Уроки математики / Другое / Исследовательская работа по математике "О чём догадался Франсуа Виет" (с презентацией)

Исследовательская работа по математике "О чём догадался Франсуа Виет" (с презентацией)

МБОУ «Заринская средняя общеобразовательная школа

имени М.А. Аверина»

Исследовательская работа по математике

Автор:

Кнор Карина Алексеевна,

7 класс МБОУ «Заринская

средняя общеобразовательная

школа имени М.А. Аверина»

п. Плотниково

Научный руководитель:

Шевцова Валентина Юрьевна,

учитель математики

Плотниково

2017

Содержание

Введение……………………………………………………………..3

Практическая часть работы.………………........................................4

Теоретическая часть работы……………………………………….6

Доказательство теорем……………………………………………..7

Заключение…………………………………………………………. 9

Литература и Интернет-ресурсы……..…………………………….10

Введение

На занятиях по внеурочной деятельности нам было предложено решение нескольких систем линейных уравнений. В курсе алгебры 7 класса мы изучили три метода решения систем. Выбрав метод алгебраического сложения и решив все системы, мы получили, неожиданно для нас, одинаковое решение во всех системах. Мы обратили внимание на множители перед переменными всех уравнений и сделали выводы, что все шесть коэффициентов в любой из предложенных систем составляли ряд натуральных чисел, идущих подряд, в котором каждое последующее число отличалось от предыдущего на один.

Мы выдвинули гипотезу о том, что решением систем линейных уравнений с замеченной нами особенностью является пара значений переменных (-1;2).

Для подтверждения нашей гипотезы мы решили провести исследование по решению различных уравнений, коэффициенты которых отличаются друг от друга не только на 1.

Цель работы – подтверждение гипотезы о наличии закономерности между коэффициентами линейного уравнения и его решением.

Задачи:

  • Решить несколько различных уравнений с замеченным свойством коэффициентов;

  • Изучить содержание учебников алгебры по исследуемой проблеме;

  • Познакомиться с историей вопроса в сети Интернет;

  • Научиться доказывать необходимые для исследования факты.

Практическая часть работы

Рассмотрим решение нескольких систем линейных уравнений:

1. -3, , ,

Коэффициенты уравнений системы: 1; 2; 3; 4; 5; 6.

2.

Коэффициенты уравнений системы: 2; 3; 4; 5; 6, 7.

3.

Коэффициенты уравнений системы: 3; 4; 5; 6, 7.

4.

Коэффициенты уравнений системы: 4; 5; 6, 7, 8, 9.

Общая закономерность всех систем:

Коэффициенты уравнений представляют собой последовательность натуральных чисел, каждый член которой, начиная со второго, больше предыдущего на 1.

Заметим, что пара чисел (-1;2) является общим решением всех четырёх систем линейных уравнений.

Гипотеза:

Если в системе линейных уравнений коэффициенты составляют ряд натуральных чисел, идущих подряд, то решением системы будет являться пара (-1;2).

Проверка гипотезы:

  1. 17х + 18у = 19

(-1;2) – решение уравнения, т.к. обращает уравнение в верное равенство:

17х(-1) + 18х2 = 19

-17 + 36 = 19

19 = 19 – верно.

  1. Мы выполняли проверку для ряда натуральных чисел, отличающихся на 1. Проверим эту гипотезу для чисел, отличающихся, например, на 3.

2х + 5у = 8

(-1;2) – решение уравнения, т.к. обращает уравнение в верное равенство:

2х(-1) + 5х2 = 8

-2 +10 = 8

8 = 8 – верно.

Изучив дополнительную литературу и подходящие главы учебника алгебры, мы узнали, что ряд, составленный из натуральных чисел, отличающихся друг от друга на одно и то же число, называется арифметическая прогрессия.

Определение.

«Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (ап), заданная рекуррентно соотношениями:

a1 = a, an= an-1 + d (n=2, 3, 4, …), где a и d – заданные числа.

Способ задания арифметической прогрессии, о котором идёт речь в определении, является рекуррентным. Во многих случаях он неудобен, но для нашей работы этого вполне достаточно.

Замечание:

«Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т.д. – это стилистические обороты из области интуиции, догадки, озарения. Разумеется математики, ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для обоснования.» [2, с. 145, 147]

Продолжая свои исследования, мы в сети Интернет нашли информацию о том, что фрацузский математик, основоположник символической алгебры Франсуа Виет (1540 – 1603), заметив анологичную закономерность между коэффициентами линейных уравнений, обозначил их буквами и доказал теорему о решении таких уравнений. Виет ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Установил зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Преимущества символики предоставили Виету возможность не только получить новые результаты, но и более полно и обоснованно изложить всё известное ранее. Если предшественники Виета высказывали некоторые правила или «рецепты» для решения конкретных задач и иллюстрировали их примерами, то Виет дал полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней. [3. С. 37-38]

Теорема.

Если в уравнении (*) ax + by = c коэффициенты a, b, cсоставляют арифметическую прогрессию, то пара х = -1, у = 2 является решением уравнения (*).

Доказательство.

Пусть а – первый член арифметической прогрессии, d – разность арифметической прогрессии.

(an): a; a+d; a+ 2d; a +3d; …

Заменим в уравнении (*) коэффициенты на члены этой арифметической прогрессии.

Получим:

ax + (a+d)y = a + 2d

если х = -1, у = 2, то (-1)a + 2(а+d) = a+2d

-a + 2a + 2d = a + 2d

a + 2d = a + 2d

Получили верное равенство, значит пара (-1;2) является решением уравнения (*).

Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная)

Если пара (-1; 2) – одно из решений уравнения ax + by = c, то коэффициенты a, b, cэтого уравнения составляют арифметическую прогрессию.

Доказательство.

ax + by = c

(-1; 2) – решение уравнения, тогда при подстановке этих значений вместо х и у получим верное по условию теоремы равенство-а + 2b = c.

Надо доказать, что разность между двумя последующими коэффициентами одна и та же.

a, b, -a + 2b

b – a = (-a + 2b) – b

b – a = b – a.

Полученное верное равенство указывает на то, что разность между двумя любыми последующими коэффициентами линейного уравнения равна одному и тому же числу, значит, эти коэффициенты образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна этому числу.

Что и требовалось доказать.

Подведём итоги:

Наша гипотеза подтвердилась.

Итак, если в линейном уравнении или системе линейных уравнений коэффициенты составляют ряд натуральных чисел, идущих подряд и отличающихся друг от друга на одно и то же натуральное число, то решением этих уравнений будет являться пара (-1;2).

Заключение

Франсуа Виет (рис.4), используя преимущества символики, получил не только новые результаты, но и произвёл поворот в математических исследованиях.

Мы в своей исследовательской работе познакомились с азами исследования, открыли для себя множество интересных фактов, и выстроили перспективу своей дальнейшей работы.

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2015. – 160 с.

Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2015. – 224 с.

Развитие алгебры в Европе в XVXIXстолетиях. Учебное пособие для студентов дневного отделения физико-математического факультета / сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский госпедуниверситет, 2007. – 120 с.

Интернетресурсы

https://sibac.info/shcoolconf/natur/iii/30892 (дата обращения 22.01.17)

Шугалов Б.С. Постановка и решение исследовательских задач в классах физико-математического профиля: учебно-методическое пособие / Б.С. Шугалов. — Кемерово: Изд-во КРИПКиПРО, 2007.

http://ipk.kuz-edu.ru/ (дата обращения 20.01.17)

Организация внеурочной деятельности обучающихся в условиях реализации требований Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования : методические материалы: в 5 ч. / сост. : И. Г. Вертилецкая, Т. В. Душенина, З. В. Крецан, О. В. Петунин и др. ; под общей ред. Н. Э. Касаткиной, И. Г. Вертилецкой. – Кемерово : Изд-во КРИПКиПРО, 2014.

http://library.kemsu.ru/(дата обращения 20.01.17)

Шугалов Б.С. Развитие исследовательских способностей обучающихся в классах физико-математического профиля: учеб.-метод. пособие/Б.С. Шугалов. – Кемерово: КРИПКиПРО, 2009. – 45с.

https://sibac.info/shcoolconf/natur/iii#article(дата обращения 22.01.17)

III школьная международная заочная научно-исследовательская конференция «Проба пера» естественные и математические науки.

Автор
Дата добавления 16.04.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Другое
Просмотров619
Номер материала 3726
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.