УРОК 2: "Основное свойство дроби. Сокращение дробей"

Перед нами (см. видеоурок) одно целое яблоко. Если мы его разрежем на две равные части, то получим две дольки, каждая из которых равна одной второй всего яблока. То есть если всё яблоко - это "один", то одна долька - это "одна вторая".

А теперь разрежем такое же яблоко на четыре равные части. И здесь уже одна долька будет равна одной четвертой всего яблока. А две дольки? Две четвертых.

И вот что интересно - две четвертых яблока - это ведь столько же, сколько и одна вторая такого же яблока. И здесь, и здесь мы получили половину яблока. А это значит, что "одна вторая" равно "две четвертых".

А что было бы, если бы мы разрезали такое же яблоко на шесть равных частей и взяли бы три из них. Три дольки из шести - это то же половина яблока. Значит "три шестых" равно одной второй и двум четвертым. И так далее.

А чем отличаются все такие дроби? Смотрите: если мы числитель и знаменатель дроби "одна вторая" умножим на число два, то получим дробь "две четвертых", а если числитель и знаменатель дроби "одна вторая" умножим на три, то получим равную ей дробь "три шестых". И вообще на какое бы число (кроме нуля) мы не умножили числитель и знаменатель любой дроби, мы всегда получим дробь, равную исходной. Это и есть основное свойство дроби. Оно очень важное и на его основе выполняются практически все действия с дробями!

Итак, давайте сформулируем основное свойство дроби еще раз: "Если числитель и знаменатель дроби умножить (либо же разделить) на одно и то же число, то исходная дробь не изменится". Важный момент здесь - умножать или делить на какое-то число мы должны и числитель и знаменатель одновременно! При этом дробь изменится только внешне, но она останется равной той дроби, которая у нас была изначально.

Зачем нам всё это нужно? Основное свойство дроби оказывается очень полезным при решении множества заданий, содержащих дроби. В частности, совсем не обойтись без этого свойства при сокращении дробей.

Сокращение дробей применяется для того, чтобы сделать дробь проще. Вообще сокращение дроби - это деление её числителя и знаменателя на одно и то же число. Согласно основному свойству дроби мы имеем право делить числитель и знаменатель одновременно на одно и то же число. И если есть такое число, на которое делится и числитель и знаменатель, то после этого деления дробь, несомненно станет проще.

Например, перед нами дробь "шестнадцать пятьдесят вторых". И 16, и 52 делятся на 4. Вот и делим. Получаем "четыре... тринадцатых". Стала дробь проще? Конечно. Вот для этого и применяется сокращение дробей.

"Ну это все легко, а бывают же примеры и куда сложнее" - скажете вы. Соглашусь с вами. Но правило есть одно и оно подходит для всех примеров. Вот, например, дробь "тысяча сто семьдесят четыре тысячи четыреста десятых". Её тоже можно упростить. Для этого необходимо сократить её на самое большое из чисел, на которые делятся одновременно и числитель, и знаменатель. Но что это за число? Сложно сказать. В таких случаях мы можем сокращать дробь в несколько этапов. Очевидно, что и 1170, и 4410 делятся на 2. Вот и делим... Получаем: 585 и 2205. Видно, что эти оба числа делятся на 5. Делим... Осталось 117 и 441. Уже дробь выглядит проще. Но и это еще не все. Оба этих числа делятся на три. И получится: 39 и 147... И еще раз можно поделить на 3... В итоге получили "тринадцать сорок девятых". Больше сокращать не можем.

Теперь смотрите: мы разделили и числитель, и знаменатель дроби "тысяча сто семьдесят четыре тысячи четыреста десятых" сначала на два, затем на пять, а потом на 3 и еще раз на 3. И получили дробь "тринадцать сорок девятых". Но два умножить на пять умножить на три и умножить на три - это 90. И если бы мы сразу нашу дробь сократили на 90, то получили бы "тринадцать сорок девятых". Но мы же не знали, что 90 и есть то самое большое число, на которое делится одновременно и числитель и знаменатель нашей дроби... Таким образом, дробь можно либо сразу сократить на самое большое из возможных чисел, либо постепенно сокращать несколько раз, пока это возможно.

Второй вариант - это запасной выход для случая, когда мы не знаем самого большого числа,  на которое делится и числитель, и знаменатель одновременно. Но иногда бывает сложно сказать, делится ли числитель и знаменатель хоть на какое-то общее число. Вот, например, когда я сказал, что и 117, и 441 делятся на 3, было ли для вас этот момент так же очевиден? Если нет, значит вы забыли признаки делимости. Сейчас мы их вспомним, и у вас с этим проблем не будет:

Итак, любое число делится нацело на 2, если последняя цифра этого числа делится на 2 (то есть, если число четное);

Любое число делится нацело на 3, если сумма цифр данного числа делится на 3 (например, число 137961 делится на три, так как 1+3+7+9+6+1=27, а 27, знаем из таблицы умножения, делится на три);

Любое число делится нацело на 4 - если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4, или эти две цифры - нули (например, 13516делится на 4, так как 16 делится на 4; или же 12500 - так же делится на 4, так как две последние цифры нули);

Любое число делится нацело на 5, если число заканчивается на 5 или 0(здесь все понятно);

Любое число делится нацело на 6, если число делится одновременно на 3(по сумме цифр) и на 2 (по последней цифре);

И любое число делится нацело на 9, если сумма цифр делится на 9(аналогично признаку делимости на 3).

Запомните эти признаки, и тогда с сокращением дробей у вас не будет никаких проблем!

Ну а теперь давайте на примере закрепим все то, о чем мы сейчас говорили.

Например, нам необходимо сократить дробь "сто шестьдесят одна сорок вторая". То что эта дробь неправильная пусть вас не пугает; помните, мы говорили, что все действия с правильными, а также неправильными дробями выполняются одинаково.

Итак, сказать сразу на какое самое большое число делится и 161, и 42 сложно. Поэтому начнем по порядку. На что делится 161? Хотя постойте. Зачем нам перебирать все числа, на которые делится 161? Гораздо проще начать с меньшего числа - сорока двух. Ведь, если сорок два на какое-то число не делится, то зачем проверять, делится ли на него 161? Отлично. Поэтому начинаем с сорока двух. Сразу видим, что оно делится на 2, но на два не делится 161. Идем дальше. 42 делится на 3, так как 4+2=6, а 6 делится на 3. Но 161 не делится на 3. Дальше. 42 не делится на 4, не делится на 5, но делится на 6. А 161? Оно не делится на 6. Далее: 42 делится на 7 (это мы знаем из таблицы умножения) и получится 6. А вот 161 на 7 делится? Поскольку признака деления на семь мы не знаем, то будем проверять. Делим в столбик 161 на 7... Берем по 2. 16-14=2... и 1 сносим... берем по 3... ноль... получили 23... Таким образом, сократили нашу дробь на 7 и получили дробь "двадцать три шестых". Её уже ни на что сократить не получится.

Преобразуем эту дробь в смешанное число.

Двадцать три разделим на шесть. Получим 3 целых и 5 в остатке. То есть "три целых пять шестых". Вот и всё.