самое, что и дробь "шесть шестых". А еще один равно дроби "три третьих". Правильно? Поделили апельсин на три равные части и взяли все три. Получается взяли весь апельсин. Это тоже самое, что сразу взять целый апельсин, то есть ОДИН апельсин. И вообще "одна первая", "две вторых", "три третьих", "четыре четвертых" и так далее - это все равно единице!

А можем мы записать любое другое число в виде обыкновенной дроби? Оказывается да! Ну, например. Число "шесть".... Вот есть у нас шесть апельсинов. Нам нужно поделить их на одного человека. То есть шесть разделить на один. Это равно "шесть первых". И так с любым числом...

Казалось бы, зачем это делать. Зачем нам нужна такая запись?... Когда можно просто записать "сорок пять". Но на самом деле это очень упрощает задачу, когда, например, нам нужно будет сложить целое число с дробным или отнять. Но об этом поговорим попозже.

Вообще, на один делить мы можем. А вот на ноль никогда! Почему? Ну ведь мы не можем разделить шесть апельсинов на ноль человек?! Ну не на кого делить. Как мы тогда сможем сказать, сколько получит каждый? Да и вообще кто, когда никого нет?...

Итак, с правильными и неправильными обыкновенными дробями разобрались.

Теперь посмотрим вот на такие числа: 2 3/5, 4 3/7, 1 6/11... Это уже не обыкновенные дроби. Это, так называемые, смешанные числа. Они состоят из целой и дробной частей.

Любую неправильную обыкновенную дробь можно превратить либо в смешанное число, либо в целое число.

В целое число можно превратить те неправильные дроби, в которых числитель либо равен знаменателю (об этом мы уже говорили, это будет "один"), либо делится нацело на знаменатель. Вот, например, тридцать шесть девятых. Равно тридцать шесть делить на девять. Равно четыре. Здесь все понятно.

А вот остальные неправильные дроби можно представить в виде смешанных чисел. Как? Сейчас разберемся.

Например, нам дана дробь "сорок три пятых". Помним, что дробь - это деление. Потому это равно сорок три делить на пять. Но сорок три делится на пять только с остатком. То есть получим восемь с чем-то. Восемь это и будет целая часть, а это что-то (то есть остаток) - это числитель дробной части. В нашем случае - это три. То есть получим восемь целых три пятых. Видим, знаменатель не меняется.

Для того, чтобы было понятнее, вернемся к нашим апельсинам. В начале урока мы делили пять апельсинов между тремя ребятами. Каждый получил по одному целому и двум третьим апельсина. Еще раз. Чтобы поделить пять апельсинов между тремя ребятами, мы дадим сначала каждому по одному целому апельсину. А два оставшихся разделим на количество мальчиков, то есть на три части каждый. И дадим каждому мальчику по одной трети от каждого из оставшихся двух апельсинов. И каждый получил сначала один целый апельсин, а затем еще две трети апельсина.

Вот и получается, что пять третьих равно одна целая две третьих. А теперь посмотрим, как нам выполнить обратную операцию - смешанное число перевести в неправильную дробь. Например, вы встретили такое смешанное число - две целых три шестых. Итак, целая часть у нас - два. А дробная часть - три шестых. Первым делом смотрим на знаменатель дробной части. Он у нас равен шести. Это значит, что мы что-то делили на шесть частей. Поэтому наших две целых - это есть двенадцать шестых. Ну то есть одна целая - это шесть шестых, а две целых, это двенадцать шестых. И еще три шестых. Итого: пятнадцать шестых.

То есть две целых три шестых равно пятнадцать шестых.

Математически правило перевода смешанного числа в неправильную дробь выглядит еще проще: два умножаем на шесть и прибавляем три. Получаем пятнадцать. Это и будет наш новый числитель. А знаменатель останется прежним - шесть. То есть целую часть умножаем на знаменатель дробной части и прибавляем числитель дробной части. То что получится и будет числитель неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Вот вы и познакомились с основными понятиями и сведениями о дробях. В следующих уроках мы научимся выполнять различные действия с дробями.