Исследовательская работа по математике "Фракталы"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №7

исследовательская работа

ФРАКТАЛЫ

Автор: Иванова Юлианна Валентиновна, ученица 7Б класса, МБОУ СОШ №7, города Сургута, ХМАО-Югра, Россия

Руководитель: Бадаква Людмила Абакировна, учитель математики, МБОУ СОШ №7, города Сургута, ХМАО-Югра, России

Сургут, 2018

Оглавление.

Краткая аннотация………………………………………………………2

Введение………………………………………………………………….3

История открытия фракталов………………………………………… . .3

Фракталы. ………………….…………………………………………….4

Построение фракталов …………………….……………………………5

Применение фракталов …………………………………………………6

Заключение . . …………………………………………………………… 7

Литература …………………………………………………………….. ..8

Приложение «Модели фракталов»……………………………………..9

Фракталы

Иванова Юлианна Валентиновна

МБОУ СОШ №7, 7Б класс, г. Сургут

Руководитель Бадаква Людмила Абакировна

Учитель математики МБОУ СОШ №7

Краткая аннотация

Целью работы явилось изучение информации о фракталах, научиться складывать разные виды, познакомить учащихся с новым направлением в математике- фрактальной геометрией, научиться распознавать фракталы в окружающей среде .

Геометрия один из тех предметов, где постоянно нужно поддерживать интерес учащихся к предмету. Красота, совершенство фракталов привлекает внимание практически всех.

В ходе работы были поставлены следующие задачи: изучить схемы для складывания фракталов, применение фракталов в жизни человека; создание моделей фракталов.

Введение

"Геометрия является самым могущественным

средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать"

Галилео Галилей

Геометрия, которую мы изучали в школе и которой пользуемся в повседневной жизни, восходит к Эвклиду (примерно 300 лет до нашей эры).Треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Однако в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например, лесные красавицы ели на какой-либо из перечисленных предметов или их комбинацию? Легко заметить, что в отличие от форм Эвклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями.

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин кроется в ее неспособности описывать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не окружности, древесная кора не гладка, и молния — далеко не прямая... Природа демонстрирует нам не просто более высокий, а совершенно иной уровень сложности. Число различных масштабов длины бесконечно, какую бы цель мы ни преследовали при их описании.

Математики все более уходили от природы, измышляя теории, не имеющие ни малейшего отношения к тому, что доступно нашему созерцанию и нашим ощущениям».

История открытия фракталов.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). Одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого. Как только Мандельбротом было открыто понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф и т.д.

Основное свойство фракталов – самоподобие. Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

Что же такое фрактал?

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций — копирования и масштабирования. У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином.

Построение фракталов.

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера — Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA — Джоном Хейтуэем, Брюсом Бэнксом и Вильямом Хартером . Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала были описаны Чендлером Дэвисом и Дональдом Кнутом.

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха.

Применение фракталов.

1. Компьютерные системы.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации. При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

2. Механика жидкостей.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

3. Телекоммуникации.

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

4. Физика поверхностей.

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

5. Медицина.

Биосенсорные взаимодействия. Биения сердца.

6. Биология.

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании

Заключение.

Основная сложность фрактального сжатия заключается в том, что в свою очередь для нахождения соответствующих доменных блоков вообще говоря требуется полный перебор. Поскольку при ϶ᴛᴏм переборе каждый раз должны ϲᴩавниваться два масϲᴎва, данная операция получается достаточно длительной. Сравнительно простым преобразованием её можно свести к операции скалярного произведения двух масϲᴎвов, однако даже скалярное произведение вычисляется ϲᴩавнительно длительное время.

На данный момент известно достаточно большое количество алгоритмов оптимизации перебора, возникающего при фрактальном сжатии, поскольку большинство статей, исследовавших алгоритм были посвящены ϶ᴛᴏй проблеме, и во время активных исследований (1992—1996 года) выходило до 300 статей в год. Наиболее эффективными оказались два направления исследований: метод выделения особенностей и метод класϲᴎфикации доменов.

Используемая литература

1. http://works.doklad.ru/view/mfkXCp2rw10.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал

3. https://elementy.ru/posters/fractals/fractals

4. http://www.ega-math.narod.ru/Nquant/Fractals.htm

5. http://shakin.ru/creative/fractals.html

Приложение «Модели фракталов»