Уроки математики / Другое / Комплект задач для ОЛИМПИАДЫ по математике

Комплект задач для ОЛИМПИАДЫ по математике

Олимпиада по математике

1 курс, специальность

1. На лугу паслись 25 животных. Коров было в втрое больше, чем лошадей, а овец вдвое больше, чем свиней. Зная, что не все лошади были одной масти, определите, сколько каких животных паслось на лугу.

Решение

(3х+х)+(2у+у)=25;

4х+3у=25;

4х=16 и 3у=9 (подбором, учитывая, что х и у – натуральные числа), х=4; у=3.

4 лошади, 12 коров, 3 свиньи, 6 овец. (3 балла)

2. На какую цифру оканчивается число 19992003?

Решение

Так как нас интересует последняя цифра результата, то определим последнюю цифру числа 92003. Число 9 при возведении в степень дает 2 варианта последней цифры – 9(если показатель степени нечетный) и 1(если показатель степени четный). Так как 2003 – число нечетное, то 92003 оканчивается цифрой 9. (3 балла)

3. На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера. 

Решение
Обозначим "рыбные цены": сегодня большая рыба стоит bc, а маленькая mc. Вчера большая стоила bv, а маленькая — mv. Тогда из условий задачи имеем два уравнения
3bc + mc = 5bv, 2bc + mc = 3bv + mv.
Отсюда получаем:
5mv = (2bc + mc – 3bv)5 = 10bc + 5mc – 3(3bc + mc) = bc + 2mc.
То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленькие сегодня.  (4 балла)
4. Найдите произведение корней уравнения: .

Решение:

Пусть , t ≥ 0. Получим квадратное уравнение t2 + 2t – 8 =0, корни которого t1 = 4 < 0 не удовлетворяет условию t ≥ 0 , t2 = 2.

Обратная замена: , тогда х2 – 18 = 26 , х2 = 82, .

Произведение корней равно 82. (4 балла)

5. Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный кран, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

Решение

За 1 минуту наливается горячей водой часть ванны, а за 1минуту наливается холодной водой часть ванны. Пусть холодной воды налили х литров, а горячей 1,5х литров. Итак, , откуда , то есть холодной водой заполнено ванны, горячей  ванны. Для заполнения холодной водой ванны потребуется минут, а горячей минут, значит, кран нужно открыть через 7 минут. (6 балла)

Олимпиада по математике

1 курс, профессия

1. Как расположить по кругу цифры 1, 2, 3, ………, 9 так, чтобы сумма никаких 2 соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Решение

Можно. Начнем с 1. Соседними с ней могут быть только 3 и 7. Соседними с 7 могут быть 4 или 6 или 9. Выберем 4, тогда вторым соседним числом с 4 может быть только 9. Рассуждая далее аналогично, получим такое расположение чисел: 3 – 1 – 7 – 4 – 9 – 2 – 6 – 5 – 8 – 3. (3 балла)

2. а) Как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону увеличить в два раза?

б) В каком треугольнике высоты пересекаются в одной из его вершин?

в) Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпич из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

Решение

а) в 4 раза

б) в прямоугольном

в) (1/16) кг = 625 г. (3 балла)

3. На лугу паслись 25 животных. Коров было в втрое больше, чем лошадей, а овец вдвое больше, чем свиней. Зная, что не все лошади были одной масти, определите, сколько каких животных паслось на лугу.

Решение

(3х+х)+(2у+у)=25;

4х+3у=25;

4х=16 и 3у=9 (подбором, учитывая, что х и у – натуральные числа), х=4; у=3.

4 лошади, 12 коров, 3 свиньи, 6 овец. (5 балла)

4. Отец привел сына на приемные экзамены в школу. Тот успешно справился с вопросами по всем предметам. Осталась одна арифметика. Учитель спросил: «Можешь ли ты сказать, сколько учеников будет в твоем классе? Известно, что, если к числу учеников прибавить еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да тебя самого, получится 100 учеников». Сколько учеников в классе?

Решение

Так как в целом классе учеников, в половине класса учеников, смысл сказанного учителем сводится к следующему: () общего числа учеников в классе составляют 100 – 1 = 99 учеников. Следовательно, искомого числа есть 99 учеников, отсюда составляет 9 учеников, а составляет 9 х 4 = 36 учеников. (4 балла)

5. Сколько цифр содержит число 45 ∙ 513 ?

Решение

.Ответ: 13 цифр. (5 балла)

Олимпиада по математике

2 курс, специальность

1. На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера. 
Решение
Обозначим "рыбные цены": сегодня большая рыба стоит bc, а маленькая mc. Вчера большая стоила bv, а маленькая — mv. Тогда из условий задачи имеем два уравнения
3bc + mc = 5bv, 2bc + mc = 3bv + mv.
Отсюда получаем:
5mv = (2bc + mc – 3bv)5 = 10bc + 5mc – 3(3bc + mc) = bc + 2mc.
То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленькие сегодня.  (4 балла)

2. На лугу паслись 25 животных. Коров было в втрое больше, чем лошадей, а овец вдвое больше, чем свиней. Зная, что не все лошади были одной масти, определите, сколько каких животных паслось на лугу.

Решение

(3х+х)+(2у+у)=25;

4х+3у=25;

4х=16 и 3у=9 (подбором, учитывая, что х и у – натуральные числа), х=4; у=3.

4 лошади, 12 коров, 3 свиньи, 6 овец. (4 балла)

3. Хорда удалена от центра окружности на расстояние h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.

Решение

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения 

(2х – h)2 + x2 = R2,  

(2y + h)2 + y2 = R2.  

Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h. (5 баллов)

4. У пирамиды 19 граней. Сколько рёбер у этой пирамиды?

Решение:

По определению у п-угольной (п ≥ 3) пирамиды 2п ребер и п + 1 грань.

Так как у пирамиды 19 граней, то п + 1 = 19, п = 18. Значит, у такой пирамиды 2 ∙ 18 = 36 ребер (2 балла)

5. Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный кран, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

Решение

За 1минуту наливается горячей водой часть ванны, а за 1минуту наливается холодной водой часть ванны. Пусть холодной воды налили х литров, а горячей 1,5х литров. Итак, , откуда , то есть холодной водой заполнено ванны, горячей  ванны. Для заполнения холодной водой ванны потребуется минут, а горячей минут, значит, кран нужно открыть через 7 минут. (5 баллов)

Олимпиада по математике

2 курс, профессия

1. а) Как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону увеличить в два раза?

б) В каком треугольнике высоты пересекаются в одной из его вершин?

в) Сколько граней у «шестигранного карандаша»?

г) Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпич из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

Решение

а) в 4 раза

б) в прямоугольном

в) 8 грани

г) (1/16) кг = 625 г. (2 балла)

2. Как расположить по кругу цифры 1, 2, 3, ………, 9 так, чтобы сумма никаких 2 соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Решение

Можно. Начнем с 1. Соседними с ней могут быть только 3 и 7. Соседними с 7 могут быть 4 или 6 или 9. Выберем 4, тогда вторым соседним числом с 4 может быть только 9. Рассуждая далее аналогично, получим такое расположение чисел: 3 – 1 – 7 – 4 – 9 – 2 – 6 – 5 – 8 – 3. (3 балла)

3. Хорда удалена от центра окружности на расстояние h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.

Решение

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у, соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения: 

(2х – h)2 + x2 = R2,  

(2y + h)2 + y2 = R2.  

Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h. (5 баллов)

4. На лугу паслись 25 животных. Коров было в втрое больше, чем лошадей, а овец вдвое больше, чем свиней. Зная, что не все лошади были одной масти, определите, сколько каких животных паслось на лугу.

Решение

(3х+х)+(2у+у)=25;

4х+3у=25;

4х=16 и 3у=9 (подбором, учитывая, что х и у – натуральные числа), х=4; у=3.

4 лошади, 12 коров, 3 свиньи, 6 овец. (5 баллов)

5. Упростите выражение:  и найти его значение, если .

Решение

Складываем последние два слагаемых, затем полученную сумму с впереди стоящим слагаемым и т. д. В результате получим . Подставляя вместо , получаем ответ . (5 баллов)

Автор
Дата добавления 26.02.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Другое
Просмотров880
Номер материала 3109
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.