Уроки математики / Другое / Исследовательская работа по математике на тему "Треугольник Паскаля"

Исследовательская работа по математике на тему "Треугольник Паскаля"

25

Содержание

План действий……………………………………………………………………………………….2

I.Введение…..…………………………………………………………...........……………………....3

III. Основная часть…….…………………………………………………………...........………….4

1. Анкетирование……………………………………………………………………………………..4

2. Историческая справка………………………………….............……..............................................4

3. Открытия Паскаля …………………………………………………….…….....…………………..4

2.1.Арифмометр Паскаля.....................................................................................................................4

2.2.Изучение атмосферного давления.............................................................................................4-5

2.3.Числовая горка………………………………….………………………………………………...5

3.Треугольник Паскаля………..……………………………………............................................5-6

3.1.Треугольник Паскаля в шахматах Паскаля..…….……………….…….....................................6

3.2.Свойства треугольника …………………………………....…………………………………..6-7

3.3.Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач…………...7-8

3.4.Построение треугольника Паскаля……………………………………………………………...8

IIII. Заключение..................................................................................................................................9

Глоссарий…………………………………………………………………………………………………….10

Список литературы……………………………………….........……….........................................11

Приложения………………………………………………………………………………………...12

План действий

по созданию исследовательской работы на тему «Треугольник Паскаля»

  1. Создание первоначального вида исследовательской работы..................................сентябрь, октябрь, ноябрь 2015г.

  2. Анкетирование учеников моего класса………………………………………….декабрь 2015г.

  3. Усовершенствование исследовательской работы и предание ей законченного вида…………………………………………………………………………………..январь 2016г.

  4. Участие в школьном этапе исследовательских работ «Юные исследователи»………………………………………………...……………………...март 2016г.

  5. Участие на городском уровне исследовательских работ «За страницами учебника»……………………...март 2016г.

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике»

Мартин Гарднер

I. Введение

С прошлого года у нас появился очень необычный для меня и по-своему интересный предмет «Геометрия». В начале нашего с учителем путешествия по этой математической стране на одном из уроков нам было дано задание - найти интересные виды треугольников.

Каких треугольников здесь только не было! Бермудский, Египетский, Треугольник Кеплера и многие другие. Я остановилась на треугольнике Паскаля. Затем при изучении темы «Возведение двучлена в степень», я вновь натолкнулась на труды Блеза Паскаля. Меня это очень заинтересовало и я решила рассмотреть более подробно.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Актуальность темы: Навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач, в профессиональной деятельности.

Цель работы: Привести достаточное количество примеров свойств чисел треугольника Паскаля и примеров применения треугольника для доказательства гипотезы

Задачи:

  • Выявить какими свойствами обладает треугольник Паскаля.

  • Как и в каких областях применяется свойства чисел треугольника Паскаля.

  • Попытаться понять смысл построения треугольника.

  • Определить значимость открытия треугольника Паскаля.

Гипотеза: Треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей.

Предмет исследования: Треугольник Паскаля

Объектная область исследования: Математика

Для решения поставленных задач в процессе исследования использовались следующие

методы:

  1. Анализ научно-популярной литературы и интернет ресурсов по теме;

  2. Систематизация информации;

  3. Сравнение;

  4. Анкетирование;

  5. Составления словаря.

II. Основная часть

  1. Анкетирование.

После выбора темы я обратилась с вопросами к моим одноклассникам. А именно, какие треугольники они знают?

Результаты анкетирования показали, что единицы моих одноклассников знакомы с этой числовой схемой.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

2. Историческая справка.

Когда же появились первые упоминания об этом треугольнике?

Треугольник Паскаля – это, несомненно, самая известная, а также изящная числовая схема во всей математике.

Данная таблица была известна намного раньше, чем 1665 год (именно в этом году вышел «Трактат об арифметическом треугольнике»). Например, в 1529 году данная треугольная таблица была воспроизведена на титульном листе одного из учебников по арифметике, который написал астроном Петр Апиан. Также интересным является и тот факт, что Омар Хайям, который был не только поэтом и философом, но и математиком, знал о существовании данного треугольника. И, заметьте, это был аж 1100 год. Сам Омар Хайям позаимствовал знания о треугольнике Паскаля у более ранних индийских и китайских источников. Все это говорит о том, что треугольник был открыт намного раньше и пользовались им еще издавна. ПРИЛОЖЕНИЕ 3

3.Открытия Паскаля.

3.1. Арифмометр Паскаля.

 Арифмометр Паскаля был создан по принципу античного таксометра – устройства, которое предназначалось для расчета расстояния, только немного видоизмененного. Вместо 2 колес использовалось уже 6, что позволило выполнять расчеты шестизначными числами…

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

В данной вычислительной машине колеса могли вращаться только в одном направлении. Производить суммирующие операции на такой машине было легко. Например, нам необходимо высчитать сумму 10+15=? Для этого необходимо вращать колесо пока не выставится значение первого слагаемого 10, потом крутим это же колесо до значения 15. При этом указатель сразу же показывает 25. То есть подсчет происходит в полуавтоматическом режиме.      

 Вычитание на такой машине невозможно произвести, так как колеса не вращаются в обратном направлении. Делить и умножать арифмометр Паскаля не умел. Но даже в таком виде и с такими функциональными возможностями эта машина была полезной и ей с радостью пользовался Паскаль - старший. Машина производила быстрые и безошибочные математические действия по суммированию. Паскаль - старший даже вложил деньги в производство паскалин. Но это принесло только разочарование, так как большинство бухгалтеров и счетоводов не хотели принимать такое полезное изобретение. Они считали, что при введении таких машин в действие им придётся искать другую работу. В 18 столетии арифмометры Паскаля широко использовались моряками, артиллеристами и ученными для арифметических сложений. Это изобретение саботировалось со стороны финансистов более 200 лет.

3.2. Изучение атмосферного давления

В свое время Паскаль видоизменил опыт Эванджелиста Торричелли и сделал вывод, что над жидкостью в трубке должна образоваться пустота. Он купил дорогостоящие стеклянные трубки и проводил опыты без использования ртути. Вместо неё он применил воду и вино. В ходе экспериментов выяснилось, что вино имеет свойство подыматься выше, чем вода. Декорт в свое время доказывал, что над жидкостью должны располагаться ее пары. Если вино испаряется быстрее воды, то накопившиеся пары вина должны препятствовать поднятию жидкости в трубке. Но на практике предположения Декарта были опровергнуты. Паскаль предположил, что атмосферное давление воздействует одинаково на тяжелые и легкие жидкости. Данное давление способно затолкнуть в трубку больше вина, так как оно легче.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Паскаль, который долгое время экспериментировал с водой и вином, установил, что высота подъема жидкостей меняется в зависимости от погодных условий. В 1647 году было сделано открытие, которое свидетельствуют о том, что атмосферное давление и показания барометра зависят от погоды.

Чтобы окончательно доказать то, что высота подъёма столбика жидкости в трубке Торричелли зависит от изменения атмосферного давления, Паскаль просит своего родственника подняться с трубкой на гору Пюи-де-Дом. Высота этой горы составляет 1465 метров над уровнем моря и имеет на вершине меньшее давление, чем у ее подножья.

3.3. Числовая горка

С 1650 года Паскаль с трудом передвигается, так как был поражен частичным параличом. Врачи считали, что его болезнь связана с нервами и ему необходимо «встряхнуться». Паскаль стал посещать игорные дома и одно из заведений имело название «Папе-Рояль», которым владел герцог Орлеанский. В этом казино судьба свела Паскаля с шевалье де Мере, который обладал необычными математическими способностями. Он поведал Паскалю, что при бросании кости в подряд 4 раза, выпадение 6 составляет более 50%. Мере делая небольшие ставки в игре выигрывал, используя свою систему. Такая система работала, только при бросании одной кости. При переходе на другой стол, где производился бросок пары костей, система Мере не приносила прибыль, а наоборот только убытки.

Такой подход натолкнул Паскаля на мысль, в которой он захотел рассчитать вероятность с математической точностью. Это был настоящий вызов судьбе. Паскаль решил решить данную задачу при помощи математического треугольника, который был известен даже в древности (например, Омар Хайям упоминал о нем), который потом получил название – треугольник Паскаля. Эта пирамида, состоящая из чисел, каждое из которых равно суме пары чисел расположенных над ним.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Такой треугольник позволяет точно рассчитать вероятность выпадения в игре «Орел-решка». Если мы подбрасываем монетку один раз, то результат вероятности мы видим во второй горизонтальной строке – одно выпадение «решка» и одно «Орел» (50/50). Также можно рассматривать варианты 2, 3, 4 бросков и т.д.

Данное изобретение было революционным. Оказывается, удачу можно предсказать. По теории Паскаля неудачи можно не опасаться, если теория ее вероятности существенно мала. Такую вероятность можно легко рассчитать по статистическим данным.

Открытие Паскаля используют экономисты различных стран мира. Его теорию применяют в страховых компаниях и торговых биржах.

3. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

  Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

4.1.Треугольник Паскаля в шахматах

В книге Евгения Гика "Шахматы и математика" в главе, посвященной геометрии шахматной доски, автор приводит удивительные примеры, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные позиции. (Приведен знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски). А связь с этой темой в том, что количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля! Смотрите диаграмму, как пишут в шахматных учебниках, и используйте это в ваших эндшпилях.

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

И самый последний вопрос, связанный одновременно с треугольником Паскаля и с шахматами. Чему равна сумма всех чисел, стоящих выше какого-либо ряда? Эти суммы дают значения 1, 3, 7, 15, 31,... Не надо обладать большой фантазией, чтобы увидеть простую закономерность: сумма всех чисел для n рядов равна 2n-1. И как эта закономерность связана с шахматами?

По общеизвестной легенде индийский раджа обещал создателю шахмат любую награду, которую тот попросит. Когда же первый шахматист попросил положить на первый квадрат доски одно пшеничное зерно, на второй - два, на третий - четыре, и так продолжая удваивать, до 64-го квадрата, то раджа даже обиделся сначала мизерностью просимой награды. Когда же его визири прикинули просимое количество, то оказалось, что этим зерном можно было бы засыпать всю Землю по колено, это намного больше, чем было и будет собрано во всех урожаях человечества. Можно рассчитать высоту слоя зерна, например, приняв объем зернышка в 1 мм3, умножить на 264, непременно отнять 1 и разделить на площадь земной поверхности. Так вот - на каждой клетке доски лежало (бы) количество зерен, равное сумме чисел в соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зернышек на первых n клетках равнялась (бы) сумме чисел на этих n строках этого волшебного треугольника.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

Где же он применяется?

Биномиальные коэффициенты есть коэффициенты разложения многочлена по степеням x и y. В итоге можно получить одни из самых нужных формул в курсе алгебры.

4.2. Свойства треугольника Паскаля.

  1. Треугольник Паскаля бесконечен.

  2. Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1). Каждый член строки Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда т - простое число, а n - степень этого простого числа.

  3. Все строки Треугольника Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична)

  4. Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, идущие по порядку.

  5. Вторая диагональ треугольника Паскаля - это «треугольные» числа.

  6. Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа.

  7. Четвёртая диагональ треугольника Паскаля - это уже фигурные числа в четырехмерном измерении, поэтому это можно только представить в виртуальном мире.

  8. Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.

  9. Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом

  10. В каждой строке треугольника Паскаля сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах

  11. Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

  12. Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки чёрного цвета, а чётные - белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники.

  13. Сложив числа в каждом ряду получим последовательные степени числа два.

ПРИЛОЖЕНИЕ 101

4.3. Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач.

Свойства треугольника Паскаля, наверное, были бы не столь значимы, если бы на их основе нельзя было решать математические задачи. Такие задачи можно встреть в ОГЭ, ЕГЭ и в олимпиадных задачах старшего школьного уровня.

Рассмотрим различные типы задач, которые можно решить с помощью треугольника Паскаля.

ЗАДАЧА №1 (олимпиадная): В город А можно попасть по единственному входу. На каждом перекрёстке дорога расходится на две. В город вошли 210 человек. На каждом перекрёстке они делятся пополам. Сколько человек окажется на каждом перекрёстке, когда они уже не смогут разделиться?

Ответ: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 ч.

ЗАДАЧА №2 (комбинаторная): Сколькими различными способами можно составить букет из 3-х различных цветов, если имеется 7 наименований цветов?

Для ответа на этот вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35.

Ответ: 35 букетов.

ЗАДАЧА №3: Предположим, что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам четырёх из восьми своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема?

Необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 4 и строки 8: оно оказывается равным 56.

Ответ: 56

ЗАДАЧА №4(комбинаторная): Вы хотите завести пять детей, и пытаетесь просчитать вероятность осуществления своей мечты рождения трёх девочек и двух мальчиков.

При биноминальном разложении это примет вид

Мы смотрим на пятый ряд где первое число соответствует пяти девочкам, а последнее пяти мальчикам. А вот третье число, как раз тут то, что мы ищем. 10 делёное на сумму всех вероятностей в ряду. Стало быть, интересующая нас вероятность равна

Ответ:

ЗАДАЧА №5(комбинаторная): Представим, что вы случайным образом из 12 друзей выбираете баскетбольную команду, состоящую из 5 игроков. Сколько вариантов групп при этом у вас может получиться?

В комбинаторике эта задача будет звучать как размещение и высчитывается по этой формуле

Ответ:

4.4.Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей параллельных сторонам треугольника выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника, получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66... Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи. ПРИЛОЖЕНИЕ 12

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема, обоснована актуальность.

В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.

ИТАК: одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.

ВЫВОД: В ходе своего исследования я убедилась, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно и старшекласснику. Этот треугольник широко используется в математике для решения различных видов задач.

Исходя из гипотезы можно сделать вывод, что, Треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств, и не просто так носит имя одного из выдающихся людей. Материалы данной работы могут быть использованы в качестве дополнительного занимательного материала на уроках математики и кружковых занятиях, при подготовке к ОГЭ.

Таким образом, в ходе работы было выяснено, что:

  • Числа, входящие в треугольник Паскаля обладают большим количеством свойств.

  • Треугольник Паскаля имеет применение в таких науках как математика, физика, информатика.

Треугольник Паскаля неразрывно связан с числами Фибоначчи. Поэтому продолжением моей работы станет данная тема.

ГЛОСАРИЙ

  • Античного таксометр - устройство, которое в древности предназначалось для расчета расстояния.

  • Числа Фибоначчи - элементы последовательности в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного, как Фибоначчи)

  • Математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент приобозначается или и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k») для натуральных степеней n

  • Факториал числа n - произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Обозначается факториал восклицательным знаком «!».

  • Треугольник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

  • Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ ИСТОЧНИКОВ:

  1. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. —5. Фукс Д., Фукс

  2. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

  3. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А.П. – Педагогика, 1989.

  4. h​t​t​p​:​/​/​r​u​.​w​i​k​i​p​e​d​i​a​.​o​r​g​/​w​i​k​i​/​Т​р​е​у​г​о​л​ь​н​и​к​_​П​а​с​к​а​л​я h​t​t​p​:​/​/​b​i​o​s​t​u​d​l​i​f​e​.​h​i​b​l​o​g​g​e​r​.​n​e​t h​t​t​p​:​/​/​w​w​w​.​a​r​b​u​z​.​u​z​/​u​_​t​r​e​u​g​.​h​t​m​l h​t​t​p​:​/​/​i​m​a​g​e​.​w​e​b​s​i​b​.​r​u​/​0​7​/​t​e​x​t​_​a​r​t​i​c​l​e​.​h​t​m​?​3​4​2

  5. http://www.slideboom.com/presentations/

  6. http://arbuz.uz/u_treug.html

  7. http://ppt4web.ru/filosofija/treugolnik-paskalja.html

  8. https://www.youtube.com/watch?v=6TXH5pwPRH8&t=233s

  9. https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Фибоначчи

  10. https://www.livelib.ru/book/1001189538-shahmaty-i-matematika-evgenij-gik

  11. go.mail.ru/search_images?fr=amigontp&gp=lp5chsy&q=треугольник%20паскаля&frm=web

  12. http://sernam.ru/book_e_math.php?id=99

  13. www.slideboom.com/presentations/499682/ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ-СВОЙСТВА-ТРЕУГОЛЬНИКА-ПАСКАЛЯ

  14. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/691603

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки —сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Треугольник Брокара

Треугольник Жергонна

Треугольник Джонсона

Треугольник Кеплера

Треугольник Ботемы

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Вывод:

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Все наше достоинство – в способности мыслить.
Только мысль возносит нас, а не пространство
и время, в котором мы – ничто. 
Постараемся же мыслить достойно – 
в этом основа нравственности.

Блез Паскаль (1623-1662) — французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей.

Блез рос одарённым ребёнком. Отец самостоятельно занимался образованием мальчика, он сам неплохо разбирался в математике — дружил с Мерсенном и Дезаргом, открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля», входил в комиссию по определению долготы, созданную Ришелье.

Паскаль-отец придерживался принципа соответствия сложности предмета умственным способностям ребёнка. По его плану древние языки Блез должен был изучать с 12-ти, а математику с 15-16-летнего возраста. Метод обучения состоял в объяснении общих понятий и правил и последующем переходе к изучению отдельных вопросов. Так, знакомя восьмилетнего мальчика с законами грамматики, общими для всех языков, отец преследовал цель научить его мыслить рационально.

В доме постоянно велись беседы по вопросам математики и Блез просил познакомить его с этим предметом. Отец, опасавшийся, что математика помешает сыну изучать латинский и греческий языки, обещал в будущем сделать это. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, однако запретил ему всякие исследования в этой области. Однако Блез, оставаясь один, принялся углём чертить на полу различные фигуры и изучать их. Не зная геометрических терминов, он называл линию «палочкой», а окружность «колечком». Когда отец случайно застал Блеза за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника. Тогда Паскаль-отец отказался от своего первоначального плана обучения и разрешил читать сыну математические книги. В часы отдыха Блез изучал Евклидову геометрию, позднее, с помощью отца, перешёл к работам Архимеда, Аполлония и Паппа, потом — Дезарга. Когда Блезу было 11 лет, кто-то за обеденным столом зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Мальчик обратил внимание, что стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в «Трактате о звуках».

С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна, проводимых по четвергам. Здесь он познакомился с Дезаргом. Юный Паскаль был одним из немногих, кто изучал его труды, написанные сложным языком и насыщенные новоизобретёнными терминами. Он совершенствовал идеи, высказанные Дезаргом, обобщая и упрощая обоснования. В 1640 году выходит первое печатное произведение Паскаля — «Опыт о конических сечениях», результат исследования работ Дезарга. В это сочинение автор включил теоремы (доказательства не приводятся), три определения, три леммы и указал главы планируемого труда, посвящённого коническим сечениям. Третья лемма из «Опыта…» является теоремой Паскаля: если вершины шестиугольника лежат на некотором коническом сечении, то три точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны, лежат на одной прямой. Этот результат и 400 следствий из него Паскаль изложил в «Полном труде о конических сечениях», о завершении которого Паскаль сообщил пятнадцать лет спустя и который сейчас отнесли бы к проективной геометрии. «Полный труд…» так и не был опубликован: в 1675 году его прочёл в рукописи Лейбниц, рекомендовавший племяннику Паскаля Этьену Перье срочно напечатать его. Однако Перье не прислушался к мнению Лейбница и впоследствии рукопись была утеряна.

В январе 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан. В эти годы здоровье Паскаля, и без того неважное, стало ухудшаться. Тем не менее он продолжал работать. Отец Блеза по роду службы в Руане часто занимался утомительными расчётами, сын также помогал ему в распределении податей, пошлин и налогов. Столкнувшись с традиционными способами вычислений и, находя их неудобными, Паскаль задумал создать вычислительное устройство, которое могло бы помочь упростить расчёты. В 1642 году (в 19 лет) Паскаль начал создание своей суммирующей машины «паскалины», в этом, по его собственному признанию, ему помогли знания, полученные в ранние годы.,.

Привычная жизнь Паскаля закончилась. Ухудшается и состояние его здоровья: врачи предписывают уменьшить умственную нагрузку. Паскаль бывает в обществе, завязывает светские отношения. Весной 1652 года в Малом Люксембургском дворце он свою арифметическую машину и ставил физические опыты, заслужив всеобщее восхищение. Машина Паскаля вызвала интерес у шведской королевы Кристины — по просьбе аббата Бурдело учёный преподнёс ей один экземпляр своего изобретения.

Самым близким из друзей-аристократов для учёного стал герцог де Роанне, увлекавшийся математикой. В доме герцога, где Паскаль подолгу жил, ему была отведена особая комната. Через Роанне Паскаль познакомился с богачом и страстным игроком Дамье Миттоном, эрудитом кавалером де Мере. Размышления, основанные на наблюдениях, сделанных Паскалем в светском обществе, позднее вошли в его «Мысли».

У Паскаля множество планов на будущее. В письме Парижской академии (1654) он сообщил, что готовит фундаментальный труд под названием «Математика случая».

Отказавшись от систематических занятий наукой, Паскаль тем не менее изредка обсуждает математические вопросы с друзьями, но не собирается более заниматься научным творчеством. Единственным исключением стало фундаментальное исследование циклоиды (как рассказывали друзья, он занялся этой проблемой, чтобы отвлечься от зубной боли). За одну ночь Паскаль решает задачу Мерсенна о циклоиде и делает ряд открытий в её изучении. 

С 1658 года здоровье Паскаля быстро ухудшается. Согласно современным данным, в течение всей жизни Паскаль страдал от комплекса заболеваний: рака мозга, кишечного туберкулёза, ревматизма. Его одолевает физическая слабость, появляются ужасные головные боли. Гюйгенс, посетивший Паскаля в 1660 году, нашёл его глубоким стариком, хотя Паскалю было всего 37 лет.

Осенью 1661 года Паскаль поделился с герцогом де Роанне идеей создания дешёвого и доступного всем способа передвижения в многоместных каретах. Герцог создал акционерное общество для реализации этого проекта и 18 марта 1662 года в Париже открылся первый маршрут общественного транспорта, названного впоследствии омнибусом (повозка на конной тяге, предшественник автобуса).

19 августа 1662 года после мучительной продолжительной болезни Блез Паскаль скончался. Похоронен в приходской церкви Парижа Сен-Этьен-дю-Мон. 

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

АРИФМОМЕТР ПАСКАЛЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ

Стеклянную трубку длиной около 1 м, один конец которой запаян, заполняют ртутью и, закрыв отверстие другого конца, переворачивают и погружают в сосуд с ртутью

Затем отверстие открывают, часть ртути из трубки выливается в сосуд, а в трубке остается столб ртути высотой h, над которым в трубке образуется безвоздушное пространство, заполненное парами ртути.

Таким образом, экспериментально было доказано, что давление столба ртути высотой h уравновешивает давление атмосферы.

Атмосферное давление, уравновешиваемое столбом ртути высотой h = 760 мм при 0 °С, считается нормальным. Значение этого давления получило название нормальной, или физической атмосферы и обозначается 1 атм.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ЧИСЛОВАЯ ГОРКА

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

Числа Фибона́ччи — элементы последовательности в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

ПШЕНИЧНОЕ ЗЕРНО

Давным-давно в Индии правил царь по имени то ли Шерам, то ли Шихран. Это было так давно, что его имя затерялось в веках, и никто точно не помнит, как звали индийского правителя. Однажды царю показали, как играют в шахматы, и он пришёл в восторг от этой игры. Ему немедленно захотелось узнать имя изобретателя «царицы игр». Придворные доложили, что шахматы придумал один из его подданных — учёный, которого зовут Сета. И царь приказал привести к нему столь изобретательного человека — он пожелал лично выразить учёному своё восхищение и щедро наградить того за такую удачную выдумку.

И вот изобретатель предстал перед троном. Царь сказал:

— Ты создал чудесную игру, мудрец. Проси награду, какую захочешь. Я не пожалею ничего. Такая игра достойна, быть забавой царей.

— О, повелитель! Доброта твоя безгранична. — отвечал учёный. — Но меня вполне удовлетворит, если ты прикажешь выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно ...

Царь был изумлён.

— Пшеничное зерно?! — переспросил он, посчитав, что ослышался.

— Да, повелитель. Но за вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью — 4, за четвёртую — 8, за пятую — 16 ...

- Ты получишь свой мешок зерна — прервал учёного самонадеянный царь.

Он не скрывал, что был раздражён неожиданным ответом и неподобающей скромностью изобретателя. Поэтому добавил с досадой:

— Но знай, твой выбор недостоин моей щедрости. Ты непочтительно пренебрегаешь ею. Ступай. Слуги тебе скоро вынесут твою пшеницу ...

Царь трижды хлопнул в ладоши и призвал придворных математиков, чтобы те посчитали, сколько зёрен пшеницы причитается в награду глупому изобретателю.

И учёные мужи добросовестно принялись за дело, удваивая число зёрен за каждое последующее поле шахматной доски. Компьютеров тогда ещё не было, и дело, надо сказать, продвигалось небыстро.

На другое утро царь вспомнил о своём распоряжении и поинтересовался у главного придворного математика, получил ли изобретатель шахмат свою жалкую награду.

Математик с трепетом отвечал:

— О мой повелитель! Число зёрен так велико …

— Как бы велико оно ни было! — гневно перебил его царь, не привыкший, чтобы его приказы выполняли столь нерасторопно. — Награда обещана и должна быть немедленно выдана ...

— Но, мой повелитель, нет никакой возможности выполнить твои приказ. Такого числа зёрен нет не только в твоих неоскудевающих закромах, но и на всей Земле ...

Царь сменил гнев на изумление.

— Назови же мне это невероятное число, — обратился он к главному математику ...

— О повелитель! Это восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать!

Математики более поздних веков подсчитали, что для такого числа зёрен пшеницы потребовался бы амбар высотой 4 метра, шириной 10 метров, а длиною в ... 300 000 000 километров, что вдвое больше расстояния от Земли до Солнца!..

Надо думать, что мудрый изобретатель так и не получил свою награду. Но, судя по всему, он на неё и не рассчитывал. Шахматисты же многих и многих поколений всей Земли благодарны древнему мудрецу за то, что он им подарил эту чудесную игру неисчерпаемых возможностей.

СВОЙСТВА ПРИЛОЖЕНИЕ 11

1

3

1

2  2

3   4  3

4   7   7   4

5 11 14 11 5

6 16 25 25 16 6

………..……………

1

2  2

3   4  3

4   7   7   4

5 11 14 11 5

6 16 25 25 16 6

………..……………

4

5

1

2  2

3   4  3

4   7   7   4

5 11 14 11 5

6 16 25 25 16 6

……..………………

1

1  1

1  2  1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

………..……..

1 3 6 10

6

8

1

1  1

1  2  1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

………..……..

1 4 10

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……..…………..…

1+1+1+1+1+2+3+4=14=15-1

9

10

1

1  1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

………..…………..

1+3+6+10=20

1

2  2

3   4  3

4   7   7   4

5 11 14 11 5

6 16 25 25 16 6

7 22 41 50 41 22 7

………..…….….…….

10

11

1

1  1

1 2  1

1  3   3  1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

………..….………..…

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

………..…………..…

n=5 5, 10, 10, 5 делятся на 5

13

0 + 1=

1 + 1 =

1 + 2 + 1=

1 +  3 +  3 +  1=

1 + 4 + 6 + 4 + 1=

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1=

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1=

………..….………..…………..

ПРИЛОЖЕНИЕ 12

Моё фото потом завтра

Автор
Дата добавления 22.01.2017
Раздел Геометрия
Подраздел Другое
Просмотров1398
Номер материала 1787
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.